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二并联杆数控螺旋面钻头尖刃磨机的机构仿真
一、仿真原理

图 1 二并联杆数控螺旋面钻头尖刃磨机床示意图

图 2 二并联杆数控螺旋面钻头尖刃磨机床刃磨原理图

重要假设条件:
1、 二并联杆数控螺旋面钻头尖刃磨机床是通过两组并联杆(2,a 和 3,b)保证动平台 4 只在空间中做水平运动,而没有翻转

运动。每一组并联杆是由空间相互平行的 4 根杆件 组成,由于组内各杆件受力相同,所以将其简化成平面机构如图 2。构件 a,b 是保证动 平台 4 只做水平运动的辅助平行杆,所以可以假设将机构中杆件 a,b 省略,而动平台 4 只做水平移动,没有翻转运动,也就是 4 相对于地面的夹角θ 4 恒等于 0。 2、 直线电机的次子有两个(1 和 5)但是在加工过程中并不是两者同时运动,所以假设 5 与导轨固联。 3、 假设机床在工作过程中动平台 4 只受到树直向上的恒力作用,且作用在其中心位置。 基于以上假设机床平面结构示意图如图 3。

图 3 二并联杆数控螺旋面钻头尖刃磨机床简化机构平面结构示意图

二、建立仿真方程
C2=cos(θ 2) S2=sin(θ 2) C3=cos(θ 3) 一)力方程(分别对各个杆件进行受力分析) 对动平台 4:受力分析如图 4 S3=sin(θ 3)

F24x+F43x=m4*Ac4x F24y+F43y=m4*Ac4y F24y*rc4-F43y*rc4=0 对并联杆 2:受力分析如图 5

(1) (2) (3)
图 4 动平台 4 的受力分析

F12x+F24x=-m2*Ac2x F12y+F24y=-m2*Ac2y F12x*rc2*S2+F12y*rc2*C2 -F24x*rc2*S2-F24y*rc2*C2=I2*α 2

(4) (5) (6)
图 5 并联杆 2 的受力分析

对直线电机滑块 1:受力分析如图 6

Fm+F12x=m1*r1_dot_dot Fy=F12y

(7) (8)
图 6 直线电机滑块 1 的受力分析

对并联杆 3:受力分析如图 7

F13x+F43x=-m3*Ac3x F13y+F43y=-m3*Ac3y F43x*r3*C3+F43y*r3*S3= I3*α 3

(9) (10) (11)

图 7 并联杆 3 的受力分析

二)闭环矢量运动方程(矢量图如图 8)

图 8 闭环矢量图

矢量方程为:R1+R2=R3+R4 将上述矢量方程分解为 x 和 y 方向,并分别对方程两边对时间 t 求两次导数得: r1_dot_dot+r2*α 2*S2+r2*w2^2*C2=r3*α 3*S3+r3*w3^2*C3 (12) r2*α 2*C2-r2*w2^2*S2=r3*α 3*C3-r3*w3^2*S3 (13) 三)质心加速度的矢量方程

图 9 质心加速度 的矢量示意图

矢量关系: Ac3=Rc3_dot_dot Ac4=R3_dot_dot+ Rc4_dot_dot Ac2=R3_dot_dot+ R4_dot_dot+ Rc2_dot_dot (_dot_dot 表示对时间求两次导数) 将上述三个矢量方程分别分解为 x 和 y 方向,则它们等效为以下六个方程; Ac3x=-rc3*w3^2*C3-rc3*α 3*S3 Ac3y=-rc3*w3^2*S3+rc3*α 3*C3 Ac4x=-r3*w3^2*C3-r3*α 3*S3 Ac4y=-r3*w3^2*S3+r3*α 3*C3 Ac2x=-r3*w3^2*C3-r3*α 3*S3-rc2*w2^2*C2-rc2*α 2*S2 Ac2y=-r3*w3^2*S3+r3*α 3*C3-rc2*w2^2*S2+rc2*α 2*C2 力未知量为: F12x,F12y,F24x,F24y,F43x,F43y,F13x,F13y,Fy,Fm 引入的加速度有: α 2,α 3,r1_dot_dot,Ac3x,Ac3y,Ac4x,Ac4y,Ac2x,Ac2y

(14) (15) (16) (17) (18) (19)

三、系统方程的组装
将所有 19 个方程组装成矩阵形式
0 1 0 0 0 ? 1 ? 0 1 0 1 0 0 ? ? rc 2 ? S 2 rc 2 ? C 2 ?rc 2 ? S 2 ?rc 2 ? C 2 0 0 ? 0 0 1 0 1 0 ? ? 0 0 0 1 0 1 ? 0 0 1 0 ?1 ? 0 ? 1 0 0 0 0 0 ? 1 0 0 0 0 ? 0 ? 0 0 0 0 1 0 ? ? 0 0 0 0 0 1 ? 0 0 0 r3 ? C3 r3 ? S 3 ? 0 ? 0 0 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 0 0 ? ? 0 ? 0 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ?I 2 0 0 0 0 0 0 0 0 r2 ? S 2 r2 ? C2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ?I 3 ?r 3 ? S 3 ?r 3 ? C 3 r3 ? S 3 r3 ? C3 rc3 ? S 3 rc3 ? C 3 r3 ? S 3 r3 ? C3 0 0 0 0 0 0 ? m1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ?1 0 0 0 0 0 ? ? 0 ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 ? m4 0 ? 0 0 0 ? m4 ? ? 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 ? m3 0 0 0 ? ? 0 m3 0 0 ? ? 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 ? 1 0 0 0 ? ? 0 ?1 0 0 ? ? 0 0 1 0 ? ? 0 0 0 ?1 ? ? 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 rc 2 ? S 2 0 0 0 0 rc 2 ? C 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

? F12 x ? ? 0 ? ? ? ? F12 y ? ? 0 ? ? ? ? F 24 x ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? F 24 y ? ? ? ? F 43 x ? ? ? ?p ? ? ? ? ? F 43 y ? ? 0 ? ? F13 x ? ? ? 0 ? ? ? ? F13 y ? ? ? 0 ? ? Fy ? ? ? 0 ? ? ? ? ? Fm ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ?2 ? ? 0 ? ? ? ? ? 3 ? ? r 3 ? w3 ^ 2 ? C 3 ? r 2 ? w2 ^ 2 ? C 2 ? ? ?? ? ? ? ? r1 ? ? r 2 ? w2 ^ 2 ? S 2 ? r 3 ? w3 ^ 2 ? S 3 ? ? ? ? ? ? Ac 2 x ? ? ? rc 2 ? w2 ^ 2 ? C 2 ? r 3 ? w3 ^ 2 ? S 3 ? ? ? ? rc 2 ? w2 ^ 2 ? S 2 ? r 3 ? w3 ^ 2 ? S 3 ? ? Ac 2 y ? ? ? ? rc3 ? w3 ^ 2 ? C 3 ? Ac3 x ? ? ? ? ? ? rc3 ? w3 ^ 2 ? S 3 Ac3 y ? ? ? ? ? ? r 3 ? w3 ^ 2 ? C 3 ? Ac 4 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ac 4 y ? ? r 3 ? w3 ^ 2 ? S 3 ? ? ? ? ? ?

四、初始条件的设定
假设图 3 位置就是初始位置。由于θ 2+θ 3=180 度(3.14 弧度) ,所以积分器初始值设为 θ 2=1,θ 3=2.14,r1=1.5,其它积分器初始值均设为 0。

五、机构的仿真及其结果
根据上述矩阵方程建立的 m 文件和 simulink 文件见附录。 仿真结果: 1、并联杆 2 的运动参数曲线如图 10

图 10 并联杆 2 的运动参数 θ 2,w2,α 2 曲线

2、并联杆 3 的运动参数曲线如图 11

图 11 并联杆 2 的运动参数 θ 3,w3,α 3 曲线

3、直线电极滑块 1 的运动参数曲线如图 12

图 12 直线电极滑块 1 的 运动参数 r1,r1_dot, r1_dot_dot 曲线

4、 各个杆件内力曲线如图 13 由图可知 F24y 与 F43y 的曲线重合, 而实际上 F24y,F43y 是并联杆与动平台之间的内力, 它们实际上也是相等的,所以曲线与实际情况相符。

图 13 各个杆件内力曲线

5、 直线电机驱动力 Fm 与导轨对直线电机次子法向支持力 Fy 的曲线

图 14Fm 与 Fy 的曲线

6、并联杆 2 的质心加速度 Ac2x,Ac2y 曲线如图 15

图 15 并联杆 2 的质心加 速度 Ac2x,Ac2y 曲线

7、并联杆 3 的质心加速度 Ac3x,Ac3y 曲线如图 16

图 16 并联杆 3 的质心加 速度 Ac3x,Ac3y 曲线

8、动平台 4 的质心加速度 Ac4x,Ac4y 曲线如图 17

图 17 动平台 4 的质心加 速度 Ac4x,Ac4y 曲线

9、误差曲线

图 18 机构仿真误差随时间的变化曲线

M 函数为 function e=my7(u) %u(1)=r1 %u(2)=theta_2 %u(3)=theta_3 r2=1.0; r3=1.0; r4=0.5; ex=u(1)-r2*cos(u(2))+r3*cos(u(3))-r4; ey=r2*sin(u(2))-r3*sin(u(3)); e=norm([ex ey]); 结论: 由误差曲线可以看出误差程周期变化,并且是收敛状态,所以仿真正确。


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