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2008IMO中国国家集训队平面几何练习题


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几何讲义
1.一圆 O 切于两条平行线 l1 , l2 ,第二个圆 ? O1 切 l1 于 A ,外切 ? O 于 C ,第三个圆 ? O2 切 外切 ? O 于 D , 外切 ? O1 于 E ,AD 交 BC 于 Q , 求证 Q 是 ?CDE 的外心。 届 IM

O (35 l2 于 B , 预选题)

证明

由 AO1 ∥ BO2 ,知 ?AO1E ? ?BO2 E ,从而有 ?AEO1 ? ?BEO2 ,即 A, E , B 三点 ∥

共 线 。 同 理 由 OF

BO2 , 可 得 B, D, F 三 点 共 线 。 又 因 为

1 1 ?EDB ? 180? ? ?EO2 B ? 180? ? ?AO1E ? ?EAF , 所 以 A, E, D, F 四 点 共 圆 , 2 2
BE ?BA ? BD ?BF , 即点 B 在 ? O1 与 ? O 的根轴上。 又因为 C 在 ? O1 与 ? O 的根轴上, 所以 BC
是 ? O1 与 ? O 的根轴。同理 AD 是 ? O2 与 ? O 的根轴,因此 Q 为根心,且有 QC ? QD ? QE , 即 Q 是 ?CDE 的外心。 2. 非等腰 ?ABC 的内切圆圆心为 I , 其与 BC , CA, AB 分别相切于点 A1 , B1 , C1 ,AA1 , BB1 分 别交圆于 A2 , B2 , ?A B1C1 中 ?C1 A B1 , ?C1B1 A1 的角平分线分别交 B1C1 , AC1 于点 A3 , B3 ,证明 1 1 1 (1) A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角平分线; (2)如果 P, Q 是 ?A A2 A3 和 ?B1B2 B3 的两个外接圆的交点, 1 则点 I 在直线 PQ 上。 (01 年保加利亚) 证 明 ( 1 ) 因 为 ?AC1 A2 ∽ ?AAC1 , ?AB1 A2 ∽ ?AA1 B1 , 所 以 有 1

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C1 A2 AA2 AA2 B1 A2 CA CA CA ,从而有 1 2 ? 1 1 ? 1 3 ,即 A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角平分线。 ? ? ? C1 A1 AC1 AB1 B1 A1 B1 A2 B1 A1 B1 A3

(2)设 ?A A2 A3 的外心为 O ,连 OI , IA2 , OA2 , OA ,则 OI ? A1 A2 。由于 ?A1 A3 A2 ? 1 1

?A1C1 A2 ? ?C1 A2 A3 ? ?C1 A1 A3 ? ?A1C1 A2 ? ?A2OI ?

1 ? ?C1 A2 B1 ? ?C1 A1B1 ? ? 90? ? ?A1C1 A2 , 所 以 2

1 ?A2OA1 ? 180? ? ?A1 A3 A2 ? 90? ? ?A1C1 A2 ? 90? ? ?A2 IO ,于是有 ?IA2O ? 90? , 2

即 IA2 与 ? O 相切于 A2 。同理 IB2 与 ?B1B2 B3 的外接圆相切于 B2 ,从而 I 在 ? O 与 ?B1B2 B3 的 外接圆的根轴上,即 I ,P, Q 三点共线。 3.已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A, B ,过点 X 作直线,与圆

O 交于两点 C , D ,且满足 CA ? BD ,若 CA ,BD 交于点 F ,CD, AB 交于点 G , BD 与 GX 的
中垂线交于点 H ,证明 X , F , G, H 四点共圆。 (05 年日本)

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证明 因为 X , D, G, C 是调和点列,且 ?CFD ? 90? ,所以 F 在关于点 X , G 的阿波罗尼斯

D X 圆上。 FG, FX , ?G ? D 连 有 F ?F

X 。 ?G 设 F

的外接圆与 BF 交于点 H ? , 则有 GH ? ? XH ? ,

即 H ? 在 GX 的中垂线上,从而有 H ? ? H ,因此 X , F , G, H 四点共圆。 4.若 P, Q 到 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 的距离的比都是 l : m : n ,且 l , m, n 互不相等,则 直 线 PQ 过 ?ABC 的 外 接 圆 的 一 条 直 径 DE 。 若 设 ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 O , 则 。 O P O Q O2D ? ?

证明

法一:由于 P, Q 到 A, C 的距离之比为 l : n ,则 PQ 在阿波罗尼斯圆 ? G 上,其中

AG 与 ? G 的 交 点 为 K , L , 且 A, K , C, L 调 和 点 列 。 设 ? O 与 ? G 交 于 点 F , 则 为

GA? ? GK 2 ? GF 2 ,因此 GF 与 ? O 相切于点 F ,于是 OF 也与 ? G 相切于点 F 。同理, GC

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由于 P, Q 到 B, C 的距离之比为 m : n ,则 PQ 在阿波罗尼斯圆 ? M 上,设 ? O 与 ? M 交于点

H ,于是 OH 与 ? M 相切于点 H 。因为 OH ? OF ,所以 O 在 ? G 与 ? M 的根轴上,从而有

O, P, Q 三点共线。设 PQ 与 ? O 交于点 D, E ,则 OD2 ? OF 2 ? OP? ,即 D, P, E, Q 为调 OQ
和点列。 法二 由于

AP BP CP ,则 ?ABC 的外接圆就是关于点 P, Q 的阿波罗尼斯圆,从而 ? ? AQ BQ CQ

O 在直线 PQ 上,且有 OP? ? OD2 。 OQ
5.已知圆心分别为 O1 , O2 的圆 ?1 , ?2 外切于点 D ,并内切于圆 ? ,切点分别为 E , F ,过点

D 作 ?1 , ?2 的公切线 l 。 ? 的直径 AB 垂直于 l , 设圆 使得 A, E, O1 在 l 的同侧, 证明 AO1 , BO2 , EF
三线交于一点。 (第 47 届 IMO 预选题)

证明 设 AB 的中点为 O , E 为圆 ? 与圆 ?1 的位似中心,由于半径 OB, O1D 分别垂直于 l , 所以 OB ∥ O1D ,且有 E, D, B 三点共线。同理 F , D, A 三点共线。 设 AE, BF 交于点 C , 由于 AF ? BC, BE ? AC , 所以 D 是 ?ABC 的垂心, 于是 CD ? AB , 这表明 C 在直线 l 上。 设 EF 与直线 l 交于点 P ,下面证明点 P 在直线 AO1 上。设 AC 与圆 ?1 的第二个交点为 N , 则 ND 是 圆 ?1 的 直 径 , 由 梅 涅 劳 斯 定 理 的 逆 定 理 , 要 证 A, O1 , P 三 点 共 线 , 只 要 证

CA CP CA NO1 DP ? ? ? ? 1 。 因 为 NO1 ? O1D , 所 以 只 要 证 。 设 l 与 AB 交 于 点 K , 则 AN PD AN O1 D PC

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CA CK CP CK ? ? ,从而只要证 ,即证 C , P, D, K 是调和点列。连 AP 交 BC 于点 X ,则 AN KD PD KD

C , X , F , B 是调和点列,因此有 C , P, D, K 是调和点列。
6 . 设 A B C D是 梯 形 , AB ∥ CD , 在 其 两 腰 AD, BC 上 分 别 存 在 点 P, Q , 使 得

?APB ? ?CPD, ?AQB ? ?CQD ,证明点 P, Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。 届全 (20
俄) 证 明 设

?APB



?CPD















Q1







?CQ1P ? ?BQ1P ? ?180? ??CDP? ? ?180? ??BAP? ? 180? ,所以点 Q1 在 BC 上。又因为
?CQ1D ? ?CPD ? ?APB ? ?AQ1B ,所以 Q1 ? Q 。设 ?APB 与 ?CPD 的外接圆半径分别为 R1, R2 , ?APB ? ? ,则
AB 2R1 sin ? R1 ,因此 AC 与 BD 的交点 O 是 ? ? CD 2R2 sin ? R2

?APB 的外接圆与 ?CPD 的外接圆的位似中心,设 ?APB 与 ?CPD 的外接圆的圆心分别为

O1 , O2 ,则 O 在 O1O2 上,且 O1O2 是 PQ 的中垂线,于是有 OP ? OQ 。
7.圆 S1 , S2 , S3 均与圆 S 外切,切点分别为 A1 , B1 , C1 ,并且它们还分别与 ?ABC 的两条边相 切,证明 AA , BB1 , CC1 三线共点。 (20 届全俄) 1

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证明

设 ?ABC 的 内 切圆的 圆心 为 I , 半径为 R , ? S , ? S1 , ? S2 , ? S3 的半 径分 别为
? r ? H ? A, 1 ? ? R? ? r? H ? A1 , ? ? r1 ? ?

? ? r , r1 , r2 , r3 ,则 ? I ???? ? S1 ???? ? S 。设 P 为 SI 上的一点,且满足
r? ? H ? P,? ? R? ?

PS r ? ,则 PI R

? I ???? ? S ,从而有 A, A1 , P 在一条直线上。同理 B, B1 , P 与 C, C1 , P 均三点共线,即 ?
AA1 , BB1, CC1 三线共点。
8.给定一个半圆周,其直径为 AB ,圆心为 O ,一直线与半圆周相交于点 C , D ,且与 AB 的延长线交于点 M ,其中 MB ? MA, MD ? MC 。设 ?AOC, ?BOD 的外接圆 O1 , O2 的第二个 交点为 K ,证明 ?MKO 是直角。 (21 届全俄)

证明 法一 连 OO1 交 ? O1 于点 P , OO2 交 ? O2 于点 Q ,因为 O1O2 ? OK , PQ ∥ O1O2 , 且 K 在 PQ 上,所以只要证 P, Q, M 三点共线。由于 OP 是 ? O1 的直径,因此 PA 与 ? O 相切。 同理 PC , QB, QD 也均与 ? O 相切。过 P 作 QD 的平行线,与 DC 的延长线交于点 E ,则

?CEP ? ? MDQ ? ? ECP ,所以 PE ? PC ? PA ,即 ?PAE 与 ?QBD 均是等腰三角形,且对

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应边平行,因此对应顶点的连线交于一点,即 P, Q, M 三点共线。 法二 设 AC , BD 交于点 N , AD, BC 交于点 H ,则 H 为 ?NAB 的垂心。连 MH ,分别 及 N , D, Y , B 为调和点列, 所以 MH 是 N 关于 ? O 的极线,

交 AC , BD 于点 X , Y , N , ,X ,A 则 C

于是 ON ? MH 。同理 OM ? NH ,且 O 是 ?HMN 的垂心。由蒙日定理得 OK 过点 N ,于是

NT ?NC NA ? 有 MH ? OK 。设 NH 与 AB 交于点 T ,则 NH ?
点共圆, ?HKO ? ?HTO ? 90? ,于是有 M , K , H 三点共线。

? NO NK ?

,所以 K , O, T , H 四

法三 延长 OK 至 S ,则 ?MKO ? 90? ? ?SKD ? ?DKM ? 90? ?

?DBO ? ?DKM ? 90? ? ?DKM ? ?DAM ? K , A, M , D 四点共圆 ? ?KAB ? ?CDK 。
因 为

C, A





PO













?CDK ? ?CDB ??KDB ? ?180? ??CAB? ? ?180? ??KOB? ? ?KOB ??CAB
? ?KCA ? ?CAB ? ?OCA ? ?OCK ? ?CAB ? ?OAC ? ?KAO ? ?CAB ? ?KAB 。 9.设点 O 是凸四边形 ABCD 的对角线的交点,过 ?AOB 的重心与 ?COD 的重心引一条直 线,过 ?BOC 的垂心与 ?AOD 的垂心引一条直线,证明这两条直线互相垂直。 届全苏) (6

证明 设 ?AOB, ?BOC, ?COD, ?AOD 的重心分别为 K , L, M , N , 则四边形 KLMN 是平 行四边形,并满足 KL, KN 分别平行于 AC , BD , KL = 设

AC BD KL AC , KN ? ? ,从而有 。 3 3 KN BD
别 为

?AOB, ?BOC, ?COD, ?AOD C,? M ?, L;









K?

, L?

, M ? , N ?则 ,

A, ? K , ? N ;

?B, 均三点共线,且四边形 K ?L?N ?N ? 是平行四边形,并满 ?K , L ? ; D ? , M , M

O B 0 足 K ?L?, K ?N ? 分别垂直于 AC , BD 。 ?A B ? ? , 设 不妨假设 ? ? 90? , ?O L ?? 9 ?? ? , 则
所以有 K ?L? cos ? 90? ? ? ? ? AC cos ? ,即 K ?L? ? AC cot ? 。同理 K ?N ? ? BD cot ? ,于是有

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K ?L? AC KL N ? ? 。因此平行四边形 KLMN 与 K ?L?M ? ? 相似,若把其中的一个平行四边形 K ?N ? BD KN 旋 转 90? , 那 么 不 仅 它 们 的 对 应 边 而 且 它 们 对 应 的 对 角 线 都 互 相 平 行 , 因 此 有

K ?M ? ? LN , L?N ? ? KM 。
10. 已知四边形 ABCD 是等腰梯形, AD∥BC, ?ABC 绕点 C 旋转某一角度得到 ?A?B?C , 把 证明线段 A?D, BC, B?C 的中点在同一条直线上。 (23 届全苏) 证明 将 ?BCB ? 平移 DC 得 ?EFG ,则 A?D, BC, B?C 的中点经位似变换 H ? D, 2? 变为

????

A?, E , G 。 连 EB 交 AD 于 K , 由 于 BE ? BK ? BA , 因 此 有 EA ? AD, EA ? EF , 从 而
?A E G ? 9 0? ? ? F E G 9 0 ? ? ? 1 1 1 G G ? 1 8?0? ? E F ? ? ? E F? ? 2 2 2 1 B?C B ? ? 2 ? CA A 。因为直

角梯形 ADFE 的腰 DF 的中点到两个直角顶点的距离相等, 所以 EC ? AC ? A?C , E, A, A? 在 即 以 C 为圆心,以 CA 为半径的圆上,从而有

1 ?ACA? ? ?AEA? ,于是可得 A?, E , G 三点共线。 2

11.已知 M 为 ?ABC 内一点,由 M 分别向 BC , CA, AB 作垂线,垂足分别为 A?, B?, C ? 。由

A, B, C 分别向 B?C?, C?A?, A?B? 作垂线,证明这三条垂线交于一点 M ? 。若 ?A?B?C ? 的外心为 O ,
则 M ?, O, M 三点共线,且 O 是线段 MM ? 的中点。

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证明

法一

连 MO ,并延长至 M ? ,使得 O 是线段 MM ? 的中点。设 AM 的中点为 O? ,

则 O? 为由 A, C?, M , B? 所确定的四边形的外接圆的圆心,因此 OO? ? B? C? 。又因为 AM ? ∥

OO? ,所以有 AM ? ? B?C ? 。同理可得 BM ? ? C?A?, CM ? ? A?B? 。
法二 分别延长 MA?, MB?, MC? 至 D, E, F ,使得 BC , CA, AB 分别是 MD, ME, MF 的中垂 线,所以 AE ? AM ? AF ,即 A 是 ?MEF 的外心。同理, B, C 分别是 ?MDF , ?MDE 的外心。 由于由 A, B, C 分别向 B?C?, C?A?, A?B? 作的垂线就是由 A, B, C 分别向 EF , FD, DE 作的垂线, 因 此也就是 EF , FD, DE 的中垂线,而 EF , FD, DE 的中垂线交于一点,且就是 ?DEF 的外心,即 点 M ? 。又因为 M 是 ?A?B?C ? 与 ?DEF 的位似中心,且位似比为 2 ,所以 M ?, O, M 三点共线, 且 O 是线段 MM ? 的中点。 12.已知 P, Q 分别是 ?ABC 的边 AC, AB 上的点, BP, CQ 相交于点 D ,证明 ?ABD 和

?ACD 的内切圆外切的充分必要条件是四边形 APDQ 有内切圆。 (99 年保加利亚)

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证明 充分性: ?ABD 和 ?ACD 的内切圆外切, 由 可得 DB ? DC ? AB ? AC 。 ?A Q 的 作 C 内 切 圆 , 过 B 作 该 圆 的 切 线 BM , 交 CQ 于 D1 。 由 于 AB ? AC ? D1B ? D1C , 因 此 有

DB ? DC ? D1B ? D1C ,即 D ? D1 。
必 要 性 : 设 ?ABD 和 ?ACD 的 内 切 圆 与 AD 分 别 切 于 点 N1 , N , 因 为

D B? D C ?

A ? ,所以有 DN ? DN1 。 B AC

13.已知单位面积的凸四边形 ABCD 及其内一点 P ,证明这 5 个点构成的三角形中必有一 个的面积不超过 证 明

2 ?1 ,并证明这个上界是最小的。 2
P, B C 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 , PA, PB, PC , PD 分别为 a, b, c, d , ? PAD

假 设 两 条 对 角 线 交 于 点 O , 不 妨 假 设 P 点 在 ?O B C中 。 假 设

?P A , ? P B D C , ?

?APB ? ? , ?BPC ? ? , ?CPD ? ? , ?APD ? ? ,因为
sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? ? 1 ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? 2

1 ? cos ?? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? , 2

所以有 S?PAB ? ?PCD ? S1S2 ? S3S4 。若 S1 , S2 , S3 , S4 均大于 S

2 ?1 ,则 2

1 ? S ABCD ? S?PAB ? S?PCD ? S3 ? S4 ? 2 S?PAB ?S?PCD ? S3 ? S4 ? 1,
矛盾。

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当等腰梯形 ABCD 满足 AD 平行于 BC , AD ? 2 ?1, BC ? 1 ,高为 2 , P 在对称轴上, 且到 AD 的距离为 1。此时 S?PAD ? S?PBC ? S?PAC ? S?PBD ?

2 ?1 2? 2 , S?PAB ? S?PCD ? , 2 2

所以

2 ?1 是最小的。 2
14.已知 ? ABC 的重心为 G ,?1? 证明 AG, BG, CG 分别关于 ?A, ?B, ?C 的角平分线对称

的三条直线交于一点 P ; ? 2 ? 若 P 在三条边 BC , CA, AB 上的投影分别为 D, E, F ,证明 P 为

? DEF 的重心。
证明

?1? 设 ? ABC 的三条中线分别为 AL, BM , CN , AG, BG, CG 关于 ?A, ?B, ?C 的角

平分线对称的三条直线分别与 BC , CA, AB 交于点 L1 , M1 , N1 ,设 BC ? a ,CA ?b , AB ? c ,则

BL1 BL BL1 BL S? ABL1 S? ABL AB?AL1 AB?AL c 2 ? ? ? ? ? ? ? ? L1C LC LC L1C S? ACL S? ACL1 AC ?AL AC ?AL1 b 2











BL CM AN CM1 CM a 2 AN1 AN b2 ? ? ?1 , 于 是 有 ? ? 2; ? ? 2 。由塞瓦定理,可得 LC MA NB M1 A MA c N1B NB a

BL1 CM1 AN1 ? ? ? 1 ,由塞瓦定理的逆定理可得 AL1 , BM1 , CN1 交于一点。 L1C M1 A N1B

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用塞瓦定理的三角表示(角元塞瓦定理)更容易得到。 设 DP 与 EF 交 于 点 K , ?CAL ? ? , 由 正 弦 定 理 可 得

? 2?

sin ? LC BL sin ? ?A ? ? ? ? ? ? ,由于 A, E, P, F ; B, D, P, F ; C, D, P, E 均四点共圆,所以 sin ?C AL AL sin ?B
?FEP ? ?PAF ? ? , ?EFP ? ?PAE ? ?A ? ? , ?FPK ? ?B, ?EPK ? ?C , 由 正 弦 定 理 得

FK ?

sin ?FPK sin ?B sin ?B sin ? PK ? PK ? ? KE ? KE ,于是 K 是 EF 的 sin ?EFP sin ? ?A ? ? ? sin ? ?A ? ? ? sin ?C

中点,进而可得 P 是 ? DEF 的重心。 15.已知 ?ABC 的边 AB 上有两个点 P, Q ,证明 ?APC 与 ?BQC 的内切圆半径相等的充分 必要条件是 ?AQC 与 ?BPC 的内切圆半径相等。 证明 先 证 明 一 个 引 理 : 设 ?ABC 的 边 BC 上 的 高 为 h , 内 切 圆 半 径 为 r, 则

h ? 2r ?B ?C ? tan tan 。 h 2 2
设 ?ABC 的内心为 I ,作 BC 的平行线 DE 与圆 I 相切,且分别与 AB, AC 交于点 D, E ,则

h ? 2r DE ? ? h BC

?BDE ?CED ?B ?C rcot ?r cot t a n? tan ? 2 2 ? 2 2 ? t a n B t a?C 。 n ?B ?C ?B ?C 2 2 r cot ? r cot cot ? cot 2 2 2 2

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设 ?APC, ?BQC, ?AQC, ?BPC 的 内 切 圆 半 径 分 别 为 r , r2 , r3 , r4 , 则 1

h ? 2r1 h ? 2r2 ?A ?APC ?B ?BQC ? ? tan tan ? tan tan h h 2 2 2 2 h ? 2r3 h ? 2r4 ?A ?AQC ?B ?BPC ? tan tan ? tan tan ? ? ? r3 ? r4 。 2 2 2 2 h h 16.已知圆内接五边形 ABCDE 满足 ?ABC 的内切圆半径等于 ?AED 的内切圆半径, ?ABD 的内切圆半径等于 ?AEC 的内切圆半径,证明 ?ABC ≌ ?AED 。 (98 年保加利亚) r1 ? r2 ?

证明 设 ?ABC, ?AED, ?ABD, ?AEC 的内切圆半径分别为 r , r2 , r3 , r4 , 外接圆半径为为 R , 1 不 含 其 它 顶 点 的 弧

? , BC, CD, DE, EA 分 别 为 2a, 2b, 2c, 2d , 2e , 则 有 AB ? ? ? ?


cos a ? cos b ? cos ? a ? b ? ? 1 ?

r1 r ? 1 ? 2 ? cos e ? cos d ? cos ? e ? d ? R R r3 r cos a ? cos ? b ? c ? ? cos ? e ? d ? ? 1 ? ? 1 ? 4 ? cos e ? cos ? d ? c ? ? cos ? a ? b ? 。 R R

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两式相减得 cos b ? cos ? d ? c ? ? cos d ? cos ?b ? c ? ,从而有 cos

b?c?d d ?c ?b ? cos ,舍去 2 2

一种情况后可得 b ? d 。代入第一个式子得 cos a ? cos ?b ? e? ? cos e ? cos ? a ? b ? ,类似地可得

a ? e 。因此有 ?ABC ≌ ?AED 。
17.已知凸四边形 ABCD , AB, DC 交于点 P , AD, BC 交于点 Q ,O 为四边形 ABCD 内一点,且有 ?BOP ? ?DOQ ,证明 ?AOB ? ?COD ? 180? 。 (05 年保加利亚 BMO 选拔)

证明 设 ?BOP ? ?DOQ ? ? ,则

sin? QD sin ?? ? ?AOD ? AQ ,从而有 ? , ? sin?OQD OD sin?OQD OA

sin ?? ? ?AOB ? AP OB sin ?? ? ?AOD ? AQ OD ? ? 。 类 似 地 , 有 , 因 此 有 ? ? sin? OA BP sin? OA QD

s i ?? ? ?A O ?D A Q O D B P n sin?BOQ BQ sin ? ?COD ? ? ? QC 。同理,由 ,可 ? , ? ? ? ? sin?OQB OC s i ?? ? ?A O ?B n A P O B Q D sin?OQB OB


sin ? ?COD ? ? ? QC OB sin ? ?BOC ? ? ? PC OD ? ? , ? ? sin?BOQ OC BQ sin?DOP OC PD









sin ? ?COD ? ? ? QC OB PD 。 设 AC 与 PQ 交 于 点 L , 由 梅 涅 劳 斯 定 理 , ? ? ? sin ? ?BOC ? ? ? PC OD QB sin ?? ? ?AOD ? sin ? ?COD ? ? ? AQ DP CL CQ BP AL ? ? ? 1, ? ? ? 1 ,于是有 ? 1 。积化和差 QD PC LA QB PA LC sin ?? ? ?AOB ? sin ? ?BOC ? ? ?
并 化 简 后 得 cos ? ?AOD ??COD ? 2? ? =cos ? ?AOB ??BOC ? 2? ? , 于 是 可 得

?A O D ? C O ? ? ? D ?AOB ? ?COD ? 180? 。

A O B? 其 中 另 一 种 情 况 不 存 在 ) , 从 而 有 ? ( B O C

18. D 为 AG 的中点,在 AG 的同侧作全等的四边形 ABCD, DEFG ,使它们都有内切圆,

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圆心分别为 O, I ,证明 AO, CE, GI 三线共点。 (30 届加拿大训练题)

证明

作位似变化 ABCD ??? AMNG ,则有 GFED ??? GNMA ,于是 C 是 ? ?

H ? A,2?

H ? G ,2?

1 AN 的中点, E 是 MG 的中点。设 AO, GI 交于点 K ,由 OD ? GK ,且 OD ∥ GK ,可得 K 2
是四边形 AMNG 的内切圆的圆心。由牛顿定理,可得 C, K , E 三点共线。 19.已知圆 O1 , O2 , O3 , O4 按顺时针的顺序内切于圆 O ,设圆 Oi , Oj ?1 ? i ? j ? 4? 的外公切 线长为 lij ,证明依次以 l12 , l23 , l34 , l14 为边长,以 l13 , l24 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。 证明 设圆 O, O1 , O2 , O3 , O4 的半径分别为 R, r , r2 , r3 , r4 ,圆 O1 , O2 , O3 , O4 与圆 O 的切点分别 1 为

A, B, C , D , OO1 ? a, OO2 ? b, OO3 ? c, OO4 ? d , ?O1OO2 ? ? , ?O2OO3 ? ? ,

?O3OO4 ? ? , ?O1OO4 ? ? ,因为 R ? a ? r1 ? b ? r2 ,所以有
2 2 l12 ? O1O2 ? ? r1 ? r2 ? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ? ? a ? b ? ? 2ab ?1 ? cos ? ? ? 4ab sin 2 2 2

?
2





l12 ? 2 ab sin

?
2

。同理可得 l23, l 34, l 14, l 13 l 24 , 的表达式。由托勒密定理的逆定理知,只要证

l12l34 ? l23l14 ? l13l24 。代入 lij 的表达式,只要证

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CD ? BC ?AD ? AC ?BD 。 ,即 AB?

20 . 设 M 是 ?ABC 内 一 点 , D, E, F 分 别 是 ?BCM , ?CAM , ?ABM 的 外 心 , 证 明

S?DEF ? S?ABC ,并确定等号成立的条件。

证明 设 MA, MB, MC 与 EF , FD, DE 分别交于点 A1 , B1 , C1 , ?DEF 的外心为 O ,外接圆 半 径 为 R , OM ? d 。 因 为 M 在 圆 O 的 内 部 , 由 欧 拉 关 于 垂 足 三 角 形 的 面 积 公 式 , 有

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S?ABC ? 4S?A1B1C1 ? 4?

R2 ? d 2 4R2

S?DEF ?

R2 ? d 2 S?DEF ? S?DEF 。等号成立当且仅当 d ? 0 ,即 M R2

为 ?DEF 的外心。此时有 M 为 ?ABC 的垂心,且 ?ABC 是锐角三角形。 21. ?1? 直角 ?ABC 中, O 是斜边 AB 的中点, PB ? AB , PO 交 AC 于点 M , PC 的延 长线交 AB 于点 E ,证明 ?OBM ? ?BCE 。 (07 年第四届东南地区数学奥林匹克) 证明 作 ?ABC 的外接圆 O ,延长 PE ,与圆 O 交于点 D ,连 AD ,并与 PO 的延长线交于 点 N 。因为 ?BCE ? ?BAD ,所以只要证 ?OBM ? ?BAD 。又因为 O 是 AB 的中点,因此只 要证 OM ? ON 。

? 2 ? 设 C , D 是以 O 为圆心, AB 为直径的半圆上的任意两点,过点 B 作圆 O 的切线,交直
线 DC 于点 P ,直线 PO 与直线 AC , DA 分别交于点 M , N ,证明 OM ? ON 。 (07 年第四届东 南地区数学奥林匹克)

统一证明 过 A 作 AB 的垂线,与直线 PO 交于点 Q ,则 O 是 PQ 的中点。于是这两个问题 都等价于: 已知过圆 O 的圆心 O 的直线上的两个点 P, Q 满足 OP ? OQ ,过 P 作圆 O 的割线 PCD ,过

Q 作圆 O 的切线 PA ,若 AC , AD 与直线 PQ 分别交于点 M , N ,证明 OM ? ON 。
实际上这个问题还可以更一般化:设一条直线 l 与一条二次曲线交于点 S , T , ST 的中点为

O , P, Q 为 l 上的两个点,且满足 OP ? OQ ,过 P 作圆 O 的割线 PCD ,过 Q 作圆 O 的割线
PEF ,若 CE, DF 与直线 l 分别交于点 M , N ,证明 OM ? ON 。

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证明 以 O 为坐标原点, l 为 x 轴建立平面直角坐标系,二次曲线的方程设为

ax2 ? bxy ? cy 2 ? dx ? ey ? f ? 0 。当 y ? 0 时得 ax2 ? dx ? f ? 0 ,该二次方程的两个解就是点
S , T 的 横 坐 标 。 因 为 ST 的 中 点 为 O , 所 以 d ? 0 , 即 二 次 曲 线 的 方 程 化 为

ax2 ? bxy ? cy 2 ? ey ? f ? 0 。 设 P ? p 0 ,? ? , ? Q

, p, , 则 P C D PEF 的 方 程 为 ? 0 的 二 次 曲 线 系 为

? y ? k ? x ? p ?? ? y ? k ? x ? p ?? ? 0
1 2

, 因 此 过 C , D, E , F

特别地, ? 取某个特殊值时, 当 ax2 ? bxy ? cy2 ? ey ? f ? ? ? y ? k1 ? x ? p ?? ? y ? k2 ? x ? p ?? ? 0 。
2 2 2 该方程就是两条直线 CE, DF 的方程。当 y ? 0 时得 ax ? f ? ? k1k 2 x ? p ? 0 ,该二次方程

?

?

的两个解就是点 M , N 的横坐标。由于二次方程没有一次项,所以 M , N 的横坐标的和为 0 ,从 而有 OM ? ON 。

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