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【名师导学】2015高考数学一轮总复习 4.29 平面向量的数量积及应用课件 理


第29讲 平面向量的数量积及应用

【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3. 掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量 积的运算. 4. 能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平 面向量的垂直关系. 5. 会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力 学问题.

【基

础检测】 1.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c· (a+2b) =( D ) A.4 C.2 B.3 D.0

【解析】∵a∥b,a⊥c,∴b⊥c.

∴a· c=0,b· c=0.c· (a+2b)=a· c+2b· c=0+0=0.

2.已知向量 a 和 b 的夹角为 120° ,|a|=1,|b|=3, 则|a-b|=( A ) A. 13 C. 15 B.2 3 D.4

【解析】|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a· b=13, 故|a-b|= 13.

π 3. 若 e1, e2 是夹角为 的单位向量, 且 a=2e1+e2, 3
7 - 2 b=-3e1+2e2,则 a· b 等于________ .

【解析】a· b=(2e1+e2)· (-3e1+2e2) π =-6e1 +e1·e2+2e2 =-6+cos +2 3
2 2

1 7 =-4+ =- . 2 2

→ = 3 BD →, 4.如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC → |=1,则AC → ·AD → =________ 3 |AD .

【解析】法一:建系如图所示. 令 B(xB,0),C(xC,yC),D(0,1), → =(xC-xB,yC), 所以BC → =(-xB,1),BC →= 3 BD
? ?xC-xB= → BD,所以? ? ?yC= 3,

3-xB,

→ = ((1- 3)xB, 所以 xC= (1- 3)xB, yC= 3. AC → =(0,1),则AC → ·AD → = 3. 3),AD

→ ·AD → =(AB → +BC → )· → 法二:AC AD → ·AD → = 3 AD → ·BD →, =BC → ·BD → =|AD → ||BD → |cos ∠ADB 其中AD →| | AD → ||BD → |· → 2=1. =|AD =AD →| |BD → ·BD → = 3. 故 3 AD

【知识要点】 1.两向量的夹角 → =a,OB → =b,则∠AOB 已知非零向量 a,b,作OA 叫做 a 与 b 的夹角. [0,π] a 与 b 的夹角的取值范围是___________ . 0 当 a 与 b 同向时,它们的夹角为______________ ; 当 a 与 b 反向时,它们的夹角为____________ ;当夹角 π 为 90°时,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 2.向量数量积的定义 |a||b|cos θ 已知两个非零向量 a 与 b,我们把____________ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ . 规定:零向量与任何向量的数量积为 0,即 0· a=0.

3.向量数量积的几何意义 向量的投影:|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投 影 , 当 θ 为 锐 角时, 它 是正值 ; 当 θ 为 钝 角时, ____________ 它是负值 ;当 θ 为直角时,它是零. a·b 的几何意义:数量积 a· b 等于_____________ a的长度|a| 与 b 在 a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积.

4.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 a⊥ b 的 充要条件 |a· b|与 |a||b|的 关系 |a|= a·a a· b=|a|· |b|cos θ a· b cos θ = |a|· |b| a· b= 0 |a· b|≤|a|· |b|(当且 仅当 a∥b 时等号 成立)
2 2 x + y 1 1 |a|=

a·b=x1x2+y1y2 cos θ = x1x2+y1y2 2 2 2 x2 1+y1· x2+y2

x1x2+y1y2=0
|x1x2+y1y2|≤ 2 2 2 x2 1+y1· x2+y2

5.平面向量数量积的运算律 ①a·b=b· a. ②(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(λ∈R). ③(a+b)· c=a· c+b· c.

一、数量积的运算 例1已知向量 a=(1,2),b=(2,-2). (1)设 c=4a+b,求(b· c)a; (2)若 a+λb 与 a 垂直,求 λ 的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的投影.

【解析】(1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b·c=2×6-2×6=0, ∴(b· c)a=0a=0.

(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ), 由于 a+λb 与 a 垂直, 5 ∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ= . 2 5 ∴λ的值为 . 2 (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ, 向量 a 在 b 方向上的 投影为|a|cos θ. a·b 1×2+2×(-2) ∴|a|cos θ= = |b| 22+(-2)2 2 =- =- . 2 2 2 【点评】平面向量的数量积运算形式分为“定义式和 坐标式”两种,在运算过程中注意数量运算法则的灵 活应用. 2

二、向量的模与夹角 例2已知平面向量 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ ), π π - <θ < . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ; (2)求|a+b|的最大值.

【解析】(1)a⊥b?sin θ+cos θ=0?
? π? ? ?sin?θ+ ? =0 4? ? ?

? π? ? 2sin?θ+ ? ?=0 4 ? ?

π π 3 π π 又- 4 <θ+ 4 <4π,故 θ+ 4 =0,∴θ=- 4 . (2)|a+b|= a2+b2+2a· b = sin2θ+1+cos2θ+1+2(sin θ+cos θ) ? π? ? = 3+2 2sin?θ+ ? 4? ? ? ? π? ? ∴当 sin?θ+ ? ?=1 时,|a+b|max= 3+2 2= 2+1. 4 ? ?

【点评】本题考查了向量垂直转化为数量积为零、向量 的模长两个知识点,还与三角函数知识联系在一起.

三、向量的平行与垂直关系及应用 例3已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的 2 夹角 θ.

【解析】(1)设 c=(x,y),由 c∥a 和|c|=2 5可得: ? ? ? x=0 ?1·y-2· ? x= 2 ?x=-2 ? 2 ,∴ ? 或? , 2 ? ? ? ?x +y =20 ?y = 4 ?y=-4 ∴c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)· (2a-b)=0,即 2a2+3a· b-2b2=0 5 2 2 ∴2|a| +3a· b-2|b| =0, ∴2×5+3a· b-2×4=0, a·b 5 所以 a·b=-2,∴cos θ= =-1 |a|·|b| ∵θ∈[0,π],∴θ=π.

【点评】应用向量的平行与垂直的条件时应注意条件 转化的等价性.

四、向量的数量积的综合应用 → ·AC → = 3|AB → |·|AC → |= 例4在△ABC 中,已知 2AB → 2,求角 A,B,C 的大小. 3BC

【解析】设 BC=a,AC=b,AB=c. → ·AC → = 3|AB → |·|AC →| 由 2AB 得 2bccos A= 3bc, 3 所以 cos A= 2 . π 又 A∈(0,π),因此 A= 6 . → |·|AC → |=3BC → 2,得 cb= 3a2. 由 3|AB 3 2 于是 sin C·sin B= 3sin A= 4 .

?5π ? 3 ? ? 所以 sin C·sin? -C?= 4 , 6 ? ? ?1 ? 3 3 ? ? sin C·? cos C+ sin C?= 4 . 2 ?2 ?

因此 sin 2C- 3cos2C=0 即

? π? ? 2sin?2C- ? ?=0. 3 ? ?

π 5π π π 4π 由 A= 6 知 0<C< 6 ,所以- 3 <2C- 3 < 3 , π π π 2π 从而 2C- 3 =0 或 2C- 3 =π,即 C= 6 或 C= 3 , π 2π π π π 2π 故 A= 6 , B= 3 , C= 6 或 A= 6 , B= 6 , C= 3 .

【点评】平面向量与三角函数在“角”之间存在 着密切的联系,如果在平面向量与三角函数的交 汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思 维性和挑战性,若根据所给的三角函数的结构及 向量间的相互关系进行处理.可使解题过程得到 简化,从而提高解题的速度.

→ =a, → =b, 例5在四边形 ABCD 中, 〔备选题〕 AB BC → = c, → =d, CD DA 且 a· b=b· c= c· d=d· a, 问: 四边形 ABCD 是什么四边形?
【解析】∵a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d), ∴(a+b)2=(c+d)2, 即 a 2 + 2a· b+b2=c2+2c· d+d2. ∵ a· b = c· d,∴a2+b2=c2+d2, 即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2??① 同理,|a|2+|d|2=|b|2+|c|2??② ①-②得|b|2=|d|2,又由①得|a|2=|c|2, ∴|a|=|c|,|b|=|d|. ∴四边形 ABCD 是平行四边形,∴c=-a. ∵ a· b = b· c,即 b(a-c)=0,∴b· (2a)=0, ∴a· b=0,∴a⊥b,∴四边形 ABCD 为矩形.

1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意 义,熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规 律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律,数 量积不满足结合律: (a· b)· c≠a· (b· c) ; 消去律: a· b=a· c b=c;a· b= 0 a=0 或 b=0,但满足交换律和分 配律. 2.公式 a· b=|a||b|cos θ ;a· b=x1x2+y1y2;|a|2=a2 =x2+y2 的关系非常密切,必须能够灵活综合运用. 3.通过向量的数量积,可以计算向量的长度,平面 内两点间的距离,两个向量的夹角,判断相应的两直线 是否垂直. 4.a∥b?x1y2-x2y1=0 与 a⊥b?x1x2+y1y2=0 要 区分清楚.

1.(2013 陕西)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|” 是“a∥b”的( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】由已知中|a· b|=|a|· |b|可得, a 与 b 同向或反向,所以 a∥b. 又因为由 a∥b,可得|cos〈a,b〉|=1, 故|a· b|=|a|· |b||cos〈a,b〉|=|a|· |b|, 故|a· b|=|a|· |b|是 a∥b 的充分必要条件.

【命题立意】 本题考查向量的数量积、 向量平行的 几何意义与充要条件,属中档题.

2.(2013 天津)在平行四边形 ABCD 中,AD=1, → ·BE → =1,则 AB ∠BAD=60° ,E 为 CD 的中点,若AC
1 2 的长为________ .

1→ → → → → → 【解析】由题意得BE=AE-AB=AD+ AB-AB 2 1→ → → → → → · BE → = (AD →+ = AD - AB , AC = AD + AB ,所以 AC 2
? ? 1 1→2 1→ → 1→2 1 ? ? 2 → → → → AB)· AB=1- AB + ?AD-2AB?=AD -2AB +2AD· 2 2 ? ?

1 1 → → |AB|×1× =1,解得|AB|= 或 0(舍去). 2 2
【命题立意】本题考查向量的数乘运算的几何意义、数量 积的运算及数形结合思想,属中档题.

→· → 1. 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形, 则AB BC → ·CA → =( D ) +BC 1 A.- 2 C.0 B.1 D.-1

→ ·BC → =BC → ·CA → 【解析】易知AB 1 =1×1×cos 120° =- , 2 → ·BC → +BC → ·CA → =-1. ∴AB

2.已知 a=(3,4),b=(4,7),则 b 在 a 上的投 影为( A ) A.8 C.4 B.6 D.2

a·b 3×4+4×7 【解析】b 在 a 上的投影为 = 2 2 =8. |a| 3 +4 故选 A.

3.已知 2a-b=(-1, 3),c=(1, 3),且 a· c =3,|b|=4,则 b 与 c 的夹角为( C π A. 6 π C. 3 π B. 4 2π D. 3 )

【解析】∵(2a-b)· c=2a· c-b· c =6-|b|· |c| cos?b,c? =6-4×2× cos?b,c? =-1×1+ 3× 3=2 ∴ cos?b,c? = , ?b,c? = ,选 C. 1 2 π 3

4.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10, → ·AC → =____________ -16 则AB .

【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设△ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= 34. 34+34-102 8 cos∠BAC= =-17. 2×34 ? ? ? ? → → ? ? ? → → AB·AC=?AB?·?AC? ?cos∠BAC=-16.

5.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边 → ·CB → 的值为________ → ·DC → 的最 上的动点,则DE ,DE 1 大值为________ . 1 → · CB →= 【解析】根据平面向量的数量积公式 DE

→ ·DA → =|DE → |·|DA → |cos θ, DE → |·cos θ= |DA → |, 由图可知,|DE → ·CB → =|DA → |2=1, 因此DE → ·DC → =|DE → |·|DC → |cos α=|DE → |· cos α, DE → |·cos α 就是向量DE → 在DC → 边上的射影,要想让 而|DE → ·DC → 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合, DE → ,所以长度为 1. 射影为DC

6.已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),且 a 与 b 满足|ka+b|= 3|a-kb|,其中 k>0. (1)用 k 表示 a· b; (2)求 a· b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小.

【解析】(1)∵|ka+b|= 3|a-kb|, 两边平方得|ka+b|2=3|a-kb|2, ∴k2a2+b2+2ka· b=3(a2-2ka· b+k2b2), (3-k2)a2+(3k2-1)b2 ∴ a· b= . 8k ∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), 2 k +1 2 2 ∴ a = 1, b = 1 , ∴ a · b= 4k . (2)∵k>0,∴(k-1)2≥0, 2 k +1 2k 1 2 从而 k +1≥2k, 4k ≥4k=2, 1 a· b 1 ∴ a· b 的最小值为2,此时 cos θ=|a|· |b|=2, ∴θ=60°,即 a 与 b 的夹角为 60°.

7.在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c, → ·AC → =BA → ·BC → =1. 若AB (1)求证:A=B; (2)求边 c 的大小; → +AC → |= 6,求△ABC 的面积. (3)若|AB

→ ·AC → =BA → ·BC →, 【解析】(1)证明:因为AB 所以 bccos A=accos B,即 bcos A=acos B, 又由正弦定理得 sin Bcos A=sin Acos B, 所以 sin(A-B)=0, 因为-π<A-B<π,所以 A-B=0,所以 A=B. → ·AC → =1,所以 bccos A=1, (2)因为AB b2+c2-a2 即 bc =1, 2bc 所以 b2+c2-a2=2, 由(1)得 a=b,所以 c2=2,所以 c= 2. → +AC → |= 6,则|AB → |2+|AC → |2+ 2AB → ·AC → =6, (3)若|AB 即 c2+b2+2=6,所以 c2+b2=4, 又 c= 2,所以 b= 2,a= 2,故△ABC 为正三角形, 3 3 2 所以 S△ABC= ×( 2) = . 4 2

8.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 → +40sin B· →+ c,G 是△ABC 的重心,且 56sin A· GA GB → =0. 35sin C· GC (1)求角 B 的大小; (2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),m· n 的最大值为 5,求实数 k 的值.

【解析】(1)由 G 是△ABC 的重心, → +GB → +GC → =0,所以GC → =-(GA → +GB → ), 得GA 由正弦定理,可将已知等式转化为 → +40b· → +35c· → -GB → )=0. 56a·GA GB (-GA → +(40b-35c)· → =0. 整理,得(56a-35c)· GA GB
? ?56a-35c=0, → → 因为GA,GB不共线,所以? ? ?40b-35c=0.

由此,得 a∶b∶c=5∶7∶8. 不妨设 a=5,b=7,c=8,由余弦定理, a2+c2-b2 52+82-72 1 得 cos B= = = . 2ac 2×5×8 2 π 因为 0<B<π,所以 B= . 3

(2)m· n=4ksin A+cos 2A=-2sin2A+4ksin A+1,
? 2π? π 2 ? 由(1)得 B= ,所以 A+C= π,故得 A∈?0, ? . 3? 3 3 ? ?

设 sin A=t∈(0,1], 则 m· n=-2t2+4kt+1,t∈(0,1]. 令 f(t)=-2t2+4kt+1, 则可知当 t∈(0, 1], 且 k>1 时,f(t)在(0,1]上为增函数, 所以,当 t=1 时,m· n 取得最大值 5. 于是有:-2+4k+1=5, 3 3 解得 k= ,符合题意,所以,k= . 2 2


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