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《直线与平面垂直的判定》的教学设计


《直线与平面垂直的判定》的教学设计
桑植一中 涂可顺

一.教材分析:
1.教材的地位和作用 本节教材是在学生学习了空间直线的垂直关系的基础上,研究空间直线与平面垂直 关系的重要内容。判定定理是线线垂直关系的应用之一,可以为以后学习三垂线定理, 两个平面垂直以及研究空间距离等知识奠定基础。这节对于培养学生的空间想象力和逻 辑思维能力也具有重

要的意义。 2.教学内容及教材处理 本节课的主要内容是直线与平面垂直的概念。判定定理及其应用,通过创设问题 情景,让学生直观上感受线面垂直的概念。激发求知欲,然后让学生通过观摩和演示明 确线线、线面的垂直关系,并归纳出线面垂直的概念与判定定理。在此基础上用多媒体 辅助教学,突破定理证明的难点。并采用合作性学习方法组织学生完成。这样处理教材 体现了数学与社会生活及生主、产的联系,也可以在探索发现的过程中让学生有成功的 喜悦。 二、教学目标 1、知识目标:理解直线与平面垂直的概念。掌握直线与平面垂直的判定定理。以 及由线面垂直向线线垂直转化的思想方法。 2、能力目标:培养学生观察,实验 猜想的意识。培养逻辑推理能力和空间想像力。 3、情感目标:培养追求新知,独立思考的创新意识和探索的精神。培养学习数学 的兴趣,信心和毅力。 三、重点 难点 关键 重点:直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。 关键:把线面垂直问题转化为线线垂直问题。 四、教法分析 1.教学策略:创设情境,启发,猜想论证的发展的能力。 2.教学思想:贯彻启发式教学。
1

3.教学模式:采用师生合作教学模式。

四、课前准备
教具:投影仪,多媒体课件,三角板,教鞭(表直线) 。 学生自备学具:三角形纸片、笔(表直线) 、课本(表平面) 。 五、教学过程 (一)创设情景,观察体验. 问题 1:一根直尺随意放置,它与地面有几种位置关系? 操场上一根旗杆与地面是什么位置关系? (学生思考 举手回答) 问题 2:从前面已学过的空间几何体的直观图中,说说哪些直线是与平面垂直的? 设计意图:基于学生已有的数学知识,在已学的几何模型中去感知直线与平面垂直 的位置关系,有利于学生进行知识的抽象概括,有利于揭示问题的本质。 (二)抽象概括直线与平面垂直的定义 问题 3:一条直线与一个平面垂直的意义是什么? 问题 4:结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义。 (1)如图 1,阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 的位置关系是 什么?随着太阳的移动,旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度会发生改变吗? (2) 旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′的位置关系又是什么? 依据是什么?由此得到什么结论? 设计意图:引导学生用“平面化”的思想来思考问题,通过 观察思考,感知直线与平面垂直的内涵。 师生活动:学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在 地面上的影子随着时间的变化而移动的过程,再引导学生根据 异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一 条直线都垂直。 问题 5:如图 2,当旗杆 AB 倾斜时,还能保证 AB 与地面上的任一直线都垂直吗? 设计意图:通过观察、思考与讨论,让学生感悟“一条直 线与一个平面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂 直的本质内涵。
B
2

A

B’ B C 图1

C’

A

图2

师生活动:引导学生观察实例(如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系)和 几何模型(如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等) ,从中感知:只要平面外的直线 不垂直于这个平面,平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直。 问题 6:通过上述分析,你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直? 设计意图:让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。 师生活动:学生作答,教师补充完善,同时给出直线与平面垂直的记法与画法。 定义:如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 互 相垂直,记作: l⊥α.直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做 直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做 垂足。 画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直,如图 3。 练习 1:下列命题是否正确?为什么? (1) 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线与这个平面垂直。 (2)如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。 (三)探究发现直线与平面垂直的判定定理 实验:如图 4,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做一个 试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上, (BD、DC 与桌面接触) 。 (1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2) 如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? 设计意图:通过折纸让学生发现当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高,即 AD⊥ 时翻折后的折痕 AD 与桌面垂直。 BC 问题 7:当折痕 AD⊥BC 时, 上述沿 AD 的各种折法中, 能使 AD
B C 图4 D A α 图3 P l

始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么?由此你能得到什么结论? 设计意图:引导学生发现折痕 AD 与桌面垂直的本质特征:AD⊥ BD,AD⊥ CD,且 BD 、CD 是桌面内两条相交直线。 合作交流:学生观察并分组讨论,然后以组为单位抢答结论。分析折痕 AD 是 BC 边上的高的实质:AD 是 BC 边上的高时,无论怎样翻折,翻折之后垂直关系不变,即 AD⊥ CD,AD⊥ BD,同时 CD、BD 是两相交直线。判定定理中的三个条件中: “相交”
3

与“在平面内” ,不能一笔带过用多媒体展示一下其它情况。当 AD 垂直于桌面内的两 条相交直线 CD、BD 时,它就垂直于桌面所在的平面。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为:

m ? ? , n ? ? , m ? n ? O? ??l ?? l ? m, l ? n ?

练习 2:下列命题是否正确?为什么? 如果一条直线与一个梯形的两条边垂直,那么这条直线垂直于梯形所在的平面。 设计意图:通过辨析,强化定理中“两条相交直线”的条件。 师生活动:学生思考作答,教师再次强调“相交”条件。 (四)总结反思 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)关于直线与平面垂直你还有什么问题? 学生发言:归纳出判断直线与平面垂直的三种方法:利用定义,利用判定定理,利 用思考题 2 的结论。这些方法都体现了转化的数学思想。同时强调“平面化”是解决立体 几何问题的一般思路。 (五) 、板书设计
直线与平面垂直的判定(一) 1.定义 电脑投影屏幕
a ? ?? ??a ?b b ? ??

图示

例题与练习

2.判定定理 3.
a ∥b ? ??b ?? a ? ??

(六) 、作业设计 如图,点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,O 是对角线 AC 与 BD 的交点, 且 PA=PC,PB=PD. 求证:PO⊥平面 ABCD。
P

A O B
4

D C


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