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【章节通关套卷】2014高中数学(人教,必修4)第三章《 三角恒等变换》测试题B卷


高中数学必修 4 第三章《 三角恒等变换》测试题 B 卷
考试时间:100 分钟,满分:150 分 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分). 1.sin2 A.- π π -cos2 的值为 12 12 B. 1 2 C.- 3 2 D. 3 2 ) ( )

/>1 2

2.函数 f (x)=sinxcos x+ A.π,1 3. B.π,2

3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 C.2π,1 ( C.-2 ) D.-4 D.2π,2

3 1 - = cos10° sin170° B.2

A.4

1 3 4.设 a= cos6° - sin6° ,b=2sin13° cos13° ,c= 2 2 A.a>b>c B.a<b <c C.b<c<a

1-cos50° ,则有( 2

)

D.a<c<b )

4 π 5.若 sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cos β= ,且 α 是第二象限角,则 tan( +α)等于( 5 4 A.7 B.-7 1 C. 7 D.- 1 7 )

π 6. tanθ 和 tan( -θ)是方程 x2 +px+q=0 的两根,则 p、q 之间的关系是( 4 A.p+q+1=0 B.p-q-1=0 C.p+q-1=0 1 D. 8 ( D. 4 3 ) )

D.p-q+1=0 ( )

7. sin6° · cos24° · sin78° · cos48° 的值为 1 1 1 A. B.- C. 16 16 23 sinα+cos α 1 8.若 = ,则 tan2α= sinα-cos α 2 A.- 3 4 B. 3 4 4 C.- 3

π π 2 9.函数 f (x)=sin x+ 3sinxcos x 在区间[ , ]上的最大值是( 4 2 1+ 3 3 A.1 B. C. D.1+ 3 2 2 1 1 tanα 2 10. 已知 sin(α+β)= , sin(α-β)= , 则 log 5 ( ) 等于 2 3 tanβ A.2 B.3 C.4 D.5

(

)

二、填空题(每小题 6 分,共计 24 分). π? 4 π? ? 11.设 α 为锐角,若 cos? ?α+ 6? =5,则 sin?2α+ 12? 的值为______.

?1+tanx?cos 2 x π 12.函数 f (x)= 的定义域为(0, ),则函数 f(x)的值域为________. cos2x+sin2x 4 5 α 1 13.设 α、 β∈(0,π),且 sin(α+β)= ,tan = ,则 cos β 的值为________. 13 2 2 14.在一次考试中,由于不慎,致使一选择题已知条件被黑色墨水覆盖,原题为:已知 α、 1 β 均为锐角,且 sinα-sinβ=- ,________,则 tan(α-β)的值为( ) 2 7 3 7 3 A. B. C.- D. - 3 3 7 7 其中________为覆盖部分,试根据所附答案为 C,推断并补出被覆盖部分. 三、解答题(共 76 分). 15. (本题满分 12 分)设 A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,且 x -xsinA cos B +sinC=0 的两 1 根为 α、β,且 α+β= αβ,判断△ABC 的形状. 2
2

[来源: 学 科网ZXXK]

1 1 2 cos α 16. (本题满分 12 分)已知 + = ,且 α,β 为锐角.求 的值. cos?α-β? cos?α+β? cos α β cos 2
[来源: 学 。科。 网]

17.(本题满分 12 分)将形如? ? =a11 a22 -a12 a21 .

a11 a12? a11 a12 ? 的符号称二阶行列式,现规定? ?a21 a22 ? a21 a22? 1

?cosπ 4 (1)试计算二阶行列式? ?1

?cos θ sinθ ? 2 (2)若已知函数 f(θ)=? 1 sin7π ?= ,求锐角 θ 的值. 2 ? 2 ? 3

? ; π? cos ? 3

18.(本题满分 12 分)设向量 α=( 3sin 2x,sin x+cos x),β=(1,sinx-cos x),其中 x∈R, 函数 f (x)=α· β. (1)求 f( x)的最小正周期; π π (2)若 f(θ)= 3,其中 0<θ< ,求 cos(θ+ )的值. 2 6

π 19.(本题满分 14 分)设函数 f(x)=c os(2x+ )+sin2 x. 3 (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 C 1 (2)设 A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,若 cos B = ,f ( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA . 3 2 4

20.(本题满分 14 分)已知向量 a=(cos α,sinα),b=(cos β,sinβ),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α、 β 的值.

高中数学必修 4 第三章《 三角恒等变换》测试题 B 卷参考 答案
一、选择题 1. 【答案】 【解析】 2. 【答案】 C 原式=-(cos A


12

-sin

2

π π 3 ) =-cos =- . 12 6 2

1 3 π 【解析】f (x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),周期 T=π,振幅为 1,故选 A. 2 2 3 3. 【答案】 【解析】 D 3 1 3 1 - = - = cos10° sin170° cos10° sin10° 3sin10° -cos10° 2sin?10° -30° ? = = sin10° cos10° sin10° cos10°

2sin?-20° ? -2sin20° = =-4. sin10° cos10° 1 sin20° 2 4. 【答案】 D

【解析】a=sin24° ,b=sin26° ,c=sin25° . ∵sin24° <sin25° <sin26° ,∴a<c<b. 5. 【答案】 C

4 4 3 【解析】∵sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cos β= , ∴cos α=- ,又 α 是第二象限角,∴sinα= 5 5 5 3 π 则 tanα=- ., ∴tan(α+ )= 4 4 6. 【答案】 D π 3 tan +tanα 1- 4 4 1 = = . π 3 7 1-tan tanα 1+ 4 4

π π π 【解析】根据根与系数之间的关系可得 tan( -θ)+tanθ=-p,tan( -θ)tanθ=q,∴tan( -θ 4 4 4 π tan? -θ?+tanθ -p 4 π -p +θ)= = ,即 tan = =1,∴p-q+1=0. π 1-q 4 1-q 1-tan? -θ?tanθ 4 7. 【答案】A. 2cos6° · sin6° · cos12° · cos24° · cos48° 【解析】原式=s in6° · cos12° · cos24° · cos48° = 2cos6° sin12° · cos12° · cos24° · cos48° sin24° · cos24° · cos48° sin48° · cos48° sin96° cos6° = = = = = = 2cos6° 4cos6° 8cos6° 16cos6° 16cos6° 1 . 16 8. 【答案】 B 【解析】本题考查三角恒等变换,“弦”化“切”.由 +2=tanα-1, ∴tanα=- 3,∴tan2 α= 2×?-3? -6 3 2tanα = = ,“弦”化“切” ,“切” 化“弦” 2 = 1-tan α 1-?-3?2 -8 4 sinα+cos α 1 tanα+1 1 = 得 = 即 2tanα sinα-cos α 2 tanα-1 2

都体现了转化与化归思想. 9. 【答案】C.
来源: 学 [ 科网]

1-cos2x 3 π 1 π π + sin2x=sin(2x- )+ . ∵ ≤x≤ , 2 2 6 2 4 2 π π 5 1 π 1 3 ∴ ≤2x- ≤ π, ∴ ≤sin(2x- )≤1. ∴f(x)max=1+ = . 3 6 6 2 6 2 2 10. 【答案】 C 【解析】 f (x)=sin2 x+ 3sinxcos x= 1 sinαcos β+cos αsinβ= ? 2 1 1 【解析】 由 sin(α+β)= , sin(α-β)= 得 ? 2 3 1 ?sinαcosβ-cosαsinβ=3 tanα ∴ =5, tanβ ∴log
5(

5 ?sinαcosβ=12 , ∴? 1 ?cosαsinβ= 12



tanα 2 ) =log tanβ

55

2

=4.

二、填空题

11. 【答案】 【解析】

17 2 50

π π 2π π? 4 ? π? 3 ∵α 为锐角,∴ <α+ < ,∵cos? ?α+ 6? =5,∴sin?α+ 6? =5; 6 6 3

π? π π2 π 7 2 ? π? ? π? 24 ∴sin? ?2α+ 3?=2sin ?α+ 6?cos?α+ 6? =25,cos(2α+3)=cos(α+6) -sin (α+6)=25 ∴sin? ?2α+ π? π π? π? π π? π 17 2 ? ? =sin ? ?2α+ 3-4?=sin?2α- 3?cos4-cos?2α+ 3? sin 4= 50 . 12? 2+ 2 [ ,1) 4
2

12. 【答案】

?1+tanx?cos x 1 【解析】f (x)= = + cos2x+sin2x 2 2+ 2 ∴f (x)的值域为[ ,1). 4 13. 【答案】 - 16 65

1 π 2 2sin?2x+ ? 4

π π 2 , ∵x∈(0, ),∴sin(2x+ )∈( ,1], 4 4 2

【解析】

α 1 1 4 3 由 tan = 得 sinα= = = ,cos α= , 2 2 α 1 5 5 1+tan2 1+ 2 4 5 π 12 <sinα,α,β∈(0,π),α+β∈( ,π),∴cos(α+β)=- . 13 2 13 16 . 65

α 2tan 2

由 sin(α+β)=

cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sinα=- 14. 【答案】cos α+cos β= 7 2

7 1 , 又 sinα-sinβ=- , 即 sin[(α-β)+β]-sin[α 3 2 1 1 -(α-β)]=- ,整理得(sinβ-sin α)cos(α-β)+(cos α+cos β)· sin(α-β)=- . ① 2 2 π π 7 π ∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< ,又∵tan(α-β)=- ,∴- <α-β<0, 2 2 3 2 1 3 ∴cos(α-β)= = ,② 1+tan2 ?α+β? 4 【解析】 根据所附答案为 C 得 tan(α-β)=- sin(α-β)=cos(α-β)· tan(α-β)=- 将②③代入①得 cos α+cos β = 7 ,③ 4

7 . 2 这一结果在结构上与已知条件比较接近.

故所缺失的条件即被覆盖部分可能为 cos α+cos β=

7 . 2

三、解答题 15. 解:∵α,β 是方程 x2 -xsinA cosB +sinC=0 的两根, ∴α+β=sinA cosB ,αβ=sinC. 1 又 α+β= αβ, 2 ∴2sinA cosB =sinC, ∴2sinA cosB =sin[π-(A +B )], ∴2sinA cosB =sin(A +B ), ∴2sinA cosB =sinAcosB +cos AsinB , 即 sin(A -B)=0. 又 0<A <π,0<B <π, ∴-π<A -B <π,∴A -B =0,即 A =B , ∴△ABC 为等腰三角形. cos?α+β?+cos ?α-β? 2 1 1 2cos αcos β 2 16. 解:∵ = + = = ∴ = cos α cos?α-β? cos?α+β? cos?α-β?cos ?α+β? 1 cos α ?cos2α+cos2β? 2 4cos αcos β , cos2α+cos2β 即 cos2α+cos2β=2cos αcos β, ∴2cos2 α-1+2cos 2 β-1=2cos2 αcos β, cos2 α(1-cos β)=1-cos 2 β,又 β 为锐角, β ∴cos2 α=1+cos β,∴cos 2 α=2cos2 . 2 cos α 又 α,β 为锐角,∴ = 2. β cos 2 17.
2

来源: [ 学。科。 网Z 。X 。X 。 K]

π ?cos4 解:(1)由题中规定的运算法则得:? ?1

?cos θ sinθ ? 7π 1 (2)? 1 sin7π?=sin cos θ- si nθ 3 2 ? 2 3? π π π ? =sin cos θ-cos sinθ=sin? ?3-θ?. 3 3 π ? 2 ? π? 依题意,有 sin? ?3-θ?= 2 . 而 θ∈?0,2?, π π π ∴ -θ ∈? - , ? , ? 3 6 3? π π π ∴ -θ= ,∴θ= . 3 4 12 18. 解: (1)由题意得 f(x)= 3sin2x+(sin x+cos x)· (sinx-cos x)= 3sin2x-cos2x=2sin(2x
π - ), 6 2π 故 f (x)的最小正周期 T= =π. 2

? π π 2 =cos cos -1= -1. ? 4 3 4 π cos ? 3
1

π (2)由(1)知,f(θ)=2sin(2θ- ),若 f(θ)= 3, 6 π 3 则 sin(2θ- )= . 6 2 π π π 5π π π π 2π π 5π 又因为 0<θ< ,所以- <2θ- < ,则 2θ- = 或 2θ- = ,故 θ= 或 θ= . 2 6 6 6 6 3 6 3 4 12 6- 2 π π π π π π π π 当 θ= 时,cos(θ+ )=cos( + )=cos cos -sin sin = . 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6- 2 5π π 5π π 5π 5π π π 当 θ= 时,cos(θ+ )=cos( + )=cos(π- )=-cos =-cos( + )=- . 12 6 12 6 12 12 4 6 4 19. π π π 1-cos2x 1 3 (1)f (x)=cos(2x+ )+sin2 x=cos2xcos -sin2xsin + = - sin2x,所以函数 3 3 3 2 2 2

1+ 3 f (x)的最大值为 ,最小正周期为 π. 2 C 1 3 1 3 (2)f ( )= - sinC=- ,所以 sinC= . 2 2 2 4 2 π 因为 C 为锐角,所以 C= . 3 1 2 在△ABC 中,cosB = ,所以 sinB = 2. 3 3 所以 sinA =sin(B +C)=sinB cos C+cosB sinC= 2 1 1 3 2 2+ 3 2× + × = . 3 2 3 2 6

20. 解:(1)由题意得|a-b|2 =2,即(a-b)2 =a2 -2a· b+b2 =2. 又因为 a2 =b2 =|a|2 =|b|2 =1,所以 2-2a· b=2,即 a· b=0, 故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sinα+sinβ)=(0,1), 所以?
?cos α+cos β=0, ? ?sinα+sinβ=1, ?

由此得,cos α=cos(π-β), 由 0<β<π,得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故 α =π-β. 代入 sinα+sinβ=1 得, 1 sinα=sinβ= ,而 α>β, 2 所以 α= 5π π ,β= . 6 6
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