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向量的知识点总结和解三角形


平面向量复习基本知识点结论总结
一、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来 表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 。 (2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的; (3) 单位向量: 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ?

AB ); | AB | 例题 已知向量 = (?1,2),则与其共线的单位向量为__________. (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; (5)平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作:

a ∥ b ,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一 定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 两个向量平行包含两个向量
共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性 ! (因为有 0 );④三点

A、B、C 共线 ? AB、 AC 共线;
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 例题下列命题: (1) 若a ?b, 则a ?b。 (2) 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同, 终点相同。 (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是平行四边形,则

, ? c , , /c , AB ? DC 。 (5) 若 a ?b b 则a ?c 。 (6) 若 a / bb 则 a // c 。 其中正确的是_______
二、 向量的表示方法: (1) 几何表示法: 用带箭头的有向线段表示, 如 AB , 注意起点在前, 终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; (3)坐标表 示法。 三,平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内 的任一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。 例题(1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ( ) a +( ) b ; (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是( ) A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? )

1 3 2 4 (3)已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量

a, b 表示为_____
(4)已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的 值是___ 四、实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如 下: ?1? ? a ? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的方向 与 a 的方向相反,当 ? =0 时, ? a ? 0 ,注意: ? a ≠0。 五、平面向量的数量积: 1.两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a, OB ? b , ?AOB ? ?
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a , b 的夹角,当? =0
当? =

时, a , b 同向,当 ? = ? 时, a , b 反向,

? 时, a , b 垂直。 2

2. 平面向量的数量积: 如果两个非零向量 a ,b , 它们的夹角为 ? , 我们把数量 | a || b | cos?

叫做 a 与 b 的数量积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos ? 。规定:零向 量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。 例题(1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 (3)已知 a ? 2, b ? 5, a b ? ?3 ,则 a ? b 等于____; (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____ 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。 例题。已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______ 4. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。 5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ① a ? b ? a ?b ? 0; ②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与 b 反向,
2 2 2

? ??

? ??

? ??

1 2

1 2

? ,则 k 等于____; 4

?

?

? ?

?

?

b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要 a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角必要非充分条 非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 件;
③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ?
? ?

a?b a b
?

;④ | a ? b |?| a || b | 。
?

例题(1)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是 ____。 (2)已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若 值范围是_________ ( 3 ) 已 知
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 1 3 ,则 OF , FQ 夹角 ? 的取 ?S? 2 2

a?( c o x s

, x ? s bi n

) y, a

与 y ( cb o 之 s 间 , 有 s i关 n 系) 式 ,

k ? a

b ?3

k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹 ? a 其中 , k b ,①用 0 ? k

角 ? 的大小 六、向量的运算: 1.几何运算: ①向量加法: 利用 “平行四边形法则” 进行, 但 “平行四边形法则” 只适用于不共线的向量, 如此之外,向量加法还可利用“三角形法则” :设 AB ? a, BC ? b ,那么向量 AC 叫做 a 与

b 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC ;
②向量的减法:用“三角形法则” :设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA ,由减 向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 例题(1)化简:① AB ? BC ? CD ? ________; ② AB ? AD ? DC ? ____; ③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____. (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =_____ (3)若 O 是 ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ABC 的

形状为____; (4) 若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点,?ABC 所在平面内有一点 P , 满足 PA ? BP ? CP ? 0 , 设

| AP | ? ? ,则 ? 的值为___; | PD |

(5)若点 O 是 △ ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ ABC 的内角 C 为___; 2.坐标运算:设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: ①向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。 例题(1)已知点 A(2,3), B(5, 4) , C (7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC (? ? R) ,则当 ? =____时, 点 P 在第一、三象限的角平分线上 (2)已知 A(2,3), B(1,4), 且 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? , ) ,则 x ? y ?

2 2 (3) 已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) , 则合力 F ? F1 ? F2 ? F3
的终点坐标是 ②实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 ③若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x 2 ?x 1 y , 2 ?y 1 的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 (1)设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AC ?

1 2

? ?

? ,即一个向量的坐标等于表示这个向量

1 AB , AD ? 3 AB ,则 C、D 的坐标分别是__________ 3

④平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。 (1)已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0) 。 (1)若 x= 向量 a 、 c 夹角; (2)若 x∈ [?

3? ? 1 , ] ,函数 f ( x) ? ? a ? b 最大值为 ,求 ? 的值。 8 4 2
2

? ,求 3

⑤向量的模: | a |?

x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。

(1)已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a ? 3b | =_____。 ⑥两点间的距离:若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 | AB |?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? 。 七、向量的运算律: (1)交换律: a ? b ? b ? a , ? ? ? a ? ? ? ?? ? a , a ? b ? b ? a ;(2)结
2 2

? ? ? ? ? ? ? 分配律: ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b , ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c 。
? ? ? ? ? ? ?
?

合律:a ? b ? c ? a ? b ? c, a ? b ? c ? a ? b ? c , ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ; ( 3)

?

?

?

(1) 下列命题中: ① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ; ② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ; ③ ( a ? b ) ?| a |
2
? ? ?
? ? ?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

2

?2 | a | ? | b | ? | b |2 ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;⑥
a a 八、向量平行(共线)的充要条件: a // b ? a ? ? b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 =0。
(1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同; (2)已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______;

a ?a ; ⑦

2

2

a ?b
2

?

b

; ⑧ (a ? b)2 ? a ? b ; ⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。 其中正确的是______

2

2

2

2

(3)设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线。 九、向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 (1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ? ; (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则点 B 的坐标是 ________; (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ 。 十、向量中一些常用的结论: 1. 在 ?ABC 中 , ① 若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 则 其 重 心 的 坐 标 为

? x ? x ? x y ? y2 ? y3 ? G? 1 2 3 , 1 ?。 3 3 ? ?
如若⊿ABC 的三边的中点分别为 (2, 1) 、 (-3, 4) (-1, 、 -1) , 则⊿ABC 的重心的坐标为_______; ② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA ? PB? PC ? 0 ? P为

3 ?ABC 的重心; ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ④向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0)所在直线过 ?ABC 的内心 ( 是 ?BAC 的角平分线所在直 | AB | | AC |
线); 2. 向量 PA 、 PB、 PC 中三终点 A、B、C 共线 ? 存在实数 ?、? 使得 PA ? ? PB ? ? PC 且 ? ? ? ?1. 如 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) , 若点 C 满足 OC ?
? ??

?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______

? ??

? ??

高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习
一、知识点总结 a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . 1.正弦定理: sin A sin B sin C
推论:①定理:若α 、β >0,且α +β < ? ,则α ≤β ? sin ? ? sin ? ,等号当且当 α =β 时成立。

②判断三角解时,可以利用如下原理: sinA > sinB a > b
cos A ? cos B ? A ? B ( y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减)

? A > B

?

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 2.余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . ?cos B ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、 已知两边和他们的夹角, 求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5. 三角形中的基本关系: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin
已知条件 一边和两角 (如 a、B、C) 两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c)

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2
一般解法 由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时 有一解。

定理应用 正弦定理

余弦定理

由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。

余弦定理

由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解。

解三角形[基础训练 A 组]
一、选择题
1.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于(
0 0



A. 1

B. ? 1

C. 2 3

D. ? 2 3

2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.



1 tan A


3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 600 ,则底边长为( A. 2



B.

3 2

C. 3

D. 2 3 ) D. 300 或1500 )

5.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 300 或600

B. 450 或600 C. 1200 或600

6.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90 0 B. 1200 C. 1350 D. 1500

二、填空题
1.在 Rt △ABC 中, C ? 900 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________。 3.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? _________。
0 0

4.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。 5.在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________。

三、解答题
1. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么?

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a 3.在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 。
2.在△ABC 中,求证: 4.在△ABC 中,设 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值。

解三角形[综合训练 B 组] 一、选择题
1.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 1: 3 : 2 ) D. 2 : 3 :1

2.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( D 不能确定 3.在△ABC 中,若 A ? 2 B ,则 a 等于( D. 2b cos B

)A 大于零 B 小于零 C 等于零

)A. 2b sin A B. 2b cos A C. 2b sin B )

4.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 )

5.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( D. 1500 6. 在△ABC 中, 若 a ? 7, b ? 8, cos C ? D. ?

A. 90 0 B. 600 C. 1350

13 , 则最大角的余弦是 ( 14

? ) A.

1 1 1 ? ? B. C. 5 6 7

1 8 A? B a ?b ? ,则△ABC 的形状是( 2 a?b


7.在△ABC 中,若 tan

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

二、填空题
1.若在△ABC 中, ?A ? 60 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则
0

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

2.若 A, B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B _____ 1 (填>或<) 。 3.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tanC ? _________。 4.在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是_________。

5.在△ABC 中,若 a ?

3, b ? 2 , c ?

6? 2 则A ? _________。 2

6.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 三、解答题 1. 在△ABC 中, A ? 120 , c ? b, a ? 21, S
0 ABC

? 3 ,求 b, c 。

2. 在锐角△ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? 1 。

A B C cos cos 。 2 2 2 a b 0 ? ?1。 4. 在△ABC 中,若 A ? B ? 120 ,则求证: b?c a?c A 3b 2 C ? c cos 2 ? 5.在△ABC 中,若 a cos ,则求证: a ? c ? 2b 2 2 2
3. 在△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

解三角形[提高训练 C 组] 一、选择题
1. A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( A. ( 2 ,2) B. (? 2 , 2 ) C. (?1, 2 ] ) D. [? 2 , 2 ]

2.在△ABC 中,若 C ? 900 , 则三边的比 A. 2 cos

A? B 2

a?b 等于( ) c A? B A? B B. 2 cos C. 2 sin 2 2


D. 2 sin

A? B 2

3.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3

4.在△ABC 中, ?C ? 900 , 0 0 ? A ? 450 ,则下列各式中正确的是(



A. sin A ? cos A

B. sin B ? cos A

C. sin A ? cos B

D. sin B ? cos B


5.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? ( A. 90 0 B. 600 C. 1200 D. 1500

6.在△ABC 中,若

tan A a 2 ? ,则△ABC 的形状是( tan B b 2
C.不能确定

) D.等腰三角形

A.直角三角形 B.等腰或直角三角形

二、填空题
1.在△ABC 中,若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) 2.在△ABC 中,若 cos A ? cos B ? cos C ? 1, 则△ABC 的形状是______________。
2 2 2

3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C, y ? sin A ? sin B, z ? cos A ? cos B, 则 x, y , z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中,若 a ? c ? 2b ,则 cos A ? cosC ? cos A cosC ?

1 sin A sinC ? ______。 3

5.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tanC, 则 B 的取值范围是_______________。

6.在△ABC 中,若 b 2 ? ac ,则 cos(A ? C ) ? cos B ? cos2B 的值是_________。

三、解答题
1.在△ABC 中,若 (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ,请判断三角形的形状。

2. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B, 求△ABC 的面积的最大值。 3. 已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
2

,求 a : b : c

4.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , AB 边上的高 为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长


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