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陕西省汉中市南郑中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


陕西省汉中市南郑中学 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 2 =1+3 2 3 =1+3+5 2 4 =1+3+5+7 3 2 =3+5 3 3 =7

+9+11 3 4 =13+15+17+19 2 3 根据上述分解规律,若 m =1+3+5+…+11,n 的分解中最小的正整数是 21,则 m+n=() A.10 B.11 C.12 D.13 2. (5 分)下列不等式不成立的是() 2 2 2 A.a +b +c ≥ab+bc+ca C. ﹣ < ﹣
2

B.

+ +

> >2

(a>0,b>0)

(a≥3) D.

3. (5 分)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做 的假设是() A.方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C. 方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 4. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 5. (5 分) 如图, 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB=BC=2, AA1=1, 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为()
2

2

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知直线 l1 的方向向量 =(2,4,x) ,直线 l2 的方向向量 =(2,y,2) ,若| |=6, 且 ⊥ ,则 x+y 的值是() A.﹣3 或 1 B.3 或﹣1 C.﹣3 D.1

7. (5 分)已知曲线 们的图形可能是()

和直线 ax+by+1=0(a,b 为非零实数) ,在同一坐标系中,它

A.

B.

C.

D. 8. (5 分)已知两点 M(﹣2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为() A.y =8x
2

B.y =﹣8x
2 2

2

C.y =4x

2

D.y =﹣4x

2

9. (5 分)若点(x,y)在椭圆 4x +y =4 上,则 A.1 B.﹣1
2

的最小值为() D.以上都不对

C. ﹣

10. (5 分)已知 M(a,2)是抛物线 y =2x 上的一定点,直线 MP、MQ 的倾斜角之和为 π, 且分别与抛物线交于 P、Q 两点,则直线 PQ 的斜率为() A.﹣ B. ﹣ C. D.

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卷的相应位置)

11. (5 分)已知双曲线



=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与该双曲线的

右支交于 A,B 两点,若|AB|=7,则△ ABF1 的周长为. 12. (5 分)设 A(3,3,1) ,B(1,0,5) ,C(0,1,0) ,则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 为 .

13. (5 分)已知椭圆 C 的方程为

+

=1(a≥2b>0) ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是.

14. (5 分)已知 F 是抛物线 y =4x 的焦点,M 是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一 个定点,则|MP|+|MF|的最小值是.

2

15. (5 分)已知 F1、F2 是椭圆 C: 且

(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,

.若△ PF1F2 的面积为 9,则 b=.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)求双曲线 9y ﹣4x =﹣36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和 渐近线的方程. 17. (12 分) 已知命题 p: 对于 m∈, 不等式 a ﹣5a﹣3≥ <0 有解,若 p∨q 为真,且 p∧q 为假,求 a 的取值范围. 18. (12 分)设抛物线 y =8x 的焦点是 F,有倾角为 45°的弦 AB,|AB|=8 (1)求直线 AB 方程, (2)求△ FAB 的面积.
2 2 2 2 2

恒成立; 命题 q: 不等式 x +ax+2



19. (12 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD⊥平面 ABCD,且 PD=1,E,F 分别为 AB, BC 的中点. (1)求点 D 到平面 PEF 的距离; (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离. 20. (13 分) 如图, 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB∥DC, AB⊥AD, AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ)求二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值.

(Ⅲ)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 AM 的长.

,求线段

21. (14 分)设 x,y∈R, 、 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量 + =2x +2y , ﹣ =4 ,| |+| |=8. (1)求动点 M(x,y)的轨迹 c 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 c 交于 A,B 两点,设 = ,是否存在这样的直线 l,

使四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出 l 的方程,若不存在,请说明理由.

陕西省汉中市南郑中学 2014-2015 学年高二上学期期末 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 2 =1+3 2 3 =1+3+5 2 4 =1+3+5+7 3 2 =3+5 3 3 =7+9+11 3 4 =13+15+17+19 2 3 根据上述分解规律,若 m =1+3+5+…+11,n 的分解中最小的正整数是 21,则 m+n=() A.10 B.11 C.12 D.13 考点: 归纳推理. 专题: 计算题.
2

分析: 根据 m =1+3+5+…+11,n 的分解中最小的正整数是 21,利用所给的分解规律,求 出 m 、n,即可求得 m+n 的值. 解答: 解:∵ ∴m=6 ∵2 =3+5,3 =7+9+11, 3 4 =13+15+17+19, 3 ∴5 =21+23+25+27+29, 3 ∵n 的分解中最小的数是 21, 3 3 ∴n =5 ,n=5 ∴m+n=6+5=11 故选 B. 点评: 本题考查归纳推理,考查学生的阅读能力,确定 m、n 的值是解题的关键. 2. (5 分)下列不等式不成立的是() 2 2 2 A.a +b +c ≥ab+bc+ca C. ﹣ < ﹣
3 3

2

3



B.

+ +

> >2

(a>0,b>0)

(a≥3) D.

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 2 分析: A.利用(a﹣b) +(b﹣c) +(a﹣c) ≥0,展开即可得出; B.平方作差 C.利用分子有理化 比较出大小. D.平方作差
2 2

,展开即可得出; = , = ,即可

,展开即可得出.
2 2 2 2

解答: 解:A.∵(a﹣b) +(b﹣c) +(a﹣c) ≥0,∴a +b +c ≥ab+bc+ca,正确; B.∵ C. ∵a≥3, < D. = ,因此正确. = ﹣12<0,∴ ,因此不正确. = >0,∴ = ,因此正确; , ∴ ﹣

故选:D. 点评: 本题考查了平方作差、 乘法公式、 有理化因式比较两个数的大小, 考查了计算能力, 属于基础题. 3. (5 分)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做 的假设是()
2

A.方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C. 方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 考点: 反证法与放缩法. 专题: 证明题;反证法. 分析: 直接利用命题的否定写出假设即可. 解答: 解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, 2 ∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 2 是方程 x +ax+b=0 没有实根. 故选:A. 点评: 本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查. 4. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 考点: 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 分析: 对于 A:因为否命题是条件和结果都做否定,即“若 x ≠1,则 x≠1”,故错误. 2 对于 B:因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分条件,故错误. 2 对于 C:因为命题的否定形式只否定结果,应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误.由排除法 即可得到答案. 解答: 解:对于 A:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1”.因为否命题 2 应为“若 x ≠1, 则 x≠1”,故错误. 2 2 对于 B:“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件.因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分 条件,故错误. 2 2 对于 C:命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0”. 2 因为命题的否定应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误. 由排除法得到 D 正确. 故答案选择 D. 点评: 此题主要考查命题的否定形式,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,对于 命题的否命题和否定形式要注意区分,是易错点. 5. (5 分) 如图, 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB=BC=2, AA1=1, 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为()
2 2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 由题意, 由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法 求解直线与平面所成的夹角. 解答: 解:以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立 空间直角坐标系(图略) , 则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) ∴ =(﹣2,0,1) , , >═ =(﹣2,2,0) , = . 且为平面 BB1D1D 的一个法向量.

∴cos<

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 故答案为 D. 点评: 此题重点考查了利用空间向量, 抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平 面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题.

6. (5 分)已知直线 l1 的方向向量 =(2,4,x) ,直线 l2 的方向向量 =(2,y,2) ,若| |=6, 且 ⊥ ,则 x+y 的值是() A.﹣3 或 1 B.3 或﹣1 C.﹣3 D.1

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由已知利用向量的模和向量垂直的性质得 能求出 x+y 的值. 解答: 解:由已知得 , ,求出 x,y,由此

解得 x=﹣4,y=1 或 x=4,y=﹣3, ∴x+y=﹣3 或 x+y=1. 故选:A. 点评: 本题考查代数式的值的求法, 是基础题, 解题时要注意向量垂直的性质的合理运用.

7. (5 分)已知曲线 们的图形可能是()

和直线 ax+by+1=0(a,b 为非零实数) ,在同一坐标系中,它

A.

B.

C.

D. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 证明题. 分析: 可以以直线的方程为主进行讨论,根据直线的位置关系得出参数 a,b 的符号,再 由此关系判断曲线的形状,不出现矛盾者即是所求的正确选项 解答: 解:A 选项中,直线的斜率大于 0,故系数 a,b 的符号相反,此时曲线应是双曲 线,故不对; B 选项中直线的斜率小于 0,故系数 a,b 的符号相同且都为负,此时曲线不存在,故不对 ; C 选项中,直线斜率为正,故系数 a,b 的符号相反,且 a 正,b 负,此时曲线应是焦点在 x 轴上的双曲线,图形符合结论,可选; D 选项中不正确,由 C 选项的判断可知 D 不正确. 故选:C 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系, 解题的关键是根据直线的位置关系判断出两 个参数的符号,以此确定曲线的类型,再结合选项中图形的形状,得出正确答案. 8. (5 分)已知两点 M(﹣2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为() A.y =8x
2

B.y =﹣8x

2

C.y =4x

2

D.y =﹣4x

2

考点: 抛物线的标准方程;抛物线的定义. 专题: 计算题. 分析: 先根据 MN 的坐标求出|MN|然后设点 P 的坐标表示出关系 即可得到答案. 解答: 解:设 P(x,y) ,x>0,y>0,M(﹣2,0) ,N(2,0) , 则 由 则 化简整理得 y =﹣8x.
2

=0

, ,

故选 B 点评: 本题主要考查平面向量的数量积运算, 抛物线的定义. 向量的坐标表示和数量积的 性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是 2015 届高考常常考查的重要内容之 一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注 意它们的区别. 9. (5 分)若点(x,y)在椭圆 4x +y =4 上,则 A.1 B.﹣1 C. ﹣
2 2

的最小值为() D.以上都不对

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: 先利用数形结合结合的方法把 理解为是椭圆上的点与定点(2,0)连线的斜

率,显然直线与椭圆相切时取得最值,设直线方程与抛物线方程联立,根据判别式等于 0 求得 k. 解答: 解: 的几何意义是椭圆上的点与定点(2,0)连线的斜率,

显然直线与椭圆相切时取得最值, 设直线 y=k(x﹣2)代入椭圆方程(4+k )x ﹣4k x+4k ﹣4=0. 令△ =0,k=± ∴kmin=﹣ 故选 C . 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题. 解题的关键是利用 利用数形结合的方法来解决. 10. (5 分)已知 M(a,2)是抛物线 y =2x 上的一定点,直线 MP、MQ 的倾斜角之和为 π, 且分别与抛物线交于 P、Q 两点,则直线 PQ 的斜率为() A.﹣ B. ﹣ C. D.
2 2 2 2 2

. ;

的几何意义,

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将 M 代入抛物线求出 a,利用直线 MP,MQ 的倾斜角的和为 π,则其斜率互为相 反数,设出 MP 的方程,将方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理求出 P 的纵坐标与 k 的关系;同理得到 Q 的纵坐标与 k 的关系;利用两点连线的斜率公式求出 PQ 的斜率. 解答: 解:将(a,2)代入抛物线方程得 a=2,即 M(2,2) . 设直线 MP 的斜率为 k,则直线 MQ 的斜率为﹣k, 设 p(x1,y1) ,Q(x2,y2) 直线 MP 的方程为 y﹣2=k(x﹣2) ,



,消 x 得,ky ﹣2y+4﹣4k=0,

2

由韦达定理得 y1+2= , 同理 y2+2=﹣ , ∴y1+y2=﹣4, ∴PQ 的斜率为 =

=

=

=﹣ .

故选 B. 点评: 本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常用的方法是将它们的方程联立, 通过韦 达定理得到交点的坐标的关系、考查两点连线的斜率公式. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卷的相应位置) 11. (5 分)已知双曲线 ﹣ =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与该双曲线的

右支交于 A,B 两点,若|AB|=7,则△ ABF1 的周长为 30. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的定义和性质,即可求出三角形的周长. 解答: 解:由双曲线的方程可知 a=4, 则|AF1|﹣|AF2|=8,|BF1|﹣|BF2|=8, 则|AF1|+|BF1|﹣(|BF2|+|AF2|)=16, 即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+16=|AB|+16=7+16=23, 则△ ABF1 的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=23+7=30, 故答案为:30. 点评: 本题主要考查双曲线的定义,根据双曲线的定义得到 A,B 到两焦点距离之差是个 常数是解决本题的关键. 12. (5 分)设 A(3,3,1) ,B(1,0,5) ,C(0,1,0) ,则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 为 .

考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 计算题.

分析: 设出点 M 的坐标,利用 A,B 的坐标,求得 M 的坐标,最后利用两点间的距离求 得答案. 解答: 解:M 为 AB 的中点设为(x,y,z) , ∴x= =2,y= ,z= =3,

∴M(2, ,3) , ∵C(0,1,0) , ∴MC= 故答案为: . = ,

点评: 本题主要考查了空间两点间的距离公式的应用.考查了学生对基础知识的熟练记 忆.属基础题.

13. (5 分)已知椭圆 C 的方程为 解答: 解:由 a≥2b 可得 a ≥4b , 2 2 2 又 b =a ﹣c , 2 2 2 2 2 可得 a ≥4a ﹣4c ,即为 4c ≥3a , 即 c≥ a, , ≤e<1.
2 2

+

=1(a≥2b>0) ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是

即有 e= ≥

由 0<e<1,可得 故答案为:

17. (12 分) 已知命题 p: 对于 m∈, 不等式 a ﹣5a﹣3≥ <0 有解,若 p∨q 为真,且 p∧q 为假,求 a 的取值范围.

2

恒成立; 命题 q: 不等式 x +ax+2

2

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑 . 分析: 分别求出命题 p,q 中的 a 的取值范围,再利用若 p∨q 为真,且 p∧q 为假,则 p 与 q 一真一假.即可得出. 解答: 解:若命题 p:对于 m∈,不等式 a ﹣5a﹣3≥ 由于
2 2 2

恒成立;

=3,∴a ﹣5a﹣3≥3,解得 a≥6 或 a≤﹣1.
2

若命题 q:不等式 x +ax+2<0 有解,则△ =a ﹣8≥0,解得 若 p∨q 为真,且 p∧q 为假,则 p 与 q 一真一假.





当 p 真 q 假时,

, 解得

, 此时



当 q 真 p 假时,

,解得

,此时



综上可知:a 的取值范围是 . 点评: 本题考查了简易逻辑的有关知识、 恒成立问题的等价转化、 分类讨论思想方法等基 础知识与基本技能方法,考查了推理能力,属于难题. 18. (12 分)设抛物线 y =8x 的焦点是 F,有倾角为 45°的弦 AB,|AB|=8 (1)求直线 AB 方程, (2)求△ FAB 的面积.
2



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 AB 方程为 y=x+b,代入抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式,可得 b= ﹣3,进而得到直线方程; (2)求得抛物线的焦点,运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式,计算即可得到. 解答: 解: (1)设 AB 方程为 y=x+b 由 ,消去 y 得:x +(2b﹣8)x+b =0,
2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 则△ =(2b﹣8) ﹣4b >0,解得 b<2. 2 且 x1+x2=8﹣2b,x1?x2=b . ∴|AB|= = ? ?|x1﹣x2| = =8 ,

解得:b=﹣3, ∴直线方程为 y=x﹣3,即 x﹣y﹣3=0; 2 (2)抛物线 y =8x 的焦点是 F(2,0) , 即有 F 到直线 x﹣y﹣3=0 的距离为 d= 则△ FAB 的面积 S= d?|AB|= × ×8 =2 . = ,

点评: 本题考查抛物线的方程和性质, 主要考查直线方程和抛物线方程联立, 运用韦达定 理和弦长公式,同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积计算,属于中档题. 19. (12 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD⊥平面 ABCD,且 PD=1,E,F 分别为 AB, BC 的中点. (1)求点 D 到平面 PEF 的距离; (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)建立如图坐标系,求出平面的法向量,即可求出点 D 到平面 PEF 的距离; (2)利用 AC∥EF,可得直线 AC 到平面 PEF 的距离也即是点 A 到平面 PEF 的距离. 解答: 解: (1)建立如图坐标系,则 A(1,0,0) ,E(1, ,0) ,F( ,1,0)P(0, 0,1) ∴ =(﹣ , ,0) , =(1, ,﹣1)

设平面的法向量为 =(x,y,z) ,



故 =(2,2,3) , ∴点 D 到平面 PEF 的距离 d= = ;

(2)∵AC∥EF ∴直线 AC 到平面 PEF 的距离也即是点 A 到平面 PEF 的距离 又 =(0, ,0) = .

∴点 A 到平面 PEF 的距离为 d=

点评: 本题考查点 D 到平面 PEF 的距离、直线 AC 到平面 PEF 的距离,考查向量知识的 运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20. (13 分) 如图, 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB∥DC, AB⊥AD, AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点.

(Ⅰ)证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ)求二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值. (Ⅲ)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 AM 的长. ,求线段

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量 及应用;立体几何. 分析: (Ⅰ)由题意可知,AD,AB,AA1 两两互相垂直,以 a 为坐标原点建立空间直角 坐标系,标出点的坐标后,求出 和 ,由 得到 B1C1⊥CE;

(Ⅱ)求出平面 B1CE 和平面 CEC1 的一个法向量,先求出两法向量所成角的余弦值,利用 同角三角函数基本关系求出其正弦值,则二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值可求; (Ⅲ)利用共线向 量基本定理把 M 的坐标用 E 和 C1 的坐标及待求系数 λ 表示,求出平面 ADD1A1 的一个法向量, 利用向量求线面角的公式求出直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正 弦值,代入 求出 λ 的值,则线段 AM 的长可求.

解答: (Ⅰ)证明:以点 A 为原点建立空间直角坐标系,如图, 依题意得 A(0,0,0) ,B(0,0,2) ,C(1,0,1) ,B1(0,2,2) ,C1(1,2,1) ,E (0,1,0) . 则 而 所以 B1C1⊥CE; (Ⅱ)解: 设平面 B1CE 的法向量为 , , , =0.



,即

,取 z=1,得 x=﹣3,y=﹣2.

所以



由(Ⅰ)知 B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,所以 B1C1⊥平面 CEC1, 故 为平面 CEC1 的一个法向量,

于是

=



从而

= .

=



所以二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值为 (Ⅲ)解: 设 有 取

, 0≤λ≤1, . 为平面 ADD1A1 的一个法向量,

设 θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角, 则 =

=



于是



解得

.所以 .



所以线段 AM 的长为

点评: 本题考查了直线与平面垂直的性质, 考查了线面角和二面角的求法, 运用了空间向 量法, 运用此法的关键是建立正确的空间坐标系, 再就是理解并掌握利用向量求线面角及面 面角的正弦值和余弦值公式,是中档题.

21. (14 分)设 x,y∈R, 、 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量 + =2x +2y , ﹣ =4 ,| |+| |=8.

(1)求动点 M(x,y)的轨迹 c 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 c 交于 A,B 两点,设 = ,是否存在这样的直线 l,

使四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出 l 的方程,若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据向量的表达式和| |+| |=8 的值可推断出点 M(x,y)到两个定点 F1(0, ﹣2) ,F2(0,2)的距离之和为 8.根据椭圆的定义判断出其轨迹为椭圆,进而根据 c 和 a, 求得 b,则椭圆方程可得; (2)先看当直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点.根据 = + = ,可推断出 P

与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾.不可知直线的斜率一定存在,设出直线方程,和 A,B 的坐标,把直线方程与椭圆方程联立消去 y,根据韦达定理求得 x1+x2 和 x1x2 的表达 式,根据 求得 k. 解答: (1)解:∵向量 + =2x +2y , ﹣ =4 ,可得 =(x,y+2) , =(x,y﹣2) , 由| |+| |=8,可得 + =8, = + 和矩形的性质判断出 OA⊥OB,即 ? =0,求得 x1x2+y1y2=0,进而

∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0,﹣2) ,F2(0,2)的距离之和为 8. c=2,a=4,则 b= =2 ,

∴轨迹 C 为以 F1、F2 为焦点的椭圆,方程为 (2)∵l 过 y 轴上的点(0,3) , 若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点. ∵ = ,即有 = + = ,

+

=1.

∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾. ∴直线 l 的斜率存在.设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 y=kx+3, +
2

=1 消 y 得(4+3k )x +18kx﹣21=0.
2

2

2

此时,△ =(18k) +84(4+3k )>0 恒成立 且 x1+x2=﹣ ∵ = + , ,x1x2=﹣ .

∴四边形 OAPB 是平行四边形. 若存在直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,

即 ∵ ∴

?

=0. =(x2,y2) ,

=(x1 ,y1) , ?
2 2

=x1x2+y1y2=0,

即(1+k )x1x2+3k(x1+x2)+9=0, 即(1+k )?(﹣ 即k =
2

)+3k?(﹣ .

)+9=0,

,得 k=±

∴存在直线 l:y=±

x+3,使得四边形 OAPB 是矩形.

点评: 本题考查轨迹方程的求法, 主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题. 突出考查了向 量的坐标化等数学思想方法,


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