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2.1数列的概念与简单表示法


观察下列图形:
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..

正方形数 1, 4, 9, 思考1:这些数有什么规律吗? 16, ……

1,2,3,4,5,· · ·n, · · · .
1 1 1 1 1 1, , , , ,· · · ,· · · . 2 3 4 5 n

(1)
(2) (3) (4) (5) (6)

1,1.4,1.41,1.414, · · · . 10,9,8,7,6,5,4. -1,1,-1,1, · · ·. 3,3,3,3.

思考2:这些数的共同特点是什么? 按照一定顺序排列的一列数

1、数列定义
按照一定顺序排列的一列数叫数列。

2、数列的项:
数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的每一项都和它的序号有关, 排第一位的数称为这个数列的第1项(首项), 排第二位的数称为这个数列的第2项,· · · · · · , 排第n位的数称为这个数列的第n项.

1.相同的一组数按不同的顺序排列时,是否为同一数列?

如: 数列(4)

10,9,8,7,6,5,4 。

数列(4′) 4,5,6,7,8,9,10。
2.一个数列的数可以重复吗?

如:数列(5) -1,1,-1,1,· · · 。

3、数列的一般形式

a1,a2,a3, …an,… 上面数列可简记为{an},其中an是数列的第n项

4、数列的分类
1)根据数列项数的多少分:
有穷数列:项数有限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列

2)根据数列项的大小分:
常数数列:各项相等的数列。 (an ? an?1 ) 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列

递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列(an?1 ? an ) 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列(an ? an?1 )

序号n

1

2

3

4

5



项 an

1 1 1 1 1 , ,, ,, ? 2 3 4 5

这说明:数列的项an是序号n的函数.

5、数列与函数的关系
所以:数列可以看成以正整数集N*(或它的有 限子集{1,2,3,4,…,n})为定义域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时, 所对应的一列函数值。反过来,对于函数y=f(x),如 果f(i) (i=1,2,3,…)有意义,那可得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…f(n),… 即数列是一种特殊的函数。

6、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以 用一个公式来表示,那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
1 1 1 1 如数列:1, , , , ,· · · . 通项公式为 2 3 4 5 1 an ? n 又如数列:-1,1,-1,1, · · ·.通项公式为
an ? (? 1 )
n

根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出 它的前4项:
(1)
n an ? n ?1

(2)

an ? ?? 1? ? n
n

关于数列的通项公式
1、不是每一个数列都能写出其通项公式 (如数列5)
1,1.4,1.41,1.414,…

2、数列的通项公式不唯一 如: ?1, 1, ?1, 1, …

可写成

an ? ( ?1)

n

? ?1 或 an ? ? ?1

n ? 2k ? 1, k ? N n ? 2k , k ? N

3、数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数.

4、数列通项公式的作用: ①求数列中任意一项; ②检验某数是否是该数列中的一项。

例1、 写出下面数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:

() 1 2, 4, 6, 8;

an ? 2n
2

( 2 ), 4 9, 16, 25; an ? (n ? 1) 1 1 1 n?1 1 an ? ( ?1) (3)1 , ? ,, ? ; n 2 3 4 n?1 (), 4 2 0, 2, 0。 an ? 1 ? (?1)
观察数列通项公式的关键是探求第n项an与 项数n的关系 练习:P31 1, 4

数列

2,4,6,8,10,……

其通项公式是: an

? 2n

an
10 9 8

图象为:

列表为:
n an
1
2

2
4

3
6



k

… 7 … 6
5 4

… 2k

图象为直线上的无数个孤立点

3
2

0

1

2

3

4

5

n

例2、图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三 角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项 公式,并在直角坐标系中画出它的图象。

an 30 27 24 21 18 15

an ? 3

n ?1

图象为曲线 上的无数个 孤立点

12
9 6 3

o

1

2

3

4

5

n

1,

3,

6,

10,

.…..

提问:这些数有什么规律吗?
首项为1,从第2项起,第n项等于第n-1项加上n. 也就是a1=1,an=an-1+n(n>1)

7、数列的递推公式
已知数列{an}的首项(或前几项),且 任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的 关系可用一个式子来表示,那么这个式子就 叫做这个数列的递推公式。
如数列1,3,6,10的递推公式可表示为 a1=1,an=an-1+n(n>1)
递推公式也是数列的一种表示方法。

8、数列的表示方法
1.通项公式 2.递推公式

?解析式法 ? ?列表法 ?图象法 一群孤立的点 ?

?a1 ? 1 ? 1 例3 、设数列 ?an ? 满足 ? ?an ? 1 ? a n ?1 ? 写出这个数列的前5项。

?n ? 1?

解:由题意可知 a1 ? 1
1 3 a3 ? 1 ? ? a2 2 1 8 a5 ? 1 ? ? a4 5

1 a2 ? 1 ? ? 2 a1 1 5 a4 ? 1 ? ? a3 3

练习:P31 练习T2

补充1:写出下列数列的一个通项公式

?1?1,2,3,4,? ?3? ?1,1,?1,1,?
1 1 1 ?5?1, , , ,? 2 3 4

?2?1,1,1,1,? ?4?1,?2,3,?4,?
1 1 1 ?6?1,? , ,? ,? 2 3 4

?7?2,0,2,0,? ?8?9,99,999,9999,? 1 nnn ? 111 ?n 1? ?8 5 a ? ? ?n ? ?? n 6 a ? ? 1 ?? ??4 1 a ? n ? ? ? ? ? ?? ? 7 a a ? ? 10 ?? 11 a ? ?3 ? ? ?1 a ? ? 1 ?2 ? ? ? a ? ? 1 n n n n n n n 1
n n

小结: 本节课学习的主要内容有:
1、数列的定义:按照一定顺序排列的一列数 2、数列的一般形式: a1, a2 , a3 ,?an ,?, 简记为?an ?

3、数列与函数:数列实质是特殊的函数(离散函数);
4、数列的分类: 有穷数列、无穷数列;递增数列、递减 数列、常数列、摆动数列。 5、数列的表示方法: (1)解析式法(通项公式法、递推公式法) (2)列表法 (3)图象法(一群孤立的点)

补充2:求以下各数列的通项公式
1)1,4,9,16,25,?
1 9 25 2) , 2, ,8, ,? 2 2 2

an ? n n2 an ? 2
2

3)1,3,5,7,9,?
4)1, ?3,5, ?7,9,?
2 ?1 3 ? 2 4 ? 3 5 ? 4 5) , , , ,? 1 3 5 7
2 2 2 2

an ? 2 n ? 1
an ? ? ?1?
n?1

? ? 2n ? 1?
2

an

n ? 1? ? ?

?n

2n ? 1

6)7,77,777,7777,?

7 an ? ?10n ? 1? 9


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