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高考复习—双曲线相关知识点


第一部分 双曲线相关知识点讲解
一.双曲线的定义及双曲线的标准方程: 1 双曲线定义:到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|) 的点的轨迹( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) 这两个定点叫双曲线的焦 )
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www

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点. 要注意两点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有 本质的不同. 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
x2 y2 y2 x2 2.双曲线的标准方程: 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0) .这里 b 2 ? c 2 ? a 2 , a b a b 其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上; 如果 y 2 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此 不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标 准方程后,运用待定系数法求解.

二.双曲线的内外部:
x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a b x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? 2 ? 1. a2 b

三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ?( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 四.双曲线的简单几何性质
y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) a2 b
y
M1 M2

P

⑴范围:|x|≥a,y∈R
F1 A1 K1

o

K2

A2 F2

x

教师:陈永福

⑵对称性:关于 x、y 轴均对称,关于原点中心对称 ⑶顶点:轴端点 A1(-a,0) 2(a,0) ,A ⑷渐近线: x2 y2 x2 y2 b ①若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x a a b a b 2 2 x y x y b ②若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b 2 2 2 2 x y x y ③若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点 a b a b 在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上) x2 y2 x2 y2 ④ 与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b 2 2 x y x2 y2 ? 2 ?1 ⑤ 与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线系方程是 2 a b a ?k b ?k
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2 2 2 2 五.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a, b ? 0) 与 y 2 ? x 2 ? 1(a, b ? 0) 的区别和联系

a

b

a

b

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2

焦点 性 质 焦距

(c,0), (?c,0) ,

(0, c), (0,?c)

2c

范围

| x |? a, y ? R
(a,0), (?a,0)
关于 x 轴、y 轴和原点对称

| y |? a, x ? R
(0,?a ), (0, a )

顶点 对称性

6.弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、 B 的横坐标,则 AB = 1 ? k 2 x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB =

1?

1 y1 ? y 2 。 k2

教师:陈永福

第三部分
考点 1 双曲线的定义及标准方程 题型 1:运用双曲线的定义

典型例题分析

[例 1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的 距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点 均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的. [解析]如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故 P 在 AC 的垂直平分 线 PO 上, 的方程为 y=-x, B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声, PO 因 故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 上, a2 b
依题意得 a=680, c=1020,

y P C

A

O

B

x

? b ? c ? a ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340
2 2 2 2 2

2

x2 y2 故双曲线方程为 2 ? ?1 680 5 ? 3402
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,

? x ? ?680 5, y ? 680 5,即P(?680 5,680 5),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2, 12
( B.12 ) C. 12 3 ① D.24

则△PF1F2 的面积为 A. 6 3

解析: a ? 1, b ? 12, c ? 13,由| PF |:| PF |? 3 : 2 1 2 又 | PF | ? | PF2 |? 2a ? 2, ② 1 由① 、② 解得 | PF1 |? 6, | PF2 |? 4.

教师:陈永福

? PF1 |2 ? | PF2 |2 ? 52, | F1 F2 |2 ? 52, |

? PF1 F2为 直角三角形,
? S ?PF1F2 ? 1 1 | PF1 | ? | PF2 |? ? 6 ? 4 ? 12. 故选 B。 2 2 x2 y2 ? ? 1 的左 2.如图 2 所示, F 为双曲线 C : 9 16 焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称,
则 P F ? P2 F ? P F ? P4 F ? P F ? P F 的值是( ) 1 3 5 6 A.9 B.16 C.18 D.27 [解析] P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? 6 ,选 C 1 6 2 5 3 4

3. P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距 a 2 b2

为 2c,则 ?PF F2 的内切圆的圆心的横坐标为( ) 1 (A) ? a (B) ? b (C) ? c (D) a ? b ? c

[解析]设 ?PF F2 的内切圆的圆心的横坐标为 x 0 , 1 由圆的切线性质知, PF2 ? PF ?| c ? x0 | ? | x0 ? (?c) |? 2a ? x0 ? ?a 1 题型 2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线 C 与双曲线

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 16 4

的方程. 【解题思路】运用方程思想,列关于 a, b, c 的方程组 [解析] 解法一:设双曲线方程为

y2 x2 - 2 =1.由题意易求 c=2 5 . a2 b (3 2 ) 2 4 - 2 =1. 2 a b
2

又双曲线过点(3 2 ,2) ,∴

又∵a +b =(2 5 ) ,∴a =12,b =8.

2

2

2

2

y2 x2 - =1. 12 8 y2 x2 解法二:设双曲线方程为 - =1, 16 ? k 4?k
故所求双曲线的方程为 将点(3 2 ,2)代入得 k=4,所以双曲线方程为

y2 x2 - =1. 12 8

教师:陈永福

【名师指引】求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e 及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用. 【新题导练】 4.已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程 为 ;
x 2

[解析]设双曲线方程为 x 2 ? 4y 2 ? ? , 当 ? ? 0 时,化为

x2

?
y2 ?

?

y2

?

? 1 ,? 2

5? ? 10? ? ? 20 , 4

4
当 ? ? 0 时,化为

?
4

?

y2 5? ? 1 ,? 2 ? ? 10? ? ? ?20 , ?? 4

综上,双曲线方程为

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1或 ? ?1 5 20 20 5

5.以抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为 ___________________. [解析] 抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为 (2 3,0) ,设双曲线方程为 x ? 3y ? ? ,
2 2

?

4? x2 y2 ? (2 3 ) 2 ? ? ? 9 ,双曲线方程为 ? ?1 3 9 3

6.已知点 M (?3, 0) , N (3, 0) ,B(1, 0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B ,过 M 、N 与圆 C 相 切的两直线相交于点 P ,则 P 点的轨迹方程为

y2 ? 1 ( x ? ?1) A. x ? 8
2

y2 ? 1 ( x ? 1) B. x ? 8
2

C. x ?
2

y2 ? 1 (x > 0) 8

D. x ?
2

y2 ? 1 ( x ? 1) 10

[解析] PM ? PN ? BM ? BN ? 2 , P 点的轨迹是以 M 、 N 为焦点,实轴长为 2 的双曲线 的右支,选 B

考点 2 双曲线的几何性质 题型 1 与渐近线有关的问题 1.焦点为(0,6) ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24 x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2

( )

B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选 B
教师:陈永福

基础巩固训练 2. 以椭圆 程是 (A) x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 (C) x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0 (B) x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 (D) x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线 ? ? 1 的渐近线相切的圆的方 169 144 9 16

[解析]椭圆与双曲线共焦点,焦点到渐近线的距离为 b,选 A

类型三:综合练习 1.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ? 2, 0 ? ,右顶点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围 解(1)设双曲线方程为

?

3, 0 .

?

??? ??? ? ?

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
2 2 2
2

由已知得 a ? 3, c ? 2 ,再由 a ? b ? 2 ,得 b ? 1

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 (2)将 y ? kx ? 2 代入 3

?1 ? 3k 2 ? 0 ? 由直线 l 与双曲线交与不同的两点得 ? ? ? ? 6 2k ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0

即 k2 ?

1 2 且 k ? 1. 3



设 A ? xA , yA ? , B( xA , yB ), ,则

x A ? yB ?

??? ??? ? ? 6 2 ?9 , x A yB ? ,由 OA ? OB ? 2 得 xA xB ? yA yB ? 2 , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxb ? 2) ? (k 2 ? 1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)
教师:陈永福

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 22k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1

于是

1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 ? 2 ,即 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1



由①+②得

1 ? k2 ?1 3

故的取值范围为 (?1, ?

3 ? 3 ? )?? ? 3 ,1? ? 3 ? ?

2.已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围; (2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的 值; 1 (3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? x 对称?若存在, 2 请求出 a 的值;若不存在,说明理由。
解: (1)由 ?

? y ? ax ? 1 ?3x ? y ? 1
2 2

消去 y ,得 (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 (1)

?3 ? a 2 ? 0 依题意 ? 即 ? 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 (2) ?? ? 0
2a ? x1 ? x 2 ? (3) ? ? 3 ? a2 (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 ? ? x x ? ? 2 ( 4) ? 1 2 3 ? a2 ?
∵ 以 AB 为直径的圆过原点 ∴ OA ? OB ∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

但 y1 y2 ? a 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 由(3) , x1 ? x 2 ? (4) ∴ (a ? 1) ?
2

2a ?2 , x1 x 2 ? 2 3?a 3 ? a2

?2 3 ? a2

?a?

2a 3 ? a2

?1? 0

解得 a ? ?1 且满足(2)

(3)假设存在实数 a ,使 A、B 关于 y ? ∴ a?

1 1 x 对称,则直线 y ? ax ? 1 与 y ? x 垂直 2 2

1 ? ?1 ,即 a ? ?2 2

直线 l 的方程为 y ? ?2 x ? 1

将 a ? ?2 代入(3)得 x1 ? x2 ? 4 ∴ AB 中点的横坐标为 2 纵坐标为 y ? ?2 ? 2 ? 1 ? ?3

教师:陈永福

但 AB 中点 (2,?3) 不在直线 y ?
x 3.(1)椭圆 C: a 2 ?
2

1 1 x 上,即不存在实数 a ,使 A、B 关于直线 y ? x 对称。 2 2

y2 b2

? 1 (a>b>0)上的点 A(1, 3 )到两焦点的距离之和为 4, 2

求椭圆的方程; (2)设 K 是(1)中椭圆上的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、kPN 时,那么 k PM ? k PN 是与点 P 位置无关的 定值。试对双曲线 解:(1) x4 ?
2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明。

y2 3

?1
2

(2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在 x4 ? (3)设 M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1 则
x 2 y o ? b 2 ( a12 ? 1)
2

y2 3

? 1上 ?

( x ? 2) 2 4

? y3 ? 1

2

x y12 ? b 2 ( a12 ? 1)

2

k PM ? k PN ?
为定值.

y0 ? y1 x0 ? x1

?

y0 ? y1 x0 ? x1

?

2 2 y0 ? y1 2 2 x0 ? x1

?

b2 (

x2 ? x2 0 1 a2

)

2 2 x0 ? x1

?

b2 a2

4.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点,并 2

且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。 错解 设符合题意的直线 l 存在,并设 P( x1 , x 2 ) 、 Q( x2 , y 2 )



? 2 y1 2 ? 1 (1) ? x1 ? ? 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 1 (2) ? 2 2 ?



1



? ( 2)



( x1 ? x2 )(x1 ? x2 )

?

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) (3) 2

因为 A 1) (1, 为线段 PQ 的中点,

所以 ?

?x1 ? x2 ? 2 (4) ? y1 ? y2 ? 2 (5)

将(4)、(5)代入(3)得

x1 ? x 2 ?

1 ( y1 ? y 2 ) 2

若 x1 ? x 2 ,则直线 l 的斜率

k?

y1 ? y 2 ?2 x1 ? x2

所以符合题设条件的直线 l 存在。

其方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、 (5)两式可推出(6)式,但 由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错
教师:陈永福

误的。

应在上述解题的基础上,再由 得 2x ? 4x ? 3 ? 0
2

? y ? 2x ? 1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ?

根据 ? ? ?8 ? 0 ,说明所求直线不存在。

5.已知两定点 F (? 2,0), F2 ( 2,0), 满足条件 PF 2 ? PF 1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E, 直 1 线y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 (Ⅰ)求k的取值范围; ( Ⅱ ) 如 果 AB ? 6

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? 3 ,且 曲 线 E 上 存 在 点 C , 使 O A O ? 求 ? B m, O C

m的值和?ABC的面积S 。
解: (Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 支, 且c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

?

?

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 ∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?

? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2

?2 ? ?2k ? ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
2 2

?2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2 2 2

教师:陈永福

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

整理后得 28k 4 ? 55k 2 ? 25 ? 0
2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4
∴k ? ?

但 ? 2 ? k ? ?1

5 2

5 x ? y ?1 ? 0 2 ??? ??? ? ? ??? ? 设 C ? x0 , y0 ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1 , y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mx0 , my0 ?
故直线 AB 的方程为 ∴ ? mx0 , my0 ? ? ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m

2k 2 2 2 ? ?4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 ?2? 2 ?8 又 x1 ? x2 ? 2 k ?1 k ?1 k ?1
? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? ? m m? ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

80 64 ? ? 1 得 m ? ?4 , m2 m2

但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 ,点 C 的坐标为 ? 5, 2

?
?

?
? 1 3

C 到 AB 的距离为

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 ? 2 ?
2

?

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 3 2 3

6.已知 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右支上一点 ?y p ? 0? , A、B 分别是椭圆 a 2 b2

x2 y2 ? ? 1 的长轴顶点,连接 AP 交椭圆于 D ,若 ?ACD 与 ?PCD 面积相等. a2 b2
(1)求直线 PD 的斜率和直线 CD 的倾斜角;
教师:陈永福

(2)当

a 的值为多少时,直线 CD 恰好过椭圆的右焦点? b

7.已知双曲线的焦点在 x 轴上,渐近线方程为 y ? ? 2 x ,焦距为 2 3 . (1)求双曲线的方程; (2)过点 A?2,1? 的直线 l 与双曲线交于 P、P2 ,求线段 P P2 的中点 P 的轨迹方程; 1 1 (3)过点 B ?1,1? 能否作直线 m ,使 m 与所给双曲线有两个交点 Q1、Q2 ,且点 B 是线段

Q1Q2 的中点,若 m 存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.

8.已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于
2 2

A, B 两点.
(I)若动点 M 满足 F M ? F A ? F B ? FO (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程; 1 1 1 1 (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由. 解:由条件知 F1 (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 0) 0) (I)解法一: (I)设 M ( x,y ) ,则 则 F M ? ( x ? 2,y) , F A ? ( x1 ? 2,y1 ) , 1 1

????? ???? ???? ????
??? ?

??? ?

?????

????

教师:陈永福

????? ???? ???? ???? ???? ???? F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), ? (2, ,由 F1M ? F1 A ? F1B ? FO 得 FO 0) 1 1
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2
2 2 2 2 又因为 A, B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程. 0) 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

CB (II)假设在 x 轴上存在定点 C ( m, ,使 CA? 为常数. 0)
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2

??? ??? ? ?

2

2

2

2

4k 2 4k 2 ? 2 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k ?1 k ?1
于是 CA? ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) CB
2

??? ??? ? ?

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2
? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 k 2 ?1 k 2 ?1

2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1

CB CB 因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? = ?1.
教师:陈永福

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

当 AB 与 x 轴垂直时,点 A, B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, 2) , ? 此时 CA? ? (1 2)? , 2) ? ?1. CB , (1 ?

??? ??? ? ?

CB 故在 x 轴上存在定点 C (1 0) ,使 CA? 为常数. ,

??? ??? ? ?

教师:陈永福

9.(2009 上海卷) (本题满分 16 分) 已知双曲线

C

的中心是原点,右焦点为

0 F ? 3,? ,一条渐近线

m: x+ 2 y ? 0 ,设过点

A (?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 。

v

(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值; (3) 证明:当 k ? 为 6.
(1)解 设双曲线 C 的方程为 x ? 2 y ? ? (? ? 0)
2 2

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离 2

教师:陈永福

?? ?
(2)解

?
2

? ,解得 ? ? 2 ,双曲线 C 的方程为 3

x2 ? y2 ? 1 2

直线 l : kx ? y ? 3 2k ? 0 ,直线 a : kx ? y ? 0

由题意,得

| 3 2k | 1? k
2

? 6 ,解得 k ? ?

2 2

(3)证明 方法一 设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2|k| 1? k 2

,当k ?

2 时, d ? 6 2

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,

? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 (3)方法二 假设双曲线 C 右支上存在点 Q( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? | kx0 ? y0 ? 3 2k ? 6 (1) ? 则? 1? k 2 ? 2 2 (2) ? x0 ? 2 y0 ? 2
2 由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k

设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 , 当k ?

2 时, t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 0 ; 2

t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 6 ?

2k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? k 2
2 2

?0
2

将 y0 ? kx0 ? t 代入(2)得 (1 ? 2k ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t ? 1) ? 0

?k ?

2 ,t ? 0 , 2

?1 ? 2k 2 ? 0, ? 4kt ? 0, ? 2(t 2 ? 1) ? 0

? 方程 (*) 不存在正根,即假设不成立,
教师:陈永福

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6

10. 2009 福建卷文) ( 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 a 2 b2

A 和上顶点 D, 椭圆 C 的右顶点为 B , S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 点 直线,AS , BS 与直线 l : x ?

10 3

分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ) 当线段 MN 的长度最小时, 在椭圆 C 上是否存在这样的点 T , 使得 ?TSB 的面积为 若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由

1 ? 5

解 方法一(I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2, 0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 从而 M (

10 16 k , ) 3 3

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ? 得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k
即 S(

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2, 0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

教师:陈永福

1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? 3 ? ? 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
?N( 10 1 ,? ) 3 3k

故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k

又 k ? 0,? MN |? | 当且仅当

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3

1 16k 1 ? ,即 k ? 时等号成立 4 3 3k 8 1 ? k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 3 4
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

1 4

此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ),? BS |? |

6 4 5 5

4 2 5
1 2 ,只须 T 到直线 BS 的距离等于 , 5 4

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TSB 的面积等于

所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0

2 的直线 l 上。 4

则由

3 5 |t ?2| 2 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 2 2 4 2

教师:陈永福


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