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28用电流场模拟静电场25


用电流场模拟静电场

实验 25
【实验目的】

用电流场模拟静电场

1.学习用模拟法测绘静电场的原理和方法; 2.加深对电场强度和电位概念的理解。

【实验原理】
在一些科学研究和生产实践中, 往往需要了解带电体周围静电场的分布情况。 一般来说带电体的形状比较复杂,无论用理论方

法进行计算还是用实验手段直接 研究或测绘静电场通常都是很困难的。因为仪表(或其探测头)放入静电场,总 要使被测场原有分布状态发生畸变,而且除静电式仪表之外的一般磁电式仪表不 能用于静电场的直接测量, 因为静电场中不会有电流流过, 对这些仪表不起作用。 所以,人们常用“模拟法”间接测绘静电场的分布。 1.模拟的理论依据 模拟法在科学实验中有着极其广泛的应用,其本质是用一种易于实现、便于 测量的物理状态或过程的研究去代替另一种不易实现、不便测量的状态或过程的 研究。 为了克服直接测量静电场的困难,可以仿造一个与待测静电场分布完全一样 的电流场,用容易直接测量的电流场去模拟静电场。 静电场与稳恒电流场本是两种不同的场,但是它们两者之间在一定条件下具 有相似的空间分布,即两种场遵守的规律在形式上相似。它们都可以引入电 位 U ,而且电场强度 E = ??U ,并且都遵守高斯定理。对静电场,电场强度在 无源区域内满足以下积分关系

∫ E ? ds = 0
s

∫ E ? dl = 0
l

而对于稳恒电流场,电流密度矢量 J 在无源区域内也满足类似的积分关系

∫ J ? ds = 0
s

∫ J ? dl = 0
l

由此可见, E 和 J 在各自区域中满足同样的数学规律。若稳恒电流场空间内 均匀地充满了电导率为 σ 的不良导体, 不良导体内的电场强度 E ′ 与电流密度矢量 J 之间遵循欧姆定律 J = σE ′ 因而, E 和 E ′ 在各自的区域中也满足同样的数学规律。在相同边界条件下, 由电动力学的理论可以严格证明:像这样具有相同边界条件的相同方程,其解也 相同。因此,可以用稳恒电流场来模拟静电场。也就是说静电场的电力线和等势 线与稳恒电流场的电流密度矢量和等位线具有相似的分布,所以测定出稳恒电流
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用电流场模拟静电场

场的电位分布也就求得了与它相似的静电场的电场分布。 2.模拟长同轴圆柱形电缆的静电场 利用稳恒电流场与相应的静电场在空间形式上的一致性,则只要保证电极形 状一定,电极电位不变,空间介质均匀,在任何一个考察点,均应有U 稳恒 = U 静电 或E稳恒 = E静电 。下面以同轴圆柱形电缆的静电场和相应的模拟场——稳恒电流场 来讨论这种等效性。 如图 2-99a 所示,在真空中有一半径为 ra 的长圆柱形导体 A 和一个内径为 rb 的长圆筒形导体 B ,它们同轴放置,分别带等量异号电荷。由高斯定理可知,在 垂直于轴线的任一个截面 S 内, 都有均匀分布的辐射状电力线, 这是一个与坐标 z 无关的二维场。在二维场中电场强度 E 平行于 S 平面,其等位面为一簇同轴圆柱 面。因此,只需研究任一垂直横截面上的电场分布即可。
O ra +A B


rb

E S E

S

rb

r

u
E

O A+ ra E


B

a)
图 2-99 同轴电缆及其静电场分布

b)

距轴心 O 半径为 r 处(见图 2-99b)的各点电场强度为 λ E= 2πε 0 r 式中 λ 为 A (或 B )的电荷线密度。其电位为 r λ r U r = U a ? E ? dr = U a ? ln ra 2πε 0 ra 若 r = rb 时 U b = 0 ,则有 λ Ua = 2πε 0 ln rb / ra 代入式(2-196)得



(2-196)

Ur =Ua

ln rb / r ln rb / ra

(2-197)

距中心 r 处场强为
1 dU r Ua (2-198) = ? ln rb / ra r dr 若上述圆柱形导体 A 与圆筒形导体 B 之间不是真空,而是均匀地充满了一种 电导率为 σ 的不良导体,且 A 和 B 分别与直流电源的正负极相连,见图 2-100, Er = ?

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则在 A 、 B 间将形成径向电流,建立起一个稳恒电流场 E r′ 。可以证明不良导体 中的电场强度 E r′ 与原真空中的静电场 E r 是相同的。
U1 U1

ra
O

rb

S1 t

rb ra
O

S2

r+dr

r

a)
图 2-100 同轴电缆的模拟模型

b)

取厚度为 t 的圆柱形同轴不良导体片来研究。设材料的电阻率为 ρ ( ρ = 1/ σ ) ,则从半径为 r 的圆周到半径为 r + dr 的圆周之间的不良导体薄块的 电阻为 ρ dr (2-199) dR = ? 2πt r 半径 r 到 rb 之间的圆柱片电阻为
Rr、rb =

ρ 2πt

rb

∫r
r

dr

=

ρ
2πt

ln

rb r

(2-200)

由此可知,半径 ra 到 r b 之间圆柱片的电阻为 ρ rb ln (2-201) Rra、rb = 2πt ra 若设 U b = 0 ,则径向电流为 Ua 2πtU a   (2-202) I= = Rra rb ρ ln rb / ra 距中心 r 处的电位为 ln rb / r (2-203) U r = IRrrb = U a ln rb / ra 则稳恒电流场 E r′ 为 ′ 1 dU r Ua ′ = ? (2-204) Er = ? ln rb / ra r dr 可见式(2-203)与式(2-197)具有相同形式,说明稳恒电流场与静电场的 电位分布函数完全相同,即柱面之间的电位 U r 与 ln r 均为直线关系,并且 U r / U a 即相对电位仅是坐标的函数,与电场电位的绝对值无关。显而易见,稳恒电流的 电场 E ′ 与静电场 E 的分布也是相同的,因为

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′ dU r dU r =? =E dr dr 实际上, 并不是每种带电体的静电场及模拟场的电位分布函数都能计算出来, 只有在 σ 分布均匀而且几何形状对称规则的特殊带电体的场分布才能用理论严 格计算。上面只是通过一个特例,证明了用稳恒电流场模拟静电场的可行性。 为什么这两种场的分布相同呢?这可以从电荷产生场的观点加以分析。在导 电质中没有电流通过时,其中任一体积元(宏观小,微观大,即其内仍包含大量 原子)内正负电荷数量相等,没有净电荷,呈电中性。当有电流通过时,单位时 间内流入和流出该体积元内的正或负电荷数量相等, 净电荷为零, 仍然呈电中性。 因而,整个导电质内有电流通过时也不存在净电荷。这就是说,真空中的静电场 和有稳恒电流通过时导电质中的场都是由电极上的电荷产生的。事实上,真空中 电极上的电荷是不动的,在有电流通过的导电质中,电极上的电荷一边流失,一 边由电源补充,在动态平衡下保持电荷的数量不变。所以这两种情况下电场分布 是相同的。 3.模拟条件 模拟方法的使用有一定的条件和范围,不能随意推广,否则将会得到荒谬的 结论。用稳恒电流场模拟静电场的条件可以归纳为下列三点: (1)稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同。 (2)稳恒电流场中的导电介质应是不良导体且电导率分布均匀,并满足 才能保证电流场中的电极 (良导体) 的表面也近似是一个等位面。 σ电极 >> σ 导电质 , E′ = ?

(3)模拟所用电极系统与被模拟电极系统的边界条件相同。 4.静电场的测绘方法 由(2-198)式可知,场强 E 在数值上等于电位梯度,方向指向电位降落的方 向。考虑到 E 是矢量,而电位 U 是标量,从实验测量来讲,测定电位比测定场强 容易实现,所以可先测绘等位线,然后根据电力线与等位线正交的原理,画出电 力线。这样就可由等位线的间距确定电力线的疏密和指向,将抽象的电场形象地 反映出来。 5.利用互易关系“直接”测绘电力线 用电流场模拟静电场,在相同的边界条件下,两种场的电位分布完全相同。 通过测定电流场的电位分布,就得到了静电场的电位分布,然后根据等位线和电 力线正交的关系,即可画出电力线。是否 V1 可以直接测绘出电力线呢?在电流场中, 由于电荷沿电力线的方向流动,即电流线 导电质 在电力线的方向,而电流线不能穿过导电 电极 玻璃的边缘或切口,因而电流线必平行于 导电玻璃的边缘或切口,又垂直于电极表 面。故电力线平行于导电玻璃的边缘或切 切口 口,垂直于电极表面,而等位线与电力线 垂直。由于导电玻璃可以根据需要加工成 图 2-101 同轴电缆模拟模型的互易装置 任意形状,因而可以人为地制造边缘或切 口,使其在电力线方向。
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如果在导电玻璃边缘(或电力线)的地方用一个电极表面去代替它,而在电 极表面(或等位线)的地方用一个边缘去代替它,那么所得到的新的等位线的形 状将是原电极时电力线的形状,而新的电力线即为原等位线。这个关系称为互易 关系 。 实际上是通过电极的变换, 使电力线和等位线这两个相互正交的曲线族得 到互换,使原来不能直接测定的电力线改变成可以直接测定的等位线。从理论上 也可以证明此关系,参见补充说明 12。 应用互易关系可以直接测绘电力线。在导电玻璃上切割出半径为 r1 和 r2 的两 个同心圆切口,再沿同心圆的任意半径方向制作出两个扇形电极,加上电压 V1 , 如图 2-101 所示,就得到了同轴电缆模拟模型的互易装置。利用此互易装置描绘 出的等位线即为原模拟模型的辐射状电力线。

【实验装置】
EQC-2 型电场描绘仪(包括导电玻璃、双层固定支架、同步探针等) ,如图 2-102 所示,支架采用双层式 结构,上层放记录纸,下层放 导电玻璃。电极已直接制作在 导电玻璃上,并将电极引线接 出到外接线柱上,电极间制作 有电导率远小于电极且各向均 匀的导电介质。接通直流电源 (10V)就可进行实验。在导 电玻璃和记录纸上方各有一探 图 2-102 EQC-2 型电场描绘仪 针,通过金属探针臂把两探针 固定在同一手柄座上,两探针始终保持在同一铅垂线上。移动手柄座时,可保证 两探针的运动轨迹是一样的。由导电玻璃上方的探针找到待测点后,按一下记录 纸上方的探针,在记录纸上留下一个对应的标记。移动同步探针在导电玻璃上找 出若干电位相同的点,由此即可描绘出等位线。 EQC-2 型双层式静电场测绘仪一套,直流稳压电源(10V,lA)一台,电压 表、导线等。

【实验内容】
1.描绘同轴电缆的静电场分布 (1)利用图 2-100b 所示模拟模型,将导电玻 璃上内外两电极分别与直流稳压电源的正负极 相连接,电压表正负极分别与同步探针及电源 负极相连接,移动同步探针测绘同轴电缆的等 位线簇。 要求相邻两等位线间的电位差为 l 伏, 共测八条等位线,每条等位线测定出八个均匀 分布的点。以每条等位线上各点到原点的平均 距离 r 为半径画出等位线的同心圆簇。然后根
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10V 图 2-103 静电透镜聚焦场的模拟模型

用电流场模拟静电场

据电力线与等位线正交原理,再画出电力线,并指出电场强度方向,得到一张完 整的电场分布图。在坐标纸上作出相对电位 U r / U a 和 ln r 的关系曲线,并与理论 结果比较,再根据曲线的性质说明等位线是以内电极中心为圆心的同心圆。 (2) (选做)利用图 2-103 所示模拟模型,应用互易关系直接测绘同轴电缆的电 力线分布。 2.描绘聚焦电极的电场分布 利用图 2-102 所示模拟模型, 测绘阴极射线示波管内聚焦电极间的电场分布。 要求测出 7~9 条等位线,相邻等位线间的电位差为 1 伏。该场为非均匀电场,等 位线是一簇互不相交的曲线,每条等位线的测量点应取得密一些。画出电力线, 可了解静电透镜聚焦场的分布特点和作用,加深对阴极射线示波管电聚焦原理的 理解。

【注意事项】
于导电玻璃边缘处电流只能沿边缘流动,因此等位线必然与边缘垂直,使该处 的等位线和电力线严重畸变,这就是用有限大的模拟模型去模拟无限大的空间电场 时必然会受到的“边缘效应”的影响。如要减小这种影响,则要使用“无限大”的 导电玻璃进行实验,或者人为地将导电玻璃的边缘切割成电力线的形状。

【预习思考题】
1.用电流场模拟静电场的理论依据是什么? 2.用电流场模拟静电场的条件是什么? 3.等位线与电力线之间有何关系? 4.如果电源电压 U a 增加一倍, 等位线和电力线的形状是否发生变化?电场强度和 电位分布是否发生变化?为什么? 5.试举出一对带等量异号线电荷的长平行导线的静电场的 “模拟模型” 这种模型 。 是否是唯一的?

【思考题】
1.根据测绘所得等位线和电力线分布,分析哪些地方场强较强,哪些地方场强较 弱? 2.从实验结果能否说明电极的电导率远大于导电介质的电导率?如不满足这条件 会出现什么现象? 3.在描绘同轴电缆的等位线簇时,如何正确确定圆形等位线簇的圆心,如何正确 描绘圆形等位线? 4.由(2-197)式可导出圆形等位线半径 r 的表达式为:
r=

(rb / ra )U

rb

r

/Ua

试讨论 U r 及 E r 与 r 的关系,说明电力线的疏或密随 r 值如何变化。 5.由上题给出的 r 的表达式计算各等位线圆半径的理论值 r1 ,与实验测定的等位
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用电流场模拟静电场

线圆半径 re 比较求百分误差,分析误差原因。 6.由导电玻璃与记录纸的同步测量记录,能否模拟出点电荷激发的电场或同心圆 球壳形带电体激发的电场?为什么?

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用电流场模拟静电场

【补充说明 12】互易关系的证明
长同轴柱面电极间的辐射状电场如 图 2-104 所示,其电力线为从圆心发出 的矢径,等位线为同心圆。在平面极坐 标系中电力线和等位线的方程分别为 θ ( ; 电力线方程: = 常数 r1 < r < r2 ) 等位线方程: = 常数 0 ≤ θ ≤ 2π ) r ( 。 下面考虑两块半无穷大的金属板以 图 2-104 长同轴柱面电极间的辐射状电场 一定夹角 Θ 相连结,连结处绝缘,两部 分的电势分别为 U 1 和零(接地)的情形,如图 2-105a 所示。研究在两块金属板 围成的无穷大扇形空间内的电场分布,显然,这种场也是一个平面场。
β
y

ra

U1

φ 平面

β = 常数

z 平面
U1

θ = 常数
x

α

(a)

α =常数
(b)

图 2-105 同轴电缆辐射状电场的互易关系变换

为了得到等位线和电力线的方程, 作变换 φ = ln z ,把 z = x + iy (亦可表示为
z = re iθ )平面内 0 < r < ∞ , 0 < θ < Θ 的扇形区域变换成 φ = α + iβ 平面上平行于

实轴 α ,宽为 Θ 的一个带形区域,如图 2-105b 所示。这是因为 z 平面上的射线 z1 ( 0 < r < ∞ , θ = 0 )在 φ 平面上的映象可由变换关系 φ = ln z + i arg z 求出,它所 对 应 的 是 φ1 ( ? ∞ < Re (φ1 ) < ∞, I m (φ1 ) = 0 ) 同 样 , z 平 面 上 的 射 线 z 2 。 。 ( 0 < r < ∞, θ = Θ )在 φ 平面上的映象对应的是 φ ( ? ∞ < Re (φ 2 ) < ∞, I m (φ 2 ) = Θ ) 经过变换 φ = ln z 后,问题变为在 φ 平面上求两块平行板之间的电场分布。两 板之间的电压为 V1 ,相距为 Θ 。这种情形的电场分布是大家所熟知的,它的等位 ,电力线是与虚轴平行的线段 α = 线是与实轴平行的直线 β =常数( ?∞ < α < ∞ ) 。分别如图 2-105b 中的实线和虚线所示。回到 z 平面上,由 常数( 0 < β < Θ ) β = arg z = 常数( ?∞ < α < ∞ )得等位线方程为 θ =常数 ( 0 < r < ∞ ) 由 α = ln z ( 0 < β < Θ )得电力线方程为
r =常数 ( 0 < θ < Θ ) 故等位线为从圆点发出的矢径, 电力线为圆。 如图 2-105a 中实线和虚线所示。 因而这种情况下等位线形状与长同轴柱面电极间的电力线形状相同,而电力线则 与其等位线形状相同。
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由上面的讨论可知, 如果我们在导电玻璃上切割出两个圆形的切口 (同心圆) , 半径分别为 r1 和 r2 ,其间均匀地充满导电质,再沿任意两条半径的方向制作出两 个电极,加上电压 V1 ,如图 2-105a 所示,则所描绘的等位线即为长同轴柱面电极 间的电力线。 实际上,这就是把长同轴柱面电极间的等位线(面)用边缘去代替,而把电 力线用电极表面去代替。应用互易关系,可以“直接”描绘出电力线,而不需先 描出等位线,再由电力线和等位线的关系画出电力线。 图 2-101 所示互易装置中, 两个扇形电极的圆心角可设计成 30°。 因为实验中 采用 10V 电源,在留下的 150°圆心角的电场测绘区域内,电位差为 1V 的相邻两 条等位线之间的角间距恰为 15°。学生只需使用普通的三角板就能方便地检验实 验结果。

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