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4.8.1 简单的指数方程 【杨高】


第四章 幂函数、指数函数和对数函数

4.7 简单的指数方程

4.8.1 简单的对数方程

一、对数方程 对数符号后含有未知数的方程叫做对数方程. 例1.解下列对数方程: 2 2 (1) lo g 2 x ? 4 (2) lg( x ? x ) ? lg x 2 (3) (log 3 x ) ? log 3 x ?

2 ? 0 解: (1) log 2 x 2 ? 4 ? x 2 ? 2 4 ? x ? ? 4 (2) lg( x 2 ? x ) ? lg x ? x 2 ? x ? x ? x1 ? 0, x 2 ? 2 经检验,方程的解为 x ? 2 (3)记 log 3 x ? t ,则 t 2 ? t ? 2 ? 0 得 t1 ? ? 2, t 2 ? 1

即 lo g 3 x ? ? 2 或 1

解得 x1 ?

1 9

, x2 ? 3

解毕

一、对数方程 对数符号后含有未知数的方程叫做对数方程.

一般地,若 f ( x ), g ( x ) 为含有未知数 x 的表达式
(1) log a f ( x ) ? b ? f ( x ) ? a (2) log a
b

? f (x) ? g (x) f ( x ) ? log a g ( x ) ? ? ? f ( x ) ? 0, g ( x ) ? 0

一般地,若 F ( x ) ? 0 为一个可解方程.
? F (t ) ? 0 F (log a x ) ? 0 ? ? ? t ? lo g a x

课堂自测 1. 利用同底型 log a f ( x ) ? log a g ( x ) 解方程: (1) lg( x 2 ? 11 x ? 8) ? lg( x ? 1) ? 1 (2) log 2 ( x ? 14) ? log 2 ( x ? 2) ? 3 ? log 2 ( x ? 6) (3) lg x ? log 0.01 x ? log 1000 x ? 1

2.解下列对数方程: (1)
1 12 lg x ?
2

1 3

?

1 4

lg x

(2) log 5 x ? log x 25 ? 3

3.解方程: lg x ? 2 ? 1000 x

课堂自测答案

1.(1) x ? 1 (2) x ? 2 (3) x ? 1 0
2.(1) x ? 1 0 或 1 0
?4

6 5

(2) x ? 5 或 25
?3

3.两边都取常用对数,解得 x ? 1 0 或 1 0

注意转化过程中的同解性及方程中未知数 的取值范围 指对互换、同底法、取对数法、换元法 是解指数方程与对数方程的主要内容.

(选用)例2. 利用计算器并结合图像,求方程 x ? lg x ? 3 的近似解(精确到0.01) 解:由图知,方程有 且仅有一解且 x ? ( 2, 3) 利用计算器MODE中的 Table功能,输入: 经计算得: ? 2.59 f ( x ) ? x ? lg x ? 3 x
Start 2 2.5 2.58 End 3 2.6 2.59 Step 0.1 0.01 0.001 x
(2.5, 2.6) (2.58, 2.59) (2.587, 2.588)


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