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07 重积分的应用


§7 重积分的应用


2 3 4 5 6 7
求抛物柱面
2
2


2

录(1 – 17)
域的体积 .

1 求半径为R的球面与半顶角为? 的内接锥面所围成的立体的体积。
z ? 4 ? x , 平面 2 x ? y ? 4 和三个坐标平面所围区
2 2

求球面 x ? y ? z ? a
求圆柱面 x
2

与圆柱面
2

x ? y
2

2

2

? ax ( a ? 0) 所围成的体积。
.

? y

2

? a 和x
2

? z

2

? a 所围立体的体积

求双曲抛物面

z ?
?

xy a

, 圆柱面 x
?

2

? y

2

? ax ( a ? 0 )与平面

z ? 0所围成的体积。

旋转抛物面轉 x
求由旋转抛物面

? y
x ?

? az ( a ? ? )与圆锥面
2

z ? ?a ?

x

?

? y 所围体积.

?

y ? z ,抛物柱面

1 2

y ? x 及平面 y ? 1 所围立体的体积.

8
9

求椭圆抛物面
求球面 x ? y
2 2

3x
? z

2

? y

2

? z, 抛物柱面
x ? y
2 2

z ?1? x
? z
2

2

所围成的体积。
( a ? b ? 0 )所围成

2

? 2 az 与球面

? b

2

的公共部分的体积

10 曲面面积

11

锥面 z ?

x

2

? y 被圆柱面
2

x

2

? y

2

? 2 x 所割下部分的曲面面积
a ,求一柱面被另一柱面

12
13

两相同正圆柱的轴互相 所割出部分的面积。
半球面 面积。 z ?
2

直交,圆柱的底半径为

3a

2

? x
2

2

? y 与旋转抛物面
2

x ? y
2

2

? 2 az 所围成的全表

14
15 16 17

求圆柱面

y ? z

? 2 z 被圆锥面

y ? z
2

2

? x 所截的有限部分的面积
2

求位于圆r=2sin?和圆r=4sin?之间的均匀薄片的重心
求均匀半球体
求由抛物面

Ω:x
2

2

? y
2

2

? z

2

? a

2

,z ? 0

的重心
的重心

z ? 1 ? x ? y 与平面

z ? 0 所围立体

.

1.求半径为R的球面与半顶角为? 的内接锥面所围成的立体的体积
x
2

? y ? (z ? R) ? R
2 2

2

z 化为球系下的方程

?M ? ?
V : 0 ? r ? 2 R cos φ 0 ? ? ? 2?

r=2R cos?

M

0?? ??

R

?
r

?
. .

?
0

? =? ?
4π 3 R ( 1 ? cos α )
3 4

y

x

V ?

?

2π 0



?

α 0

dφ ?

2 R cos φ 0

r sin φ d r ?
2

2.

求抛物柱面

z ? ? ? x , 平面 ? x ? y ? ? 和三个坐标平面所围体

?

积。

V ?

???
?

d xd yd z

先选系

直角坐标
2

? 是曲顶柱体
y

上顶:

z ? 4? x

下底:

z ? 0

。 。 。

Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4
V ?

4

?? d x d y ?
D xy

?? x ?

?

dz

Dxy
0

2

x

?
?

?

? ?

dx ?

??? x ?

( ? ? x )d y

?

40 3

2.

求抛物柱面

z ? ? ? x , 平面 ? x ? y ? ? 和三个坐标平面所围体

?

积。

z

4

z ? ? ? x

?

0
.

y

2
x

2.

求抛物柱面

z ? ? ? x , 平面 ? x ? y ? ? 和三个坐标平面所围体

?

积。

z

2x+y=4

4

z ? ? ? x

?

0
.

y

2
x

2.

求抛物柱面

z ? ? ? x , 平面 ? x ? y ? ? 和三个坐标平面所围体

?

积。

z

4

z ? ? ? x

?

x=0
0
.

4

y

2
x

2.

求抛物柱面

z ? ? ? x , 平面 ? x ? y ? ? 和三个坐标平面所围体

?

积。
?

z

V = ??
D

dxdy ?

4? x 0

2

dz ?

?

? ?

dx ?

??? x ?

( ? ? x )d y
?
.

40 3
.

4

z ? ? ? x

?

.

y =0 =0

x=0
0

z z=0 D= 0
.

4

y

2
x

3.

求球面

x

?

? y

?

?z ? a

?

?

与圆柱面

x

?

? y

?

? ax ( a ? ? ) 所围成的体积

(指含在柱体内部分)

所围立体是曲顶柱体
先选系
y

上顶:
Dxy:

z ?

a

2

? r
2

2

柱面坐标

下底: z ? ?
r ? a cos ?

a

? r

2



r =a cos?

0

Dxy

a

x

3.

求球面

x

?

? y

?

?z ? a

?

?

与圆柱面

x

?

? y

?

? ax ( a ? ? ) 所围成的体积

(指含在柱体内部分)

所围立体是曲顶柱体
先选系
y

上顶 : z ?
下底 : z ? ?

a

2

? r
2

2

柱面坐标

a

? r

2

。 。 。

Dxy: r =a cos?
D
V ? ?

r ? a cos ?

??
π
D

a

?

? r rd rd ?
a cos θ 2

?

? 4? dθ
2 0

?

a
0
3

? r rd r
2

0
.

a

x

?

4 3

π

a

3

?

2 0

( 1 ? sin θ ) d θ

怎么计算? 用瓦里斯公式
? 2a (
3

?
3

?

4 9

)

3.

求球面

x

?

? y

?

?z ? a

?

?

与圆柱面

x

?

? y

?

? ax ( a ? ? ) 所围成的体积

(指含在柱体内部分)

z

由对称性,考虑上半部分

x

2

? y

2

?z ? a
2

2

y

.

o

x

3.

求球面

x

?

? y

?

?z ? a

?

?

与圆柱面

x

?

? y

?

? ax ( a ? ? ) 所围成的体积

(指含在柱体内部分)

z

由对称性,考虑上半部分

x x
2

2

? y

2

? ax

? y

2

?z ? a
2

2

y

.

o

a

x

3.

求球面

x

?

? y

?

?z ? a

?

?

与圆柱面

x

?

? y

?

? ax ( a ? ? ) 所围成的体积

(指含在柱体内部分)

z
π

由对称性,考虑上半部分


V
? 4 3

柱坐标
π

4

??
D
3

a

2

? r rd rd θ ? 4 ? 2 d θ
2

0

?

a cos θ

a
0

2

。 ? r rd r 。



2

a

3

?
3

2 0

( 1 ? sin θ ) d θ
4 9

? 2a (
3

?

?

)

?1

z ?

a

2

? r

2

y

.

o

D
z=0
r ? a cos ?

维望尼曲线

a

x
。 。

4. 求圆柱面 x ? ? y ? ? a ? 和 x ? ? z ? ? a ? 所围立体的体积。

z

0

a a
x

y

4. 求圆柱面 x ? ? y ? ? a ? 和 x ? ? z ? ? a ? 所围立体的体积。
V ? ? ??
D

a

?

? x dxdy ? ?

?

?
2

a ?

dx

?

a ?x ?

?

?

a

?

? x dy

?

?

16 3

a

3

z

Z ?

a

? x

2

y

y?

a ? x
2

2

a
y=0

D
x=0 x

0
.

o a
y

a
.. . .. .

D

a
x

5.

求双曲抛物面 所围成的体积

z ?

xy a

, 圆柱面

x

2

? y

?

? ax ( a ? ? )与平面 z ? ?

z
x
2

? y

2

? ax

z ?

xy a

y

o

x

5.

求双曲抛物面 所围成的体积

z ?

xy a

, 圆柱面

x

2

? y

?

? ax ( a ? ? )与平面 z ? ?

z
x
2

? y

2

? ax

z ?

xy a

y

o
z =0

a
.

x

5.
y

求双曲抛物面 所围成的体积

z ?

xy a

, 圆柱面

x

2

? y

?

? ax ( a ? ? )与平面 z ? ?

? D xy 关于 x 轴对称 , 且 z ( x ,? y ) ? ? z ( x , y )

z
D
x
2

故立体关于x轴对称 .
.

? y

2

? ax

0

a x
?1

y

.
. . .

o
z =0

a
.

V ? ? ??? d x d y d z
??

x

? ? ??
D

xy a

dxdy

?

a

3

12

6.

求曲面

x

?

? y

?

? az ( a ? ? ) 与 z ? ? a ?

x

?

? y 所围体积

?

用哪种坐标? 柱面坐标 z 联立
? r2 ? a z ? ? z ? 2a ? r

2a
z ? 2a ? r

解得交线

?r ? a L :? ?z ? a

a

L
r
2

? az

.

0

2a

y

x

6.

求曲面

x

?

? y

?

? az ( a ? ? ) 与 z ? ? a ?

x

?

? y 所围体积

?

用哪种坐标? 柱面坐标 z 联立
? r 2 ? az ? ? z ? 2a ? r

2a
z ? 2a ? r

解得交线

?r ? a L :? ?z ? a
2a?r r
2

V ?
?

?? r d r d θ ?
D

dz
r
2

a
)rd r

L
r
2

a

?

2π 0

? az



?

a 0

(2a ? r ?

.

a
?z ? 0 D :? ?r ? a

?

5 6

?a

3

D
. . .

0

y

.

x

7.

求由旋转抛物面 所围立体的体积

x ?

y ? z ,抛物柱面

?

1 2

y ? x 及平面

y ??

解 立体关于xoy平面对称 作上半块立体图 ?1
z

0

1

y

x

x ?

y? z

?

7.

求由旋转抛物面 所围立体的体积

x ?

y ? z ,抛物柱面

?

1 2

y ? x 及平面

y ??

解 立体关于xoy平面对称 作上半块立体图 ?1
z

0
x ?
.

1

y
1 2 y

x

x ?

y? z

?

7.

求由旋转抛物面 所围立体的体积

x ?

y ? z ,抛物柱面

?

1 2

y ? x 及平面

y ??

解 立体关于xoy平面对称 作上半块立体图 ?1
z

V ? ? ??? d x d y d z
??

? 2 ?? d x d y ?
D

y? x 0

2

dz
?

?1

? ? ? d y ??
?

?

y y

y ? x dx
.

?

? ? ? ? ( ? ) ? ? ?
1

.

.

0
x ?

y
1 2 y

x

x ?

y? z

?

8.

求椭圆抛物面

?x

?

? y

?

? z , 抛物柱面

z ? ? ? x 所围成的体积

?

z
3x
2

? y

2

? z

z ? 1? x

2

o

x

y

8.

求椭圆抛物面

?x

?

? y

?

? z , 抛物柱面

z ? ? ? x 所围成的体积

?

z
3x
2

? y

2

? z

z ? 1? x

2

o
.

x

y

8.

求椭圆抛物面

?x
? ? ?

?

? y

?

? z , 抛物柱面

z ? ? ? x 所围成的体积
?

?

V

?

?? d x d y ?
D

?? x

?x ? y

dz ?

??
D

(? ? ? x

?

? y )d x d y


D

?

z

D: r ? 1, z = 0
dxdy ? 1 2 rd rd θ


?? x ? ? y ? ? z 联立 :? ? z ??? x ?
?4 x 2 ? y 2 ? 1 D :? z ? 0 ?

?
V ?

?

2π 0



?

1 0

1 2

(1 ? r ) r d r
2

用广义极坐标
1 ? ?x ? r cos ? ? 2 ? y ? r sin ? ?

D

?

?
4

o

x


y
.

。。

9.

求球面

x ? y ? z ? 2 az 与球面
2 2 2

x ? y ? z ? b ( a ? b ? 0 ) 所围成
2 2 2 2

的公共部分的体积

z a
b

0

x

y

9.

求球面

x ? y ? z ? 2 az 与球面
2 2 2

x ? y ? z ? b ( a ? b ? 0 ) 所围成
2 2 2 2

的公共部分的体积

V = ?0





?

b 0

1?

b

2 2

4a

?

b ?r
2

2

?a?
z a
b

a

2

?r

2

?rd r
. .

? ?b (
3

2 3

?

b 4a

)
.

问题:
. .

1 是不是曲顶柱体? 2 用哪种坐标系?
柱系. (球系? 需分块儿!)
z ? b
2

? 交线 L
.
2 ? b ?r ? b 1 ? 2 :? 4a ? z ? 0 ?

上顶: 下底:

? r a
2

2

z ? a ?

? r

2

3 交线 L的方程?
Dxy

D xy

0

r

2

? b

2

?

b

4 2

4a

4 Dxy ?
x y

.

10. 曲面的面积
引理
平面 ? ? 与 ? ? 的夹角为

? ,

π 1 上的区域

A 在 π 2 上的投影为

σ,

则面积

A ?

σ cos γ

?
?
1

证 当A是矩形, 且一边与l平行 则? 也是矩形, 且
σ ? ab | cos γ | ? A | cos γ |

b
A

a l
?

引理成立 一般情况,将A分割成 若干个上述类型的小矩形, 对每一个用引理,

?
?
.

然后迭加
2

再取极限即可。
.

证毕

注:这里 ? 即 两平面法矢量的夹角

10. 曲面的面积

z z = f (x,y)
?S i

Pi

0

x

??
.

i

(xi , yi)

y

D

10. 曲面的面积
?S i ? ?Ai
?Ai ?
?

? ni

z

?i
z = f (x,y)

1 cos ?
i

??

i

(由引理)

Pi

? Ai

?S i

2 2 1 ? f x? ( x i , y i ) ? f y? ( x i , y i ) ? ?

i

?

? ? n i ? ? f x? ( x i , y i ), f y? ( x i , y i ), ? 1?

?

?

0

x

S ?

??
D
.

? ? ? ? f x? ( x , y ) ? f y? ( x , y ) d x d y

. .

??

i

(xi , yi)
.

y

D

11.锥面

z ?

x

?

? y 被圆柱面

?

x

?

? y

?

? ? x 所割下部分的曲面面积

z

y

1

o
x

11. 锥面

z ?

x

?

? y 被圆柱面

?

x

?

? y

?

? ? x 所割下部分的曲面面积

z

y

1

.

o
1

x

11. 锥面

z ?

x

?

? y 被圆柱面

?

x

?

? y

?

? ? x 所割下部分的曲面面积
S ?

??
D

?? P
P ?

?

? Q dxdy
? x ? x
2 2

?

z

y
其中

?z ?x ?z ?y

x ? y y ? y
2 2

1

Q ?

S ?

??
D

?dxdy

S

?

2?

.

?x ? y D : ? ?z ? 0
2

2

? 2x
.

o

D 1

x

. .. .

12.

两相同正圆柱的轴互相 被另一柱面所割出部分

直交,圆柱的底半径为 的面积。

a ,求一柱面

设圆柱面为
x
2

? y

2

? a

2

x

2

? z

2

? a

2

z

考虑第一卦限

0

a
a
x

y

12.

两相同正圆柱的轴互相 被另一柱面所割出部分

直交,圆柱的底半径为 的面积。
1 ? zx ? zy ?
2 2

a ,求一柱面
a a
2

设圆柱面为
x
2

? y

2

? a

2

? x

2

. .
. .
2

x

2

? z

2

? a

2

..
.
2

z

z ?

a

2

? x

2

y

y?

a ? x

a

D
.

x

o
0

a

D

a
dxdy ? ?

y
? ?

a
x

S ? ? ??
D

a a
?

? x

?

?

a ?

dx ? ?

a ?x

a a
?

? x

?

dy ? 8a 2

13. 半球面

z ?

3a

2

? x

2

? y 与旋转抛物面
2

x

2

? y

2

? 2 az 所围成

立体的整个表面积

z

a

o

x

y

13. 半球面

z ?

3a

2

? x

2

? y 与旋转抛物面
2

x

2

? y

2

? 2 az 所围成

立体的整个表面积

z

S=

S1 ? S 2
? z ? 3a 2 ? x 2 ? y 2 ? ? ? x 2 ? y 2 ? 2 az ?

共同的 D :

S1

? x ? ? y ? ? ?a ? 即 ? . ?z ? ?
.

S2

o
D
.

2a

y

x

14.求圆柱面

y

?

? z

?

? ? z 被圆锥面

y

?

? z

?

? x 所截的有限部分的面积

?

x

o

2

z

y

14.求圆柱面

y

?

? z

?

? ? z 被圆锥面

y

?

? z

?

? x 所截的有限部分的面积

?

x

问题:
曲面向哪个坐标面投影? 只能向xoz平面投影

o

2

z

.

y

14.求圆柱面

y

?

? z

?

? ? z 被圆锥面

y

?

? z

?

? x 所截的有限部分的面积
联立 ? y? ? z? ? ?z ? ? ? ? ?y ? z ? x

?

x

消 y得
又由

x

?

? ?z

? y? ? z? ? ?z ? ?y ? ?
2

得 z=2
.

? D xz : x

? 2z ,

z ? 2
.

o

S ? ? ??

? ? y z ? y x dxdz
2z ? z
2

?

?

2

z

D xz

其中, y ?

.

y

Dxz

14.求圆柱面

y

?

? z

?

? ? z 被圆锥面

y

?

? z

?

? x 所截的有限部分的面积
联立 ? y? ? z? ? ?z ? ? ? ? ?y ? z ? x

?

x

消 y得
x ?

x

?

? ?z

又由
2z

? y? ? z? ? ?z ? ?y ? ?
2

得 z=2
. . . .

? D xz : x

? 2z ,

z ? 2
? ?

o

S ? ? ??

? ? y z ? y x dxdz
2z ? z
2

2

z

D xz

其中, y ?
S ? 2? dz ?
0 2 2z ? 2z

1 2z ? z dz
2

.

y

x ? ?

2z

Dxz

dx

? ??
? 16

? ?

z ?? z

15. 求位于圆 r = 2sin? 和圆 r = 4sin? 之间的均匀薄片的重心
设重心为
x ? 0

( x, y)

y

y ?

1

?? s
D

yd σ
π 0 4 sin θ 2 sin θ

?

1 4π ? π

?

sin θ d θ

?

r dr

2

.

2

?

7 3
故重心为 (0 , 7 3 )

1

o

x

16. 求均匀半球体

? :x

?

? y

?

? z

?

? a

?

, z ? 0 的重心
? V

设重心为 ( x , y , z ) ,



x ? y ? ?

z ?

???
?

zd xd yd z

z

r=a

V ?

2 3

?a

3

用哪种坐标? 球面坐标
z ?

1 V

?

2π 0

π



?

2 0

d φ ? r cos φ ? r sin φ d r
2 0

a

. . .

o
x

?

3 8

a

z=0 a

y

故重心为

( 0 ,0 ,

3 8

a)

17. 求由抛物面
设重心为

z ? 1? x

?

? y 与平面
x ? y ? ?

?

z ? 0 所围立体
z ? ? V

的重心
zd xd yd z

( x , y, z ) ,



???
?

用哪种坐标?

z
1
z ? 1? r
2

柱面坐标

V ?
?

???
Ω

rd rd θ d z

2

?

2π 0

?

1 0

rd r ?

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