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辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三第八次模拟考试数学(文)试题


东北育才学校高中部 2014—2015 学年度第八次模拟考试文科数学
使用时间:2015.5.18 命题人:高三数学备课组

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.集合 A ? x ? N 0 ? x ? 4 的真子集 个数为 ... A.3 B.4 C.7 D.8

?

?

2.已知 z 是复数 z 的共轭复数, z ? z ? z ? z ? 0 ,则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

3.已知向量 a ? 0 ,?2 3 , b ? 1 , 3 ,则向量 a 在 b 上的正射影的数量为 A. 3 B. 3 C. ? 3
a a2

?

?

?

?

D. ? 3

4.等差数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2 1 ? 2 A.10 B.20 C.40

2a10 ) ?

D. 2 ? log2 5

5.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将 他们随机编号为 1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的 方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450? 的人 做问卷 A ,编号落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B ,其余的人做 问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 A.7 B.9 C.10 D.15

6.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法. 若输入 m ? 209 , n ? 121 ,则输出的 m 的值为 A.0 B.11
2

C.22
?2 x

D.88

7.已知 a > 1 , f ( x) ? a x 充分不必要条件是 A. ?1 ? x ? 0 8. 已知双曲线

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个

B. ?2 ? x ? 1

C. ?2 ? x ? 0

D. 0 ? x ? 1

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍, a 2 b2
·1 ·

则其渐近线方程为 A. 2 x ? y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 3x ? 4 y ? 0

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 9. 若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
A. [ ?3,11] B. [ ?3,13] C. [ ?5,13] D. [ ?5,11]

10.下列对于函数 f ( x) ? 3 ? cos 2 x, x ? (0,3? ) 的判断正确的是 A.函数 f ( x ) 的周期为 ? C. ?x0 ? (0,3? ) ,使 f ( x0 ) ? 4 B.对于 ?a ? R, 函数 f ( x ? a) 都不可能为偶函数 D.函数 f ( x ) 在区间 [

? 5?
2 , 4

] 内单调递增

11.函数 f (x) ? lg( x ?1) ?sin2 x 的零点个数为 A.9 B.10 C.11 D.12

12.直角梯形 ABCD , 满足 AB ? AD, CD ? AD, AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 现将其沿 AC 折叠成三棱锥

D ? ABC ,当三棱锥 D ? ABC 体积取最大值时其外接球的体积为
A.

3? 2

B.

4 ? 3

C. 3?

D. 4?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上

13. 一个四棱柱的三视图如图所示,则其体积为_______.

14. 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2, 3, 3, 7,a ,

b ,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为 10.5,则总体
的平均值为______.
2 2 15.已知直线 2ax ? by ? 1 (其中 a , b 为非零实数)与圆 x ? y ? 1相交于 A, B 两点, O 为坐标

·2 ·

原点,且 ?AOB 为直角三角形,则

1 2 ? 2 的最小值为 2 a b

.

16.已知 {an } 满足 (3 ? an?1 )(3 ? an ) ? 9 ,且 a1 ? 3 ,数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Sn ? ? an ?



三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin B ? 等比数列.

5 ,且 a, b, c 成 13

1 1 ? 的值; tan A tan C ( ?? )若 ac cos B ? 12, 求 a ? c 的值.
(Ⅰ)求

18. (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中,已知 ?ABC ? 45?, O 在 AB 上,且 OB ? OC ?

2 AB , 又 3

PO ? 平面 ABC , DA // PO, DA ? AO ?
(Ⅰ)求证: PB / / 平面 COD ; (Ⅱ)求证: PD ⊥平面 COD .

1 PO . 2

19.(本题满分 12 分) 浑南 “万达广场” 五一期间举办 “万达杯” 游戏大赛. 每 5 人组成一队, 编号为 1, 2, 3, 4, 5. 在 其中的投掷飞镖比赛中,要求随机抽取 3 名队员参加,每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面, 且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功” (靶面为圆形, ABCD 为 正方形) .每队至少有 2 人“成功”则可获得奖品(其中任何两位队员“成功”与否互不影响) . ( ? )某队中有 3 男 2 女,求事件 A: “参加投掷飞镖比赛的 3 人中有男有女”的概率; ( ?? )求某队可获得奖品的概率. M
·3 ·

D

A N O Q

20.(本题满分 12 分) x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,曲线 C2 : ? 2 ? 1(0 ? ? ? 1) . 已知曲线 C1 : 4 4? 4? 4? 曲线 C2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦点.

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) 为曲线 C2 上一点, 过点 P 作直线交曲线 C1 于 A, C 两点. 直线 OP 交曲线 C1 于
y A B P O C D x

B, D 两点. 若 P 为 AC 中点, ① 求证:直线 AC 的方程为 x0 x ? 2 y0 y ? 2 ; ② 求四边形 ABCD 的面积.

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax , a ? 0. ex

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,已知 x1 ? x 2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) .

请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AC 为⊙ O 的直径, D 为弧 BC 的中点, E 为 BC 的中点. (I)求证: DE / / AB ; (Ⅱ )求证: AC ? BC ? 2 AD ? CD .

·4 ·

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 以 原 点 O 为 极 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为

? ? ? 4 2 cos(? ? ) .
4
(Ⅰ)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)过点 P (2, 0) 作斜率为 1 直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,试求

1 1 的值. ? PA PB

24. (本大题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a



(Ⅰ)若 f ?x ? ? m 的解集为 ?? 1,5? ,求实数 a, m 的值;

(Ⅱ)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? t ? f ?x ? 2?

·5 ·

东北育才学校高中部 2014—2015 学年度第八次模拟考试文科数学 答案
1、C 7、A 13、8 2、A 8、C 14、10 3、D 9、D 4、B 10、C 16、 5、C 11、D 6、B 13、B

15、4
2

n2 ? n 6

5 25 2 ,得 sin A sin C ? sin B ? . 13 169 1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 13 ? ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 5 (2)由 ac cos B ? 12 知, cos B ? 0 , 5 12 又 sin B ? ,? cos B ? 13 13 12 2 ? 13 从而 b ? ac ? cos B 又余弦定理,得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B ,
17.解: (1)依题意, b ? ac ,由正弦定理及 sin B ? 代入,解得 a ? c ? 3 7 . 18.解: (Ⅰ)设 OA ? 1, 则PO ? OB ? 2, DA ? 1 , 由 DA // PO, PO ? 平 面 ABC , 知 DA ⊥ 平 面

ABC ,? D? A A . OP O ? O B ∴ ?DOA ? ?PBO ? 45? ,∴ PB / / DO 又 PB ? 平面 COD , DO ? 平面 COD , ∴ PB / / 平面 COD ??????????????6 分 (Ⅱ)在直角梯形 AOPD 中, OA ? DO ? 1, PO ? 2
从而 DO ? 2, PD ? 2

? ?PDO 为直角三角形,故 PD ? DO 又 OC ? OB ? 2, ?ABC ? 45? ,? CO ? AB 又 PO ? 平面 ABC, ? PO ? OC, PO, AB ? 平面 PAB, PO AB ? O ,? CO ? 平面 PAB . 故 CO ? PD . ∵ CO DO ? O ∴ PD ? 平面 COD. …………12 分
19.解: (I)假设某队中 1,2,3 号为男性,4,5 号为女性,在从 5 人中 抽取 3 人的所有可能情况有(1,2,3) (1,2,4) (1,2,5) (1,3,4) (1,3,5) (1,4,5) (2,3,4) (2,3,5) (2,4,5) (3,4,5)共 10 个基本事件 A 其中事件 A 包括(1,2,3)一种情况, ∴ P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? M D

1 9 ? 10 10
9 10

N O ???? 6分 B P

Q

答: “参加投掷飞镖比赛的 3 人中有男有女”的概率为 (II)由图可知 OD ?

C

2OM ,

1 ? (OM ) 2 1 2 ? , (i ? 1, 2,3) 设事件 Ai 表示第 i 个人成功,则 P ( Ai ) ? ? (OD) 2 4
·6 ·

设事件 B 表示某队可获得奖品,即至少有 2 人“成功” 则 P(B) ? P( A 1

A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 ? 32 5 答:某队可获得奖品的概率为 . 32 1 20. (Ⅰ) 4? ? 4 ? 4? ? ? 2 (Ⅱ)① 可得 B( 2x0 , 2 y0 ), D(? 2x0 , ? 2 y0 )
由 kOP ? k AC ? ?

A3 ) ? P( A1

A2

A3 )

2分 3分

b2 1 ?? 2 a 2

AC : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ?

x0 ( x ? x0 ) 即 x0 x ? 2 y0 y ? 2 2 y0

5分

6分 y0 ? 0, x0 ? ? 2 , lAC : x ? ? 2 符合 x0 x ? 2 y0 y ? 2 x0 1 ? x? x2 2x 2 ?y ? ? 2 y0 y0 ② 解法一:联立方程 ? (1 ? 0 2 ) x 2 ? 20 x ? 2 ? 4 ? 0 2 y0 y0 y0 ? x2 ? 2 y 2 ? 4 ? 2 即 2x2 ? 4x0 x ? 4 ? 8 y0 ?0

AC ? 1 ?

2 2 2 x0 x0 x0 2 2 2 x ? x ? 1 ? 4 x ? 8 ? 16 y ? 1 ? 8 y0 8分 A C 0 0 2 2 2 4 y0 4 y0 4 y0

B, D 到 AC 距离 d1 ?
S?

2 2 ?2 x ? 4y
2 0 2 0

, d2 ?

2 2 ?2
2 2 x0 ? 4 y0

10 分 11 分 12 分

1 AC ? (d1 ? d 2 ) ? 4 2 当 y0 ? 0 时 ABCD 面积也为 4

② 解法二: P( x0 , y0 ), B( 2x0 , 2 y0 ), D(? 2x0 , ? 2 y0 )
2 2 BD ? 2 2 x0 ? y0 , A( x1 , y1 ) , lBD : y0 x ? x0 y ? 0

A 到 BD 的距离为 d ?

y0 x1 ? x0 y1
2 2 x0 ? y0



8分

2 2 又 x0 x1 ? 2 y0 y1 ? 2, x0 ? 2 y0 ? 2, x12 ? 2 y12 ? 4 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 ? ( x0 ? 2 y0 )( x12 ? 2 y12 ) ? x0 x1 ? 2 y12 x0 ? 2 y0 x1 ? 4 y0 y1

? ( x0 x1 ? 2 y0 y1 )2 ? 2( x0 y1 ? y0 x1 ) 2 ? 4 ? 2( x0 y1 ? y0 x1 ) 2
则 y0 x1 ? x0 y1 ? 2 . 又 P 为 AC 中点,
·7 ·

10 分

则 S ? 2? 21.

y x ?x y 1 2 2 ? d ? BD ? 0 1 0 1 ? 2 2 x0 ? y0 ? 4. 2 2 2 x0 ? y0

12 分

22.解: (Ⅰ)连接 BD ,因为 D 为弧 BC 的中点, 所以 BD ? DC . 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE ? BC . 因为 AC 为圆的直径,所以 ?ABC ? 90? , 所以 AB // DE . ?5 分 (Ⅱ)因为 D 为弧 BC 的中点,所以 ?BAD ? ?DAC , 又 ?BAD ? ?DCB ,则 ?BCD ? ?DAC . 又因为 AD ? DC ,DE ? CE , 所以 ?DAC ∽ ?ECD . 所以

AC AD ? , AD ? CD ? AC ? CE ,? 2 AD ? CD ? AC ? BC . CD CE

?10 分

·8 ·

B

D E

A

O

C

24.(1)因为 x ? a ? m 所以 a ? m ? x ? a ? m

?a ? m ? ?1 ? a ? 2, m ? 3 -------------5 分 ? ?a ? m ? 5
(2) a ? 2 时等价于 x ? 2 ? t ? x 当 x ? 2, x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2 所以舍去 当 0 ? x ? 2,2 ? x ? t ? x,? 0 ? x ? 当 x ? 0,2 ? x ? t ? ? x 成立 所以,原不等式解集是 ? ? ?,

t?2 , 成立 2

? ?

t ? 2? -----------10 分 2 ? ?

·9 ·


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