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2012中考数学第一轮复习 第1单元数与式课件 人教新课标版


第一单元 数与式

第1课时 第2课时 第3课时 第4课时 第5课时

实数的有关概念 实数的运算及实数的大小比较 整式及因式分解 分式 数的开方与二次根式

第一单元

数与式

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第1课时 │实数的有关概念

第1课时 实数

的有关概念

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第1课时 │考点聚焦 考点聚焦
考点1 实数的概念及分类
1.按定义分类

? ? ? ? 正整数 ? ? ? ?自然数 ? ?整数? 零 ? ? ?负整数 ? ?有理数? ? ? ? ? 实数? ?分数? 正分数 ?有限小数或无限循环小数 ? ? ? ? 负分数 ? ? ? ? ? ? ? ?无理数? 正无理数 ?无限不循环小数 ? ? ? ? 负无理数 ? ? ?
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第1课时 │考点聚焦
2.按正负分类

? ?正整数 ? ? ?正有理数? ? ?正实数? ?正分数 ? ? ? ? ?正无理数 ? 零 实数? ? ?负整数 ? ? ?负有理数? ? ? 负实数? ?负分数 ? ? ? ? ?负无理数 ?

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第1课时 │考点聚焦

22 3 [注意] (1)任何分数都是有理数,如 ,- 等. 7 11 (2)0 既不是正数,也不是负数,但 0 是自然数.

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第1课时 │考点聚焦
考点2 实数的有关概念
原点 正方向 单位长度 1.数轴:规定了________、________、________的直线叫做数轴.

[注意] 数轴上的点与实数一一对应.
符号 2.相反数:只有________不同的两个数互为相反数.

[注意] (1)若 a、b 互为相反数,则有 a+b=0,a =b (n 为正整 数), |a|=|b|. (2)相反数等于它本身的数是零,即若 a=-a,则 a=0.
乘积 3.倒数:________是 1 的两个数互为倒数.

2n

2n

[注意] 零是唯一没有倒数的数,倒数等于本身的数是 1 或-1.
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第1课时 │考点聚焦
距离 4.绝对值:数轴上表示数 a 的点与原点的______,记作|a|.

?a? a>0? ; ? [注意] |a|=?0? a=0? ; ?-a? a<0? . ?
a?10n 5.科学记数法:把一个数写成________的形式(其中 1≤|a|<10,
n 为整数),这种记数法叫做科学记数法.
6.近似数与有效数字:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这 个近似数精确到哪一位.这时,从左边第一个不是 0 的数字起,到精确 的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.
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第1课时 │考点聚焦

[辨析] (1)2.05 与 2.0500 的区别:2.05 精确到 0.01,有效数字 是 2,0,5;2.0500 精确到 0.0001,有效数字是 2,0,5,0,0.两者的精确 度和有效数字均不同,所以小数点后的“0”不能随意舍去. (2)对于带单位的近似数,则由近似数的位数和后面的单位共同确 定.如近似数 3.618 精确到千分位,3.618 万,数字 8 实际上是十位上 的数字,即精确到十位.

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第1课时 │考点聚焦
考点3 非负数
非负数: 正数 和


叫做非负数.
2

[注意] (1)常见的非负数的形式:|a|,a , a(a≥0). (2)非负数的性质:若几个非负数之和为 0,则每一个非负数都 为 0.

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第1课时 │归类示例 归类示例
类型之一 实数的概念及分类
命题角度: 1.有理数与无理数的概念 2.实数的分类 22 π 3 0 实数 ,sin30°, 2-1, ,( 3) , -8, 12,|- 7 3 3|,0.1010010001?中,无理数的个数是( C ) A.2 B.3 C.4 D.5
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第1课时 │归类示例

[解析] 3

22 1 0 是分数,它是有理数;sin30°= ;( 3) =1; 7 2

-8=-2;|-3|=3,这些都是有理数. 12=2 3,是无理数;

π 无理数还有 2-1, ,0.1010010001?. 3

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第1课时 │归类示例

(1)一个数是不是无理数,应先计算或者化简再判断. (2)常见的几种无理数:①根号型: 2, 8等开方开不尽的; ②三角函数型:sin60°,tan30°等;③构造型:如 1.323223?; π ④与 π 有关的:如 ,π-1 等. 3

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第1课时 │归类示例
类型之二 实数的有关概念
命题角度: 1.数轴、相反数、倒数等概念 2.绝对值的概念及计算 填空题:
0 (1)相反数等于它本身的数是________. ±1 (2)倒数等于它本身的数是________.

0或1 (3)平方等于它本身的数是________.
0 (4)平方根等于它本身的数是________. 非负数 (5)绝对值等于它本身的数是________. ·人教版

第1课时 │归类示例

[解析]

解决这类题最好的方法是借助于方程来求解,可避

免出错.设这个数为 x,则(1)-x=x,x=0; 1 2 (2) =x,∴x =1,∴x=±1;

x

(3)x =x,x -x=0,x=0 或 x=1; (4)± x=x,x =x,x=0 或 x=1(不合题意,舍去); (5)|x|=x,x≥0.
2

2

2

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第1课时 │归类示例

(1)求一个数的相反数,直接在这个数的前面加上负号, 有时需要化简得出. (2)负数的绝对值等于它的相反数.反过来,一个数的绝 对值等于它的相反数,则这个数是非正数. (3)解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思 想、分类讨论思想和数形结合思想.

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第1课时 │归类示例
类型之三 科学记数法和近似数、有效数字
命题角度: 1.用科学记数法表示数 2.近似数与有效数字的概念 [2011?广安] 从《中华人民共和国 2011 年国民经济和 社会发展统计报告》中获悉,去年我国国内生产总值达 397983 亿 元. 请你以亿元为单位用科学记数法表示去年我国的国内生产总值 .. (结果保留两个有效数字)( D ) A.3.9?10
13 13 5 5

B.4.0?10

C.3.9?10

D.4.0?10

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第1课时 │归类示例

科学记数法的表示方法: (1)当原数的绝对值大于或等于 1 时,n 等于原数的整数位数 减 1. (2)当原数的绝对值小于 1 时,n 是负整数,它的绝对值等于原数 中左起第一位非零数字

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第1课时 │归类示例
类型之四 创新应用题
命题角度: 1.探究数字规律 2.探究图形与数字的变化关系 [2011?嘉兴] 一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排 列,截去其中的一部分,剩下部分如图 1-1 所示,则被截去部分纸环的 个数可能是( D )

图 1-1 A.2010 B.2011 C.2012 D.2013
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第1课时 │归类示例

[解析] 指环的个数为5的倍数,而前面有8个,最后又有4个, 把四个选项中的数加上12,能被5整除的是2013,因为2013+12=

2025,故选D.

此类探究实数规律性问题的特点是给定一列数或等式或图形, 进 行适当地计算,并观察、猜想、归纳、验证,利用从特殊到一般的数 学思想,分析特点,探索规律,总结结论.

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第1课时 │回归教材 回归教材
教材母题 [人教版八上 P83 探究] 如图 1-2,直径为 1 个单位长度的圆从 原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点 O′,点 O′的 坐标是多少?

图 1-2

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第1课时 │回归教材

解:从图中可以看出,OO′的长就是这个圆的周长π ,

所以O′的坐标是π .

[点析] 许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的 一个点来表示.一般地,可以用无限不循环小数的近似值 来表示这个点的位置.

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第1课时 │回归教材
中考变式 1.[2011?贵阳] 如图 1-3,矩形 OABC 的边 OA 长为 2,边 AB 长为 1,OA 在数轴上,以原点 O 为圆心,对角线 OB 的长为半径画弧, 交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( D )

图 1-3 A.2.5 B.2 2 C. 3 D. 5
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第1课时 │回归教材

[解析] 由勾股定理得 OB= OA +AB = 2 +1 = 5.

2

2

2

2

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第1课时 │回归教材

2.[2010?河南] 若将三个数- 3, 7, 11表示在数轴上,
7. 其中能被如图 1-4 所示的墨迹覆盖的数是________.

图 1-4
[解析] 2< 7<3,所以能被墨迹覆盖的数是 7.

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第2课时 │实数的运算与实数的大小比较

第2课时 实数的运算与实数的大小 比较

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第2课时 │考点聚焦 考点聚焦
考点1 实数的运算
1.在实数范围内,加、减、乘、除(除数不为零)、乘方都可以 进行,但开方运算不一定能进行,正实数和零总能进行开方运算,而 负实数只能开立方,不能开平方. 2.有理数的一切运算性质及运算律都适用于实数运算. 3.实数的运算顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减, 有括号的要先算括号内的,若没有括号,在同一级运算中,要从左至 右依次进行运算.
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第2课时 │考点聚焦

[注意] (1)注意零指数、负整数指数的意义,防止以下错误: 1 1 -2 ①3 =- ;②2a = 2. 9 2a
-2

(2)遇到绝对值,一般要先去掉绝对值符号,再进行计算. (3)无论何种运算,都要注意先确定符号后再运算.

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第2课时 │考点聚焦
考点2 实数大小的比较

大于 小于 大于 1.正数________零,负数________零,正数______一

切负数;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值
小 大的反而______.

大于 2.在数轴上表示的两个实数,右边的数总是________

左边的数.

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第2课时 │考点聚焦
考点3 比较实数大小的常用方法
1.数轴比较法 将两个实数分别表示在数轴上, 右边的数总比左边的数大, 两数 表示在同一点则相等. 2.差值比较法 设 a、b 是任意两实数,则

a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b.
3.商值比较法 设 a、b 是两正实数,则
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第2课时 │考点聚焦

a a a >1?a>b; =1?a=b; <1?a<b. b b b
4.绝对值比较法 设 a、b 是两负实数,则 |a|>|b|?a<b;|a|=|b|?a=b;|a|<|b|?a>b. 除此之外,还有平方法、倒数法等. [注意] 比较实数大小时,常常用到实数的减法和除法运算.

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第2课时 │归类示例 归类示例
类型之一 实数的运算
命题角度: 1.实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算 2.实数的运算在实际生活中的应用 [2011?滨州] 计算:
?1?-1 0 ? ? -(π+3) -cos30°+ ?2? ? ? ? 12+? ? ? ? 3 ? -1?. 2 ?

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第2课时 │归类示例
解:原式=2-1- 3 3 +2 3+1- =2+ 3. 2 2

(1)在进行实数的混合运算时,首先要明确与实数有关的概念、性 质、运算法则和运算律,要弄清按怎样的运算顺序进行.中考中常常 把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查. (2)要注意零指数幂和负指数幂的意义.负指数的运算: a = (a≠0,且 p 是正整数),零指数幂的运算:a =1(a≠0).
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0 -p

1

ap

第2课时 │归类示例
类型之二 实数的大小比较
命题角度: 1.利用实数的大小比较法则比较大小 2.实数的大小比较常用方法 1 2 当 0<x<1 时,x ,x, 的大小顺序是( C )

x

A. <x<x

1

2

x

1 2 B. <x <x

x

1 C.x <x<
2

x

1 D.x<x <
2

x
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第2课时 │归类示例

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第2课时 │归类示例

两个实数的大小比较方法有: (1)正数大于零, 负数小于零; (2)利用数轴;(3)差值比较法;(4)商值比较法;(5)倒数法; (6)取特殊值法;(7)计算器比较法等.

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第2课时 │归类示例
类型之三 实数与数轴
命题角度: 1.实数与数轴上的点一一对应关系 2.数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合 3.数轴与实数大小比较、实数运算结合 4.利用数轴进行代数式的化简 [2012?中考预测] 已知实数 a 在数轴上的位置如图 2-1 所 示,则化简|1-a|+ a 的结果为( A ) 图 2-1 A.1 B.-1 C.1-2a D.2a-1
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2

第2课时 │归类示例

[解析] A

∵0<a<1,∴1-a>0,|a|=a,即|1-a|+ a

2

=|1-a|+|a|=1-a+a=1,故选 A.

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第2课时 │归类示例

[2011?成都] 已知实数 m、 在数轴上的对应点的位置 n 如图 2-2 所示,则下列判断正确的是( C )

图 2-2 A.m>0 C.mn<0 B.n<0 D.m-n>0

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第2课时 │归类示例
[2010?金华] 如图 2-3,若 A 是实数 a 在数轴上对应 的点,则关于 a、-a、1 的大小关系表示正确的是( A )

图 2-3 A.a<1<-a C.1<-a<a B.a<-a<1 D.-a<a<1

[解析] 互为相反数的两数所表示的点关于原点对称,所以a、 -a所表示的点关于原点对称,故a<1<-a.
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第2课时 │归类示例

(1)实数与数轴上的点一一对应, 互为相反数的两数所表示的点 关于原点对称. (2)在比较实数的大小时, 利用相反数在数轴上的点的特征把数 的大小比较转化为数轴上点的位置关系. (3)数轴上的点表示的实数是一个字母时, 要注意其在数轴上的 位置.

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第2课时 │归类示例
类型之四 探索实数中的规律
命题角度: 1.探究实数运算规律 2.实数运算中阅读理解问题 [2011?济宁] 观察下面的变形规律: 1 1 1 1 1 1 1 1 =1- ; = - ; = - ;? 1?2 2 2?3 2 3 3?4 3 4 解答下面的问题: (1)若 n 为正整数,请你猜想 (2)证明你猜想的结论;

n?

1 n+1?

1 - n n+1 =________;

1

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第2课时 │归类示例

1 1 1 1 (3)求和: + + +?+ . 1?2 2?3 3?4 2009?2010

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第2课时 │归类示例

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第2课时 │归类示例

此类实数规律性问题的特点是给定一列数或等式或图形,进行适 当地运算,并观察、猜想、归纳、验证,利用从特殊到一般的数学思 想,分析特点,探索规律,总结结论.

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第2课时 │回归教材 回归教材
教材母题 [人教版八上 P87T6] 比较下列各组数的大小: 3 2 3 (1)4, 15;(2)π,3.1416;(3) 3-2,- ;(4) , . 2 2 3

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第2课时 │回归教材
解:(1)∵ 16=4,∵ 16> 15,∴4> 15. (2)π<3.1416. (3) 3-2≈1.732-2=-0.268, 3 1.732 - ≈- =-0.866, 2 2 3 ∵-0.268>-0.866,∴ 3-2>- . 2
? (4)∵? ? ?

2 3 2?2 1 ? 3?2 1 1 1 ? ? ? = , = , > ,∴ > . 2 3 2 ? 2 ?3? 3 2 3 ? ? ?

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第2课时 │回归教材

[点析] 实数大小比较的常用方法有二次根式被开方数

大小比较法、求近似值法、平方法、相减法、相除法、利
用数轴法等.

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第2课时 │回归教材
中考变式 1.[2011?临沂] 下列各数中,比-1 小的数是( C ) A.0 A.-2 “=”).
< 4.[2010?郴州] 比较大小: 7________3(填写“<”或“>”).

B.1

C.-2

D.2 D. 2

2.[2011?威海] 在实数 0、- 3、 2、-2 中,最小的数是( A ) B.- 3 C.0
< 3.[2010?嘉兴] 比较大小:2 2________π(填“>”“<”或

5.[2011?河北]

3

π 5,π, -4,0 这四个数中, 最大的数是________.

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第3课时 │整式及因式分解

第3课时 整式及因式分解

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第3课时 │考点聚焦 考点聚焦
考点1 整式的概念
乘积 1.单项式:都是数或字母的________的代数式叫做单项式,单

独的一个数或一个字母也是单项式. 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单 项式的次数. 单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数.

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第3课时 │考点聚焦

[注意]

单独一个非零数的次数是 0.如-5 的次数是 0,字母 x

4xy 的次数是 1 而不是 0,单项式的系数包括前面的符号,如- 的系数 7 4 为- . 7 2.多项式:几个单项式的和叫做多项式. 多项式的次数:一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个 多项式的次数.
单项式和多项式 3.整式:________________________统称整式. ·人教版

第3课时 │考点聚焦
考点2 同类项、合并同类项
相同 同 类 项 : 所 含 字 母 ________ , 并 且 相 同 字 母 的 指 数 也 分 别 相同 ________的项叫做同类项,几个常数项是同类项.

合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项, 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母 部分不变. [注意] (1)同类项与系数无关,也与字母的排列顺序无关,如- 7xy 与 yx 是同类项. (2)只有同类项才能合并,如 x +x 不能合并.
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2 3

第3课时 │考点聚焦
考点3 整式的运算
1.整式的加减
合并同类项 整式的加减实质就是____________________________.

[注意] 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,再合 并同类项. 2.幂的运算 同底数幂相乘:底数不变,指数相加.

am+n 即:a ?a =________(m、 n 都为整数).
m n

幂的乘方:底数不变,指数相乘.
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第3课时 │考点聚焦

amn 即:(a ) =________(m、 n 都为整数).
m n

积的乘方:等于把积的每一个因式分别乘方,再把所有的幂相乘.

anbn n 为整数). 即:(ab) =________(
n

同底数幂相除:底数不变,指数相减.

am-n 即:a ÷a =________(a≠0,m、n 都为整数).
m n

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第3课时 │考点聚焦

3.整式的乘法 单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对 于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因 式. 单项式与多项式相乘:就是用单项式去乘多项式的每一项,再 把所得的积相加,即m(a+b+c)=ma+mb+mc. 多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项,再把所得的积相加,即(m+n)(a+b)=ma +mb+na +nb.

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第3课时 │考点聚焦

4.整式的除法
单项式除法:把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对 于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项分别除以这个单
项式,然后把所得的商相加. 5.乘法公式

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的
平方差,即(a+b)(a-b)=__________. a2-b2

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第3课时 │考点聚焦

完全平方公式: 两数和(或差)的平方, 等于它们的平方和加上(或

a2±2ab+b2 者减去)它们积的 2 倍,即(a±b) =________________.
2

[注意]

使用乘法公式时,要认清公式中 a、b 所表示的两个数
2 2 2

及公式的结构特征,不要犯类似下面的错误:(a+ b) = a + b ,(a -b) =a -b . 6.常用恒等变换
2ab 2ab (1)a +b =(a+b) -______=(a-b) +_________________;
2 2 2 2 2 2 2

4ab (2)(a-b) =(a+b) -________.

2

2

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第3课时 │考点聚焦
考点4 因式分解

概念:把一个多项式化成几个________的形式,像这样的式 整式的积 子变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解与整式乘法是相反方

向的变形.
[注意] 应用因式分解的概念时一定要注意:(1)因式分解专 指多项式的恒等变形;(2)因式分解的结果必须是几个整式积的形 式;(3)因式分解与整式的乘法互为逆变形.

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第3课时 │考点聚焦
考点5 因式分解的基本方法
1. 提公因式法 公因式:一个多项式各项都含有的公共的因式,叫做这个多项式 各项的公因式. 提取公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这 个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积形式,即 ma+mb+mc
m(a+b+c) =___________________________________.

[注意] (1)提取公因式时,其公因式应满足:①系数是各项系数 的最大公约数;②字母取各项相同字母的最低次幂. (2)公因式可以是数字、字母或多项式.
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第3课时 │考点聚焦
(3)提取公因式时,若有一项全部提出,括号内的项应是“1”, 而不是“0”. 2.运用公式法
2 2 (a+b)(a-b) 平方差公式: a -b =___________________________________;

(a+b) 完全平方公式: a +2ab+b =_____________________________;
2 2

2

(a-b) a -2ab+b =______________.
2 2

2

[注意] (1)二次三项式 x +(p+q)x+pq 型的因式分解为 x +(p+

2

2

q)x+pq=(x+p)(x+q).
(2)因式分解的一般步骤: 一提(提取公因式法); 二套(套公式法). 一直分解到不能分解为止.
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第3课时 │归类示例 归类示例
类型之一 等式的概念和等式的性质
命题角度: 1.同类项的概念 2.由同类项的概念通过列方程组求解同类项指数的字母的值 若 3x
m+5 2

y 与xy

3 n

1 的和是单项式,则 n =________. 4
m

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第3课时 │归类示例

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第3课时 │归类示例

(1)同类项必须符合两个条件:第一,所含字母相同;第二, 相同字母的指数相同,两者缺一不可. (2)根据同类项概念:相同字母的指数相同列方程(组)是解此 类题的一般方法.

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第3课时 │归类示例
类型之二 整式的运算
命题角度: 1.整式的加、减、乘、除运算 2.乘法公式 [2011?成都] 下列计算正确的是( D ) A.x+x=x
2

B.x?x=2x C.(x ) =x
3 2 3 5

D.x ÷x=x

2

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第3课时 │归类示例

[解析] A 是合并同类项,应为 2x;B 是同底数幂相乘,底数 不变,指数相加,应为 x ;C 是幂的乘方,底数不变,指数相乘, 应为 x ;D 是同底数幂的除法,底数不变,指数相减.故选 D.
6 2

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第3课时 │归类示例

(1)进行整式的运算时,一要注意合理选择幂的运算法则, 二要注意结果的符号. (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆,如 a ?a =a 和 a +a =2a .(a ) 和 a ?a 也易混淆. (3)单项式的除法:关键是注意区别“系数相除”与“同底 数幂相除”的含义,如 6a ÷3a =(6÷3)a 同底数幂的指数相除.
5 2 5-2 8 3 3 3 3 5

m n

n

m

=2a ,一定不能把

3

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第3课时 │归类示例

[2011?绍兴] 先化简,再求值: a(a-2b)+2(a+ b)(a-

b)+(a+b)2,其中 a=- ,b=1.
解:a(a-2b)+2(a+b)(a-b)+(a+b) =4a -b , 1 当 a=- ,b=1 时,原式=0. 2
2 2 2

1 2

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第3课时 │归类示例
[2010? 巴 中 ] 若
? ? ? ? ? 2x-y + ?y+2? = 0 , 求 代 数 式 ? ? ? ? ?

?

x-y?

2

+? x+y? ?
2

x-y?

÷2x 的值.

解:[(x-y) +(x+y)(x-y)]÷2x =(x -2xy+y +x -y )÷2x =(2x -2xy)÷2x =x-y. 由 2x-y+|y+2|=0 得 2x-y=0,y+2=0, 解得 x=-1,y=-2. 把 x=-1,y=-2 代入,得 x-y=-1-(-2)=1.
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2 2 2 2 2

第3课时 │归类示例

(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算,要充分理解其运算 法则,注意运算顺序,正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思 想. (2)在应用乘法公式时,要充分理解乘法公式的结构特点,分析 是否符合乘法公式的条件.

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第3课时 │归类示例
类型之三 因式分解
命题角度: 1.因式分解的概念 2.提取公因式法因式分解 3.运用公式法因式分解:(1)平方差公式;(2)完全平方公式 [2011?凉山州] 分解因式: ? 1 ?2 ? 1 2 - a a- b ? 3 2 ? -a +a b- ab =________. 2 ? ? ? 4

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第3课时 │归类示例

[解析] 先提取公因式-a,再利用公式法因式分解.原
? 2 ? 1 2? 1 ?2 ? ? ? 式=-a?a -ab+ b ?=-a?a- b? . 4 ? 2 ? ? ? ?

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第3课时 │归类示例

(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式,再考虑是否应用 公式法或其他方法继续分解. (2)提取公因式时,若括号内合并的项有公因式,应再次提取; 注意符号的变换 y-x=-(x-y),(y-x) =(x-y) . (3)应用公式法因式分解时,要牢记平方差公式和完全平方公 式及其特点. (4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止.
2 2

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第3课时 │归类示例
类型之四 因式分解的应用
命题角度: 1.利用因式分解进行计算与化简 2.利用几何图形验证因式分解公式 [2010?达州] 如图 3-1, 在边长为 a 的正方形中, 剪去一个 边长为 b 的小正方形(a>b), 将余下部分拼成一个梯形, 根据两个图形 阴影部分面积的关系,可以得到一个关于 a、b 的恒等式为( C )

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第3课时 │归类示例

图 3-1 A.(a-b) =a -2ab+b B.(a+b) =a +2ab+b
2 2 2 2 2 2 2

2

C.a -b =(a+b)(a-b) D.a +ab=a(a+b)
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2

第3课时 │归类示例

[解析] 利用两个图形面积相等的关系建立等量关系.

(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式,关键 是能准确计算阴影部分的面积. (2)利用因式分解进行计算与化简,先把要求的代数式进行因 式分解,再代入已知条件计算.

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第3课时 │归类示例
类型之五 整式的创新应用
命题角度: 1.整式的规律性问题 2.利用整式的运算验证公式或等式 3.新定义运算 [2011?汕头] 图 3-2 是由从 1 开始的连续自然数组成的, 观察规律并完成各题的解答.

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第3课时 │归类示例
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ? 图 3-2 64 8 (1)表中第 8 行的最后一个数是________,它是自然数________的平
15 方,第 8 行共有________个数;

(n-1) +1 (2)用含 n 的代数式表示:第 n 行的第一个数是_____________,最

2

n 2n-1 后一个数是________,第 n 行共有________个数;
(3)求第 n 行各数之和.
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2

第3课时 │归类示例
解: (3)第 2 行各数之和等于 3?3; 3 行各数之和等于 5?7; 第 第 4 行各数之和等于 7?13; 类似地, n 行各数之和等于(2n-1)(n 第 -n+1)=2n -3n +3n-1.
3 2 2

解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用,从分析图形 的结构入手,分析图形结构的形成过程,从简单到复杂,进行归纳猜 想,从而获得隐含的数学规律,并用代数式进行描述.
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第3课时 │归类示例
[2010?佛山] 新知识一般有两类: 第一类是不依赖于其他 知识的新知识,如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识;第 二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识, 大多数知识是这样的知识. (1)多项式乘以多项式的法则是第几类知识? (2)在多项式乘以多项式之前,你已拥有的有关知识是哪些(写 出三条即可)? (3)请你用已拥有的有关知识, 通过数和形两个方面说明多项式 乘以多项式的法则是如何获得的(用(a+b)(c+d)来说明)?
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第3课时 │归类示例
解:(1)是第二类知识. (2)单项式乘以多项式(分配律),字母表示数,数可以表示线段 的长或图形的面积等. (3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+

ad+bd;
用形来说明:如图,边长为 a+b 和 c+d 的矩形,分割前后的 面积相等, 即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd.

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第3课时 │回归教材 回归教材
教材母题 [人教版八上 P157T7] 已知 a+b=5,ab=3,求 a +b 的值.(提 示:利用公式(a+b) =a +2ab+b )
2 2 2 2 2

解:∵a+b=5,ab=3, ∴(a+b) =25,即 a +2ab+b =25, ∴a +b =25-2ab=25-2?3=19.
2 2 2 2 2

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第3课时 │回归教材

[点析] 完全平方公式的一些主要变形: a+b) +(a-b) =2(a (
2 2 2 2 2

2

2

2

+b ),(a+b) -(a-b) =4ab,(a+b) -2ab=(a-b) +2ab,在四 个量(a-b) 、(a+b) 、ab 和 a +b 中,知道其中任意的两个量,就 能求出(整体代换)其余的两个量.
2 2 2 2

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第3课时 │回归教材
中考变式

b a 1.[2010?黄冈] 已知 ab =-1, a + b =2,则式子 + = a b
-6 ________.

2.[2010?桂林] 已知 x + =3,则代数式 x + 2 的值为

1

2

1

x

x

7 ________.

3.[2011?衡阳] 若 m - n =2, m + n =5,则 m - n 的值为
10 ________.

2

2

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第4课时 │分式

第4课时 分式

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第4课时 │考点聚焦 考点聚焦
考点1 分式
A 分式的概念:形如 (A、B 是整式,B 中含有字母,且 B≠0)的式 B
子叫做分式.
分母不为0 [辨析] (1)分式有意义的条件:___________________________. 分子为0,但分母不为0 (2)分式的值为 0 的条件:______________________________.

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第4课时 │考点聚焦
考点2 分式的基本性质
A A?? M ? A A÷? M ? 1. = , = (M 是不为零的整式). B B? M B B÷ M
2.约分:把分式的分子与分母中的公因式约去,叫做分式的约 分. 3.通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同时乘适当的整 式,不改变分式的值,把异分母化成同分母的分式,这样的分式变 形叫做分式的通分.

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第4课时 │考点聚焦
考点3 分式的运算
1.分式的加减法

a b (1)同分母的分式相加减:分母不变,把分子相加减,即 ± = c c a± b
c ________.
(2)异分母的分式相加减:先通分,变为同分母的分式,再加减, 即

ad bc a c ad±bc bd bd ± =________±________= . b d bd

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第4课时 │考点聚焦

2.分式的乘除法 乘法法则:分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积 的分母. 除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与 被除式相乘.

ac a c bd 即 ? =________, b d
c≠0, d≠0).

a d a c ad b c ÷ =________?________= (b≠0, b d bc

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第4课时 │考点聚焦
3.分式的乘方 法则:分式乘方是把分子、分母各自乘方,

an ?a ?n bn 即? ? =________(n 为整数,a≠0,b≠0). ?b ? ? ?
4.分式的混合运算 在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约 分化简,最后进行加减运算,若有括号,先算括号里面的. [注意] (1)实数的各种运算律也符合分式的运算. (2)分式运算的结果要化成整式或最简分式.

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第4课时 │归类示例 归类示例
类型之一 分式的有关概念
命题角度: 1.分式的概念 2.使分式有(无)意义、值为 0(正或负)的条件 1 x≠5 (1)若分式 有意义,则实数 x 的取值范围是________. x-5 3x -27 (2)[2011?内江] 如果分式 的值为 0,则 x 的值应为 x-3
-3 ________.
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2

第4课时 │归类示例

[解析] (1)由于分式的分母不能为 0,x-5 在分母上,因此 x -5≠0,解得 x≠5. (2)依题意,分子 3x -27=0 且分母 x-3≠0,所以 x=-3.
2

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第4课时 │归类示例

(1)分式有意义的条件是分母不为零;分母为零时分式无意 义. (2)分式的值为零的条件:分式的分子为零,分母不为零. (3)分式的值为正的条件:分子与分母同号;分式的值为负的 条件:分子与分母异号.分式的值为正(负)经常与不等式组结合 考查.

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第4课时 │归类示例
类型之二 分式的基本性质的运用
命题角度: 1.利用分式的基本性质进行通分 2.利用分式的基本性质进行约分 下列运算正确的是( C ) -x-y x-y A. = -x+y x+y

a2-b2 a- b B. 2= ? a-b? a+ b x-1 1 D. 2= 1-x x+1
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a 2 -b 2 a+ b C. 2= ? a-b? a- b

第4课时 │归类示例

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第4课时 │归类示例

(1)在应用分式基本性质进行变形时,要注意“都” “同一个” “不等于 0”这些字眼的意义,否则容易出现错误. (2)在进行通分和约分时,如果分式的分子或分母是多项式, 先要将这些多项式进行因式分解.

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第4课时 │归类示例
类型之三 分式的化简与求值
命题角度: 1.分式的加、减、乘、除、乘方运算法则 2.分式的混合运算及化简求值 [2011?泰州]
? b2 ? a+ b ? 化简:?a-b+ ? . ? a+b? a ? ?

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第4课时 │归类示例

[2011?广安]
?-x-2≤3, ? 组? ?2x<12 ?

? x x ? 2x ? ? - 先化简? ÷ , 然后从不等式 x-5 5-x? x2-25 ? ?

的解集中,选取一个你认为符合题意的 x 的值代入 ....

求值.

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第4课时 │归类示例

(1)解有条件的分式化简与求值时,既要瞄准目标,又要抓住条 件;既要根据目标变换条件,又要依据条件来调整目标.除了要利用 整式化简求值的方法外,还常常用到如下的技巧:①取倒数或利用倒 数关系;②整体代入;③拆项变形或拆分变形等. (2)关于化简求值,近几年出现了一种开放型问题,题目中给定 几个数字,要考虑分母有意义的条件,不要盲目代入.

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第4课时 │归类示例
类型之四 分式的创新应用
命题角度: 1.探究分式中的规律问题 2.有条件的分式化简 1 1 1 1 1 [2011?成都] 设 S1=1+ 2+ 2, 2=1+ 2+ 2, 3=1+ 2 S S 1 2 2 3 3 1 1 + 2,?,Sn=1+ 2+ 4 n ? 1 n+1?
2

n2+2n n+1 设 S= S1+ S2+?+ Sn,则 S=________.(用含 n 的代数式

.

表示,其中 n 为正整数)
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第4课时 │归类示例

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第4课时 │归类示例

此类问题一般是通过观察、计算,猜想一般性的结论,再利用分式 的性质及运算予以证明

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第4课时 │回归教材 回归教材
教材母题 [人教版八下 P23T6] 计算:
? x ?1 1? 2y ? xy ? ? + (1)? ? ÷? + ?; ? ? ? ?x+y x+y? x+2y ?x y? ?1 1?2 ? 1 1? ? ? ? (2)? + ? ÷? 2- 2?. b? ?a b? ?a ?

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第4课时 │回归教材

? x ?1 1? 2y ? xy ? ? + 解:(1)? ? ÷? + ? ? ? ? ?x+y x+y? x+2y ?x y?

x+2y xy x+ y = ? ÷ x+y x+2y xy xy xy = ? x+ y x+ y x2y2 = ? x+y?
2

.

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第4课时 │回归教材

?1 1?2 ? 1 1? ? ? ? (2)? + ? ÷? 2- 2? b? ?a b? ?a ? ?a+b?2 b2-a2 ? =? ? ab ? ÷ a2b2 ? ?

= ?

? a+b? b+a? ? b-a?

2

a+ b =- . a- b

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第4课时 │回归教材

[点析] 在进行分式的加、减、乘、除、乘方混合运

算时,要注意运算法则与运算顺序.此类问题是中考的热
点考题.

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第4课时 │回归教材
中考变式 1.[2011?南京] 计算:
? a 1 ? b ? ? ?a2-b2-a+b?÷b-a. ? ?

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第4课时 │回归教材
2.[2011?枣庄] 先化简,再求值:
? 1 ? x2-2x+1 ? ? 1+ ÷ 2 ,其中 x=-5. ? x-2? x -4 ? ?

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第5课时 │数的开方及二次根式

第5课时 数的开方及二次根式

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第5课时 │考点聚焦 考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
平方 平方根:一个数 x 的________等于 a,那么 x 叫做 a 的平方根,记

作± a.
平方 算术平方根:一个正数 x 的________等于 a,则 x 叫做 a 的算术平

方根,记作 a.0 的算术平方根是 0.
立方 立方根:一个数 x 的________等于 a,那么 x 叫做 a 的立方根.

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第5课时 │考点聚焦
考点2 二次根式的有关概念
a≥0 二次根式:形如 a(________)的式子叫做二次根式.

[注意]

a中的 a 可以是数或式,但 a 一定要大于或等于 0.

最简二次根式:同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二 次根式: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2)被开方数不含分母.

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第5课时 │考点聚焦
考点3 二次根式的性质
≥0 重要公式:(1)( a) =a(a____).
2

(2) a = a
2

? ? ? ? ? ?

? a ? =? ?-a ?

a≥0? ; ? a<0? .
?

≥0 ≥0 积的算术平方根: ab= a? b(a____,b____).

商的算术平方根:

b b >0 ≥0 = (a____,b____). a a

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第5课时 │考点聚焦
考点4 二次根式的运算
二次根式的加减:先将二次根式化简,再将被开方数相同的二 次根式进行合并.
≥0 ≥0 二次根式的乘法: a? b= ab(a____,b____).

b 二次根式的除法: = a

b >0 ≥0 (a____,b____). a

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第5课时 │考点聚焦
考点5 把分母中的根号化去
常见的方法:

a 1 a+ b (1) = ;(2) = . a a+ b a a+ b
1

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第5课时 │归类示例 归类示例
类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度: 1.平方根、算术平方根与立方根的概念 2.求一个数的平方根、算术平方根与立方根 (1)[2011?成都] 4 的平方根是( C ) A.±16 B.16 C.±2 D.2

2 (2)[2011?日照] (-2) 的算术平方根是( A )

A.2

B.±2

C.-2

D. 2
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第5课时 │归类示例

[解析] (1)4 的平方根是±2,(2)(-2) 的算术平方根是 2.

2

(1)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. (2)平方根等于本身的数是 0,算术平方根等于本身的数是 1 和 0,立方根等于本身的数是 1、-1 和 0. (3)一个数的立方根与它同号.

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第5课时 │归类示例
类型之二 二次根式的有关概念
命题角度: 1.二次根式的概念 2.最简二次根式的概念

a+2 [2011?鄂州] 要使式子 有意义,则 a 的取值范 a
a≥-2且a≠0 围为__________________.

[解析] 依题意,得?a+2≥0,?a≠0, 所以 a≥-2 且 a≠0. ? ?
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? ?

第5课时 │归类示例

(1)此类有意义的条件问题主要是根据:①二次根式的被开方 数大于或等于零;②分式的分母不为零等列不等式组,转化为求不 等式组的解集. (2)在实数范围内,判断 a, -a 等式子有无意义或已知这 些式子有意义或无意义时,求被开方数中的字母的取值范围,容易 出现考虑问题不周的错误, 特别是分式与二次根式在同一式中更容 易出错.
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2

第5课时 │归类示例
类型之三 二次根式的化简与计算
命题角度: 1.二次根式的性质:两个重要公式、积的算术平方根、商的算 术平方根 2.二次根式的加减乘除运算 [2011?宜宾] 计算: 20- 15 2011 3( 3-π) - +(-1) . 5
0

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第5课时 │归类示例

解:原式=3?1-(2- 3)+(-1)= 3.

(1)利用二次根式的性质,先把每个二次根式化简,然后 进行运算. (2)在中考中常与零指数、负指数结合在一起考查.

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第5课时 │归类示例
[2011?安顺] 先化简,再求值:
? a-1 a+2 ? ?4 ? ? ? ? - 2 ÷? -1?,其中 a=2- 2 ?a -4a+4 a -2a? ? ? ? ?a ?

3.

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第5课时 │归类示例

(1)此类分式与二次根式综合的计算问题,一般先化简再代 入求值; (2)最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根 式.

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第5课时 │归类示例
类型之四 二次根式的大小比较
命题角度: 1.二次根式的大小比较方法 2.利用计算器进行二次根式的大小比较 比较大小:-3 7与-2 15.

[解析] 先比较 3 7与 2 15的大小.

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第5课时 │归类示例
解:-3 7=- 3 ?7=- 63, -2 15=- 2 ?15=- 60, ∵63>60,∴ 63> 60,即 3 7>2 15, ∴-3 7<-2 15.
2 2

比较两个二次根式大小的方法很多, 最常用的是平方法和取倒数 法,还可以将根号外的因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负 号不能移到根号内;(2)根号外的正因子要平方后才能从根号外移到 根号内.
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第5课时 │归类示例
类型之五 二次根式的非负性
命题角度: 1.二次根式的非负性的意义 2.二次根式的非负性的化简 [2011?乌兰察布]
-1 ________.

x+1+(y-2011) =0,则 x =

2

y

[解析] 根据二次根式及平方的非负性得 x+1=0,y-2011=0,解得x=-1,y=2011,则xy=-1.
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第5课时 │归类示例

(1)利用非负数解题,常见的有三种情况:|a|, a,a . (2)几个非负数的和等于零,那么这几个数都为零.

2

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第5课时 │回归教材 回归教材
教材母题

[人教版九上 P18T6] 已知 x= 3+1, = 3-1, y 求下列各式的值: (1)x +2xy+y ; (2)x -y .
2 2 2 2

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第5课时 │回归教材
解:因为 x= 3+1,y= 3-1, 所以 x+y=2 3,x-y=2. 则(1)x +2xy+y =(x+y) =(2 3) =12. (2)x -y =(x+y)(x-y)=4 3.
2 2 2 2 2 2

[点析] 在进行二次根式化简求值时,常常用到整体思想.把 x+y、

x-y、xy 当作整体进行代入.

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第5课时 │回归教材
中考变式

a b 1.[2010?荆门] 已知 a=2+ 3,b=2- 3,试求 - 的值. b a

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第5课时 │回归教材

2.[2010?东营] 先化简,再求值: ? 1 1 ? 2y ? ? ?x-y-x+y?÷x2+2xy+y2,其中 x= 3+ 2, y= 3- 2. ? ?

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第5课时 │回归教材

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