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2017届高三上学期期末考试试卷 (85)


哈尔滨师大 附 中 2016 年高三第一次联合模拟考试

东北师大附中 辽宁省实验中学

文科数学试卷

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条

形码准确粘贴在条形 码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求) 1.若集合 A ? [2,3] , B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6} ,则 A ? B ? A. {2,3} B. ? C.2 2.若复数 z 满足 zi = 1 + i,则 z 的共轭复数是 A.-1 - i B.1 + i C.-1 + i 3.若 m = 6,n = 4,按照如图所示的程序框图运行后,输 出的结果是 1 A. B.100 100 C.10 D.1 4.已知向量 a,b 满足 a ? b ? (1, ?3) , a ? b ? (3, 7) , a ? b ? A.-12 C.12 B.-20 D.20 D. [2,3] D.1 - i

?2 x ? 2, x ? 0 5.若函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (1)) 的值为 ?2 ? 4, x ? 0

B.10 C.-2 D.2 1 1 6.设 a, b ? R ,若 p : a ? b , q : ? ? 0 ,则 p 是 q 的 b a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? 7.若点 P(cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 cos(2? ? ) 的值等于 2

A.-10

1

A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

8.从某大学随机抽取的 5 名女大学生的身高 x(厘米)和体重 y(公斤)数据如下表 58 52 62 ? ? 0.92 x ? a ? ,则 a ?? 根据上表可得回归直线方程为 y A.-104.4 B. 104.4 C.-96.8

x y

165

160

175

155 43

170 60 D.96.8

? 9.若函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0) 为偶函数,则函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围是 4 2 2 A. [?1, 0] D. [0,1] B. [ ? ,0] C. [0, ] 2 2 10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 7 17 A. B. 3 2 17 ? 3 10 C.13 D. 2 2 2 x y 11 . 双 曲 线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a b F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) , M ,N 两点在双曲线 C 上,且 MN∥ F1F2, | F1 F2 |? 4 | MN | ,线段 F1N 交双曲线 C 于点 Q,且 | F1Q |?| QN | , 则双曲线 C 的离心率为 B.2 A. 3 C. 5 D. 6 2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 x1 ? ln x1 ? y1 ? 0 , x2 ? y2 ? 2 ? 0 ,则 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) ?x ? y ? 1 ? 0 ? 13.若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是__________。 ?x ? 0 ? 14.已知三棱锥 P-ABC,若 PA,PB,PC 两两垂直,且 PA = 2,PB = PC = 1,则三棱锥 P-ABC 外接球的体积为__________。 15.已知圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 与抛物线 y 2 ? mx(m ? 0) 的准线交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 ,则 m 的值为__________。 16. 已知ΔABC 为等边三角形, 点 M 在ΔABC 外, 且 MB = 2MC = 2, 则 MA 的最大值是__________。 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 3 1 已知数列 {an } 满足 a1 ? ,且 an ?1 ? 3an ? 1 , bn ? an ? 。 2 2 (1)求证:数列 {bn } 是等比数列; b ?1 (2)若不等式 n ? m 对 ?n ? N * 恒成立,求实数 m 的取值范围。 bn ?1 ? 1
2

18. (本小题满分 12 分) 某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况,现随机调查 100 位玩家的年龄整理后画 出频率分布直方图如图所示。

(1)求 100 名玩家中各年龄组的人数,并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有 玩家的平均年龄; (2)若已从年龄在 [35, 45) , [45,55) 的玩家中利用分层抽样选取 6 人组成一个游戏联盟, 现从这 6 人中选出 2 人,求这两人在不同年龄组的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在平行四边形 ABCD 中,AD⊥BD,AD = 2,BD = 4,点 M、N 分别为 BD、BC 的中点, 将其沿对角线 BD 折起成四面体 QBCD,使平面 QBD⊥平面 BCD,P 为 QC 的中点。

(1)求证:PM⊥BD; (2)求点 D 到平面 QMN 的距离。

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点 A(2, 0) 。 2 a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; 3 (2)过点 M ( , 0) 的直线 l 交椭圆于 B、D 两点,设直线 AB 斜率为 k1,直线 AD 斜率为 k2。 2 求证:k1k2 为定值,并求此定值。
已知椭圆 C:

3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 x ? 1)e x , g ( x) ? ax ? a (a ? R ) 。 (1)若 y ? g ( x) 为曲线 y ? f ( x) 的一条切线,求实数 a 的值; (2)已知 a < 1,若关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 的整数解只有一个 x0,求实数 a 的取值范 围。

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目 对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答 第一题评分。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,EF 是⊙O 的直径,AB∥EF,点 M 在 EF 上,AM、BM 分别 交⊙O 于点 C、D。设⊙O 的半径是 r,OM = m。 (1)证明: AM 2 ? BM 2 ? 2(r 2 ? m 2 ) ; AM BM (2)若 r = 3m,求 的值。 ? CM DM

23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? 2 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y = 8,圆 C 的参数方程是 ? (φ为 ? y ? 2 ? 2sin ? 参数) 。以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程;

(2)射线 OM:θ = α(其中 0 ? a ? 线 ON: ? ? ? ?

?
2

)与圆 C 交于 O、P 两点,与直线 l 交于点 M,射
| OP | | OQ | ? 的最大值。 | OM | | ON |

?
2

与圆 C 交于 O、Q 两点,与直线 l 交于点 N,求

24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 3 | ,不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (2, 4) 。 (1)求实数 m 的值; (2)若关于 x 的不等式 | x ? a |? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

4

2016 年东北三省三校第一次高考模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 C 9 A 10 C 11 D 12 B

(注:11 题∵e > 4,∴D 选项也不正确,此题无答案。建议:任意选项均可给分) 二、填空题 1 16. [1,3] 14. 13.2 15.8 4 三、解答题 17.(Ⅰ)证明:? a n ?1 ?

1 3 1 ? 3a n ? ? 3(a n ? ) , ………………………….3 分 2 2 2

b1 ? a1 ?

b 1 ? 1 ? n ?1 ? 3 , bn 2

所 以 数 列 ?bn ? 是 以 1 为 首 项 , 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列;………………………….6 分
n ?1 3n ?1 ? 1 bn ? 1 b ? 3 n ( Ⅱ ) 解 : 由 ( 1 ) 知 , , 由 ?m , 即 ?m 得 n 3 ?1 bn ?1 ? 1

1 4 ? ? m ,……………………9 分 n 3 3 ? 3 ? 1?
设 cn ?

1 4 ,所以数列 ?cn ? 为减数列, ? cn ?max ? c1 ? 1 , ? n 3 3 ? 3 ? 1?

? m ? 1 …………………………. 12 分
18.解: (Ⅰ)各组年龄的人数分别为 10,30,40,20 人 ………………………….4 分 估 计 所 有 玩 家 的 平 均 年 龄 为 0.1? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.4 ? 40 ? 0.2 ? 50 ? 37 岁…………………………6 分 (Ⅱ) 在 ?35, 45 ? 的人数为 4 人, 记为 a, b, c, d ; 在 ? 45,55 ? 的人数为 2 人, 记为 m, n . 所以抽取结果共有 15 种, 列举如下: ? ab ?, ? ac ? , ? ad ? ,? am ?, ? an ? , ? bc ? , ? bd ? ,

? bm ?, ? bn ? , ? cd ? ,? cm ?, ? cn ? ? dm ?, ? dn ? , ? mn ? ……………………9 分



设“这两人在不同年龄组”为事件 A ,事件 A 所包含的基本事件有 8 种,则

5

P( A) ?

8 15
? 这两人在不同年龄组的概率为

8 . ………………………….12 分 15

19.解: (Ⅰ)? 平面 QBD ? 平面 BCD , QD⊥BD,平面 QBD I 平面 BCD ? BD ,? QD⊥平 面 BCD,

? QD ? DC , 同理 QB ? BC , …………………………3 分
? P 是 QC 的中点.? DP ? BP ?

1 QC , 又 M 是 DB 的中点 2

∴PM⊥BD. …………………………6 分 (Ⅱ)? QD⊥平面 BCD,QD=BC=2,AB=4,M,N,P 分别是 DB、BC、QC 的中点.

? QM ? 2 2, MN ? 5, QN ? 21

? S ?QMN ?

6



S ?MND ? 1, …………………………9 分
设点 D 到平面 QMN 的距离为 h

1 1 ? VQ ? MND ? VD ?QMN ? ?1? 2 ? ? 6 ? h 3 3
所以点 D 到平面 QMN 的距离

6 . …………………………12 分 3

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ?a ? 2. ? ? 3 ?c 20. 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 得 ? ? 解 得 ?b ? 1, 所 以 C 的 方 程 为 , 2 ?a ? ?c ? 3. ?a ? 2 ?

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………4 分 4

3 x (Ⅱ)由题意知直线 l 斜率不为 0,可设直线 l 方程为 x ? my ? ,与 ? y2 ? 1联 2 4


2

7 ? 0 , ? ? 0 设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , 4 7 ? ?3m , y1 y2 ? 2 4 ………………………… 8 分 则 y1 ? y2 ? 2 m ?4 m ?4 y1 y2 y1 y2 y1 y2 k1k2 ? ? ? , ( x1 ? 2)( x2 ? 2) (my ? 1 )(my ? 1 ) m 2 y y ? 1 m( y ? y ) ? 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4
得 (m ? 4) y ? 3my ?
2 2

6

7 ?? . 7 3 1 4 ? m 2 ? m 2 ? (m 2 ? 4) 4 2 4 7 ? k1k2 为定值,定值为 ? …………………………12 分 4 ?
21. 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R, f ?( x) ? e x (2 x ? 1) , 设切点 ( x0,e x0 (2 x0 ? 1)) ,则切线的斜率 f ?( x0 ) ? e x0 (2 x0 ? 1) , ∴切线为: y ? e x0 (2 x0 ? 1) ? e x0 (2 x0 ? 1)( x ? x0 ) ,
∵y ? g ( x) 恒过点 (1,0) ,斜率为 a,且为 y ? f ( x) 的一条切线,

?

7 4

∴0 ? e x0 (2 x0 ? 1) ? e x0 (2 x0 ? 1)(1 ? x0 ) ,
3 3 ∴x0 ? 0或 ,由 a ? e x0 (2 x0 ? 1) ,得 a ? 1 或 a ? 4e 2 …………………………4 分 2

(Ⅱ)令 F ( x) ? e x (2 x ? 1) ? ax ? a , x ? R , F ?( x) ? e x (2 x ? 1) ? a , 当 x≥0 时,∵e x≥1 , 2 x ? 1≥1 ,∴e x (2 x ? 1)≥1 , 又 a ? 1 ,∴F ?( x) ? 0 ,∴F ( x)在(0,? ?)上递增 ,
? F (0) ? ?1 ? a ? 0 , F (1) ? e ? 0 ,则存在唯一的整数 x0 ? 0 使得 F ( x0 ) ? 0 ,即
f ( x0 ) ? g ( x0 ) ;6 分

当 x ? 0 时,为满足题意, F ( x)在(??,0) 上不存在整数使 F ( x) ? 0 , 即 F ( x)在(??,? 1] 上不存在整数使 F ( x) ? 0 ,
∵x≤ ? 1 ,∴e x (2 x ? 1) ? 0 ,…………………………8 分

①当 0≤a ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,∴F ( x)在(??,? 1]上递减 ,
3 3 ∴当 x≤ ? 1 时, F ( x)≥F (?1) ? ? ? 2a≥0 ,得 a≥ , e 2e ∴ 3 ≤a ? 1 ;…………………………10 分 2e

3 ②当 a ? 0 时, F (?1) ? ? ? 2a ? 0 ,不符合题意.………………………… e

11 分

7

综上所述,

3 ≤a ? 1 .…………………………12 分 2e

22 解: (Ⅰ)作 AA ' ? EF 交 EF 于点 A ' ,作 BB ' ? EF 交 EF 于点 B ' . 因为 A ' M ? OA '? OM , B ' M ? OB '? OM , 所以 A ' M 2 ? B ' M 2 ? 2OA '2 ? 2OM 2 . 从 .O M) 2 A ( A ? ' B OMA? ' B M ? ' A? 'A A ? M ' ?? 'B B 2 2 2 2 故 AM ? BM ? 2(r ? m ) . …………………………5 分 ( Ⅱ ) 因 为 EM ? r ? m , FM ? r ? m , 2 AM ? CM ? BM ? DM ? EM ? FM ? r ? m 2 . AM BM AM 2 BM 2 AM 2 ? BM 2 因为 ? ? ? ? CM DM AM ? CM BM ? DM EM ? FM 2 2 AM BM 2(r ? m ) 所以 . ? ? 2 CM DM r ? m2 又因为 r ? 3m , AM BM 5 所以 ? ? .…………………………10 分 CM DM 2 23.解: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程分别是 ? sin ? ? 8 . 2 2 圆 C 的普通方程分别是 x ? ( y ? 2) ? 4 错误!未找到引用源。 ,


2

A M?
2

2

2

2

2

2 2

2





所 以 圆 C 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 极 坐 标 方 程 分 别 是 ? ? 4 sin ? 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. …….5 分 ( Ⅱ )依 题意 得, 点 P, M 的极 坐 标分 别为 ?

? ? sin ? ? 8, ? ?? ? ? .
所以 | OP |? 4 sin ? , | OM |? 从而

? ? ? 4 sin ? , 错误!未找到引用源。和 ?? ? ? ,

8 , sin ?

| OP | 4sin ? sin 2 ? ? ? . 8 | OM | 2 sin ?

| OQ | ? 同理, | ON |

sin 2 (? ? ) 2 . 2

?

sin 2 (? ? ) 2 | OP | | OQ | sin 2 ? 2 ? sin (2? ) , ? 所以 ? ? | OM | | ON | 2 2 16 | OP | | OQ | ? 1 ? 故当 ? ? 时, 的值最大,该最大值是 . …10 分 | OM | | ON | 4 16
24.解 : (Ⅰ) 由已知得 x ? 3 ? m ? 2 , 得 5 ? m ? x ? 1? m , 即 m ? 3 ………………………… 5分

?

8

(Ⅱ) x ? a ? f ( x ) 得 x ? 3 ? x ? a ? 3 恒成立

? x ? 3 ? x ? a ? x ? 3 ? ( x ? a ) ? a ? 3 (当且仅当 ( x ? 3)( x ? a ) ? 0 时取到等
号)

? a ? 3 ? 3 解得 a ? 6 或 a ? 0
故 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? 6 ………………………….10 分

9


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