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2014-2015学年云南省红河州蒙自一中高一(下)开学数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年云南省红河州蒙自一中高一(下)开学数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知集合 A={1,2,3}.则满足 A∪B=A 的非空集合 B 的个数是( A. 1 B. 2 C. 7 2.直线 x﹣y=0 的倾斜角为( A. 30° B. 60°
3

) D. 8

/>
) C. 120° ) C. (1,2) ) C. y= D. y=x|x| D. 150°

3.函数 f(x)=x ﹣2 的零点所在的区间是( A. (﹣2,0) B. (0,1) 4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y=x+1 B. y=﹣x
3

D. (2,3)

5.已知函数

,则

的值是(



A.

B. 9

C. ﹣9

D. ﹣

6.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π,则球的表面积为( ) A. B. 8π C. D . 4π 7. 设 m, n 是两条不同的直线, α、 β、 γ 是三个不同的平面, 给出下列命题, 正确的是 ( ) A. 若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β C. 若 α⊥β,α⊥γ,则 β⊥γ D. 若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β 8.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位 cm) ,则该几何体的表面积为( )

A. 12cm

2

B. 15πcm

2

C. 24πcm

2

D. 36πcm

2

9.过点 M(2,1)的直线与 X 轴,Y 轴分别交于 P,Q 两点,且|MP|=|MQ|,则 L 的方程 是( ) A. x﹣2y+3=0 B. 2x﹣y﹣3=0 C. 2x+y﹣5=0 D. x+2y﹣4=0

10.设 a=0.7 ,b=7 ,c=log60.7,则( A. a>b>c B. b>a>c

6

0.6

) C. c>b>a D. b>c>a

11.已知在四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为( ) A. 90° B. 45° C. 60° D. 30° 12.已知 x0 是函数 f(x)=2 +2011x﹣2012 的一个零点.若 x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) , 则( ) A. f(x1)<0,f(x2)<0 B. f(x1)>0,f(x2)>0 C. f (x1)>0,f(x2)<0 D. f(x1)<0,f(x2)>0
x

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 2 13.如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范 围是 . 14.函数 f(x)= + 的定义域为 .

15.在斜二测投影下,四边形 ABCD 是下底角为 45°的等腰梯形,其下底长为 5,一腰长为 ,则原四边形的面积是 . 16.已知下列四个命题: ①函数 f(x)=2 满足:对任意 x1、x2∈R 且 x1≠x2 都有 f( ②函数 f(x)=log2(x+ ) ,g(x)=1+
x

)< [f(x1)+f(x2)];

不都是奇函数;

③若函数 f(x)满足 f(x﹣1)=﹣f(x+1) ,且 f(1)=2,则 f(7)=﹣2; ④设 x1、x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0 且 a≠1)的两根,则 x1x2=1, 其中正确命题的序号是 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程.) 17.设 A={x|2x +ax+2=0},B={x|x +3x+2a=0},A∩B={2}. (1)求 a 的值及集合 A、B; (2)设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB)的所有子集. 18.已知直线 l 的方程为 3x+4y﹣12=0,求直线 l'的方程,使得: (1)l'与 l 平行,且过点(﹣1,3) ; (2)l'与 l 垂直,且 l'与两轴围成的三角形面积为 4.
2 2

19.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°, E 为对角线 BD 中点.现将△ ABD 沿 BD 折起到△ PBD 的位置,使平面 PBD⊥平面 BCD, 如图 2.

(Ⅰ)若点 F 为 BC 中点,证明:EF∥平面 PCD; (Ⅱ)证明:平面 PBC⊥平面 PCD. 20.设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≤﹣1 时,f(x)=x+b,且 f(x)的图象经过点 (﹣2,0) ,又在 y=f(x)的图象中,有一部分是顶点为(0,2) ,且过(﹣1,1)的一段 抛物线. (1)试求出 f(x)的表达式; (2)求出 f(x)值域. 21.如图,有一块半径为 2a(a>0)的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状, 它的下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上.记 AD 长为 x,梯形周长为 y. (Ⅰ)求 y 关于 x 的函数解析式,并求出定义域; (Ⅱ)由于钢板有特殊需要,要求 CD 长不小于 ,在此条件下,求梯形周长 y 的最大值.

22.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>0,f(1) =2. (1)求 f(0) 、f(3)的值; (2)判定 f(x)的单调性; x x+1 (3)若 f(4 ﹣a)+f(6+2 )>6 对任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年云南省红河州蒙自一中高一(下)开学数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知集合 A={1,2,3}.则满足 A∪B=A 的非空集合 B 的个数是( A. 1 B. 2 C. 7

) D. 8

考点:并集及其运算. 专题:集合. 分析:由已知集合 A 求出集合 A 的所有子集,然后根据题意求出满足 A∪B=A 的非空集合 B 的个数. 解答: 解:由集合 A={1,2,3}, 则集合 A 的所有子集为:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. ∵A∪B=A 的非空集合 B 的个数, ∴?不合题意应舍去. 故满足 A∪B=A 的非空集合 B 的个数是 7 个. 故选:C. 点评:本题考查了并集及其运算,考查了集合子集的求法,是基础题. 2.直线 x﹣y=0 的倾斜角为( A. 30° B. 60° ) C. 120° D. 150°

考点:直线的倾斜角. 专题:直线与圆. 分析:利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 解答: 解:设直线的倾斜角为 θ,θ∈[0,π) . ∴tanθ= , ∴θ=60°, 故选:B. 点评:本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题. 3.函数 f(x)=x ﹣2 的零点所在的区间是( A. (﹣2,0) B. (0,1)
3

) C. (1,2)

D. (2,3)

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:据要求函数的零点,使得函数等于 0,解出自变量 x 的值,在四个选项中找出零点所 在的区间,得到结果. 3 解答: 解:要求 y=x ﹣2 的零点, 3 只要使得 x ﹣2=0,

∴x=



(1,2)

∴函数的零点位于(1,2) 故选:C. 点评:本题考查函数的零点的判定定理,本题解题的关键是使得函数等于 0,解出结果,因 为所给的函数比较简单,能够直接做出结果. 4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y=x+1 B. y=﹣x
3

) C. y= D. y=x|x|

考点:函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据奇函数的定义,导数符号和函数单调性的关系,反比例函数的单调性,二次函数 的单调性即可找出正确选项. 解答: 解:A.该函数不是奇函数,所以该选项错误; B.y′=﹣3x ≤0,所以该函数是减函数,所以该选项错误; C.该函数是反比例函数,该函数在(﹣∞,0) , (0,+∞)单调递增,所以在定义域{x|x=0} 上不具有单调性,所以该选项错误; D.容易判断该函数是奇函数,
2 2

,根据二次函数的单调性 x 在[0,+∞)是

2

增函数,﹣x 在(﹣∞,0)上是增函数,所以函数 y 在 R 上是增函数,所以该选项正确. 故选 D. 点评:考查奇函数的定义,y=﹣x 的单调性,反比例函数的单调性,分段函数的单调性, 以及二次函数的单调性.
3

5.已知函数

,则

的值是(



A.

B. 9

C. ﹣9

D. ﹣

考点:函数的值. 分析:由已知条件利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵ ,

∴f( )= ∴

=﹣2, =3 = .
﹣2

故答案为: .

故选:A. 点评:本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 6.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π,则球的表面积为( ) A. B. 8π C. D . 4π 考点:球的体积和表面积;球面距离及相关计算. 专题:计算题. 分析:求出截面圆的半径,利用勾股定理求球的半径,然后求出球的表面积. 2 解答: 解:球的截面圆的半径为:π=πr ,r=1 球的半径为:R= 所以球的表面积:4πR =4π×
2

=8π

故选 B. 点评:本题考查球的体积和表面积,考查计算能力,逻辑思维能力,是基础题. 7. 设 m, n 是两条不同的直线, α、 β、 γ 是三个不同的平面, 给出下列命题, 正确的是 ( ) A. 若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β C. 若 α⊥β,α⊥γ,则 β⊥γ D. 若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据线面平行的性质定理,线面垂直的第二判定定理,面面垂直的判定定理,可判断 B 中结论正确,而由空间点线面关系的几何特征,可判断其它结论均不一定成立. 解答: 解:若 m?β,α⊥β,则 m 与 α 的关系不确定,故 A 错误; 若 m∥α,则存在直线 n?α,使 m∥n,又由 m⊥β,可得 n⊥β,进而由面面垂直的判定定理 得到 α⊥β,故 B 正确; 若 α⊥β,α⊥γ,则 β 与 γ 关系不确定,故 C 错误; 若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α 与 β 可能平行,也可能相交(此时交线与 m,n 均平行) , 故 D 错误; 故选:B 点评:本题考查平面的基本性质和推论,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化. 8.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位 cm) ,则该几何体的表面积为( )

A. 12cm

2

B. 15πcm

2

C. 24πcm

2

D. 36πcm

2

考点:由三视图求面积、体积.

专题:计算题. 分析:由该几何体的三视图,我们易得到该几何体为圆锥,且该圆锥的底面直径为 6,圆锥 的母线长为 5,由已知中的数据我们易求出底面积和侧面积,进而得到该几何体的表面积. 解答: 解:由几何体的三视图,我们可得: 底面直径为 6,底面半径为 3 圆锥的母线长为 5, 故几何体的表面积 S=S 底面积+S 侧面积=3 ?π+3?π?5=24π 故选:C 点评:本题考查的知识点是由三视图求面积, 由三视图中的数据求出底面半径, 进而求出底 面面积和侧面积是解答本题的关键. 9.过点 M(2,1)的直线与 X 轴,Y 轴分别交于 P,Q 两点,且|MP|=|MQ|,则 L 的方程 是( ) A. x﹣2y+3=0 B. 2x﹣y﹣3=0 C. 2x+y﹣5=0 D. x+2y﹣4=0 考点:直线的截距式方程. 专题:计算题. 分析:由题意知 M 点为 PQ 的中点,进而得出点 P 和 Q 的坐标,然后根据截距式求出方程 即可. 解答: 解:设 P(a,0) ,Q(0,b) ∵|MP|=|MQ|,M=(2,1) ∴M 点为 PQ 的中点, 则 P(4,0) ,Q(0,2) ∴ 即 x+2y﹣4=0
2

故选:D. 点评:本题主要考查用截距式求直线方程,属于基础题. 10.设 a=0.7 ,b=7 ,c=log60.7,则( A. a>b>c B. b>a>c
6 0.6

) C. c>b>a D. b>c>a

考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小. 0.6 0 6 0 解答: 解:∵7 >7 =1,0<0.7 <0.7 =1,log60.7<log61=0, ∴b>a>c. 故选:B 点评:本题考查了指数函数, 对数函数的单调性, 熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是 解题的关键. 11.已知在四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为( ) A. 90° B. 45° C. 60° D. 30°

考点:异面直线及其所成的角. 专题:计算题. 分析:设 G 为 AD 的中点,连接 GF,GE,由三角形中位线定理可得 GF∥AB,GE∥CD, 则∠GFE 即为 EF 与 CD 所成的角,结合 AB=2,CD=4,EF⊥AB,在△ GEF 中,利用三角 函数即可得到答案. 解答: 解:设 G 为 AD 的中点,连接 GF,GE, 则 GF,GE 分别为△ ABD,△ ACD 的中线. ∴GF∥AB,且 GF= AB=1,GE∥CD,且 GE= CD=2, 则 EF 与 CD 所成角的度数等于 EF 与 GE 所成角的度数 又 EF⊥AB,GF∥AB, ∴EF⊥GF 则△ GEF 为直角三角形,GF=1,GE=2,∠GFE=90° ∴在直角△ GEF 中,sin∠GEF= ∴∠GEF=30°. 故选 D.

点评:本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中利用三角形中位线定理,得到 GF∥AB,GE∥CD,进而得到∠GFE 即为 EF 与 CD 所成的角,是解答本题的关键 12.已知 x0 是函数 f(x)=2 +2011x﹣2012 的一个零点.若 x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) , 则( ) A. f(x1)<0,f(x2)<0 B. f(x1)>0,f(x2)>0 C. f (x1)>0,f(x2)<0 D. f(x1)<0,f(x2)>0 考点:函数的零点. 专题:函数的性质及应用. x x 分析:利用 x0 是函数 f(x)=2 +2011x﹣2012 的一个零点,由 f(x)=2 +2011x﹣2012=0, x x 得到 2 =﹣2011x+2012,做出函数 y=2 和 y=﹣2011x+2012 的图象,利用图象进行判断. x x 解答: 解:由 f(x)=2 +2011x﹣2012=0,得到 2 =﹣2011x+2012, x 设 y=f(x)=2 和 y=g(x)=﹣2011x+2012,作出两个函数的图象如图: 由图象可知当 x∈(0,x0)时,g(x)>f(x) , 当 x∈(x0,+∞)时 g(x)<f(x) , 所以 f(x1)<0,f(x2)>0. 故选 D.
x

点评:本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 2 13.如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范 围是 a≤﹣3 . 考点:函数单调性的性质. 专题:计算题;数形结合. 2 分析:求出函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的对称轴 x=1﹣a,令 1﹣a≥4,即可解出 a 的取值 范围. 解答: 解:函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的对称轴 x=﹣
2

=1﹣a,

又函数在区间(﹣∞,4]上是减函数,可得 1﹣a≥4,得 a≤﹣3. 故答案为 a≤﹣3 点评:考查二次函数图象的性质, 二次项系数为正时, 对称轴左边为减函数, 右边为增函数, 本题主要是训练二次函数的性质. 14.函数 f(x)= + 的定义域为 [﹣1,2)U(2,+∞) .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:计算题. 分析:根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解,两者求解的结果取交集. 解答: 解:根据题意: 解得:x≥﹣1 且 x≠2 ∴定义域是:[﹣1,2)∪(2,+∞) 故答案为:[﹣1,2)∪(2,+∞) 点评:本题主要考查定义域的求法,这里主要考查了分式函数和根式函数两类. 15.在斜二测投影下,四边形 ABCD 是下底角为 45°的等腰梯形,其下底长为 5,一腰长为 ,则原四边形的面积是 8 .

考点:斜二测法画直观图. 专题:计算题;作图题. 分析:根据斜二测画法的规则还原出原图性,应为直角梯形,利用梯形的面积公式求解即 可.也可利用直观图和原图面积的联系求解. 解答: 解:作 DE⊥AB 于 E,CF⊥AB 于 F,则 AE=BF=ADcos45°=1, ∴CD=EF=3.将原图复原(如图) , 则原四边形应为直角梯形,∠A=90°,AB=5,CD=3,AD=2 , ∴S 四边形 ABCD= ?(5+3)?2 故答案为:8 . =8 .

点评:本题考查斜二测画法的理解和应用,考查作图能力. 16.已知下列四个命题: ①函数 f(x)=2 满足:对任意 x1、x2∈R 且 x1≠x2 都有 f( ②函数 f(x)=log2(x+ ) ,g(x)=1+
x

)< [f(x1)+f(x2)];

不都是奇函数;

③若函数 f(x)满足 f(x﹣1)=﹣f(x+1) ,且 f(1)=2,则 f(7)=﹣2; ④设 x1、x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0 且 a≠1)的两根,则 x1x2=1, 其中正确命题的序号是 ①③④ . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;简易逻辑. 分析:对四个命题分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:①函数 f(x)=2 是凹函数,对任意 x1、x2∈R 且 x1≠x2 都有 f( (x1)+f(x2)]成立,故正确; ②f(x)+f(﹣x)=log2(x+ )+log2(﹣x+ )=0,∴f(x)=log2(x+ )
x

)< [f

是奇函数,故②不正确; ③若函数 f(x)满足 f(x﹣1)=﹣f(x+1) ,则 f(x+2)=﹣f(x) ,f(x+4)=f(x) ,∴f (7)=f(﹣1) ,

∵f(﹣1)=﹣f(1)且 f(1)=2,∴f(7)=﹣2,正确; ④设 x1、x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0 且 a≠1)的两根,则 x1x2=1, ﹣k k k ﹣k 0 ∵|logax|=k(a>0,a≠1) ,∴logax=±k,∴x1=a ,x2=a ,则 x1x2=a ?a =a =1,∴命题正确; 所以,正确命题的序号是:①③④ 故答案为:①③④. 点评:本题通过命题真假的判定, 考查了函数单调的性质与图象的变换以及方程的知识, 是 容易出错的题目. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程.) 2 2 17.设 A={x|2x +ax+2=0},B={x|x +3x+2a=0},A∩B={2}. (1)求 a 的值及集合 A、B; (2)设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB)的所有子集. 考点:交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算;补集及其运算. 专题:计算题. 2 分析: (1)根据题意,A∩B={2};有 2∈A,即 2 是 2x +ax+2=0 的根,代入可得 a=﹣5, 2 2 进而分别代入并解 2x +ax+2=0 与 x +3x+2a=0 可得 A、B; (2)根据题意,U=A∪B,由(1)可得 A、B;可得全集 U,进而可得 CUA、CUB,由并 集的定义可得(CUA)∪(CUB) ;进而由子集的概念可得其所有子集. 解答: 解: (1)∵A∩B={2}, ∴2∈A, ∴8+2a+2=0, ∴a=﹣5 ; B={2,﹣5} (2)U=A∪B= ∴CUA={﹣5},CUB= ∴(CUA)∪(CUB)= ∴(CUA)∪(CUB)的所有子集为:?,{﹣5},{ },{﹣5, }. 点评:本题考查交并补的混合运算,注意(2)问要求写出(CUA)∪(CUB)的所有子集, 要按照子集的定义,按一定的顺序,做到不重不漏. 18.已知直线 l 的方程为 3x+4y﹣12=0,求直线 l'的方程,使得: (1)l'与 l 平行,且过点(﹣1,3) ; (2)l'与 l 垂直,且 l'与两轴围成的三角形面积为 4. 考点:直线的点斜式方程. 专题:计算题. 分析: (1)根据平行直线的斜率相等,先求出斜率,点斜式求得直线方程. ,

(2)根据垂直关系求出直线的斜率,得到它在坐标轴上的截距,根据与两坐标轴围成的三 角形面积为 4 求出截距,即得直线方程. 解答: 解: (1)∵直线 l 的方程为 3x+4y﹣12=0 ∴直线 l 斜率为﹣ ∵l'与 l 平行 ∴直线 l'斜率为﹣ ∴直线 l'的方程为 y﹣3=﹣ (x+1)即 3x+4y﹣9=0 (2)∵l′⊥l,∴kl′= . 设 l′在 x 轴上截距为 b,则 l′在 y 轴上截距为﹣ b, 由题意可知,S= |b|?|﹣ b|=4,∴b=± ∴直线 l′:y= x+ ,或 y= x﹣ . .

点评:本题考查两直线平行和垂直的性质, 两平行直线的斜率相等, 两垂直直线的斜率之积 等于﹣1,属于基础题. 19.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°, E 为对角线 BD 中点.现将△ ABD 沿 BD 折起到△ PBD 的位置,使平面 PBD⊥平面 BCD, 如图 2.

(Ⅰ)若点 F 为 BC 中点,证明:EF∥平面 PCD; (Ⅱ)证明:平面 PBC⊥平面 PCD. 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由三角形中位线定理得 EF∥CD,由此能证明 EF∥平面 PCD. (Ⅱ) 由已知条件推导出平面 PBD⊥平面 BCD,由此得到 CD⊥PB,从而推导出 PB⊥平 面 PCD,由此能证明平面 PBC⊥平面 PCD. 解答: 解: (Ⅰ)在△ BCD 中,点 E、F 分别为 BD、BC 的中点, ∴EF∥CD…(2 分) 又 EF?平面 PCDCD?平面 PCD ∴EF∥平面 PCD.…(4 分) (Ⅱ) 在直角梯形 ABCD 中, ∵AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°, ∴CD⊥BD,…(6 分)

∵平面 PBD⊥平面 BCD, 且平面 PBD∩平面 BCD=BD,CD?平面 BCD, ∴CD⊥平面 PBD…(7 分) ∴CD⊥PB…(9 分) ∵PB⊥PD PD∩CD=D ∴PB⊥平面 PCD…(10 分) 又 PB?平面 PBC ∴平面 PBC⊥平面 PCD.…(12 分) 点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,是中档题,解题时要 注意空间思维能力的培养. 20.设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≤﹣1 时,f(x)=x+b,且 f(x)的图象经过点 (﹣2,0) ,又在 y=f(x)的图象中,有一部分是顶点为(0,2) ,且过(﹣1,1)的一段 抛物线. (1)试求出 f(x)的表达式; (2)求出 f(x)值域. 考点:函数奇偶性的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知,x≤﹣1 时,用点斜式求得,x≥1 时用偶函数求得,﹣1<x<1 时, 用待定系数法求得函数的解析式即可; (2)分别求出 f(x)各段的值域,最后求并集即可. 解答: 解: (1)经过点(﹣2,0) ,斜率为 1 的射线:y=x+2, (x≤﹣1) 抛物线过(﹣1,1)和(0,2) 由于 f(x)为定义在 R 上的偶函数,令 y=ax +c, 则有 a+c=1,c=2, 2 得 y=﹣x +2, (﹣1<x<1) 又函数在 R 上是偶函数 所以 x≥1 时,射线经过(2,0)且斜率为﹣1, 即 y=﹣x+2, (x≥1)
2

所以 f(x)=



(2)当 x≤﹣1 时,f(x)=x+2∈(﹣∞,1], 当﹣1<x<1 时,f(x)=2﹣x ∈(1,2], 当 x≥1 时,f(x)=2﹣x∈(﹣∞,1], 综上可得,f(x)∈(﹣∞,2] 则 f(x)的值域为: (﹣∞,2].
2

点评:本题主要考查分段函数及函数的图象、函数奇偶性的应用、函数的值域,待定系数法 等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于中档题. 21.如图,有一块半径为 2a(a>0)的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状, 它的下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上.记 AD 长为 x,梯形周长为 y. (Ⅰ)求 y 关于 x 的函数解析式,并求出定义域; (Ⅱ)由于钢板有特殊需要,要求 CD 长不小于 ,在此条件下,求梯形周长 y 的最大值.

考点:基本不等式在最值问题中的应用. 专题:应用题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)作 DE⊥AB,由直角三角形的射影定理,可得 AE 的长,进而得到 CD,令 CD>0,可得 x 的范围,再由 y=AB+BC+CD+DA,可得函数的解析式; (Ⅱ)运用二次函数的配方,求得对称轴,由 CD 长不小于 得 y 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)如图,作 DE⊥AB, 由已知得: 又 AD=x,AB=4a,∴ ∴ ∴ 又 AD=x>0, ∴0<x<2 a, , , , , , , ,可得 0<x≤a,由单调性可

所求函数为: (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 又 ∴0<x≤a, 又 区间(0,a]为增区间, ∴x=a 时, . , ,

; ,

点评:本题考查二次函数的应用题,主要考查函数的解析式和最值的求法,属于中档题. 22.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>0,f(1) =2. (1)求 f(0) 、f(3)的值; (2)判定 f(x)的单调性; (3)若 f(4 ﹣a)+f(6+2
x x+1

)>6 对任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点:抽象函数及其应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)令 x=y=0,可得 f(0)=0,再令 x=y=1,可得 f(2)=4,再 x=2,y=1,则有 f(3)=6, (2)用定义判定 f(x)的单调性; x x x x (3) 利用 ( f x) 的单调性, 原不等式转化为 4 +2×2 +3>a 恒成立, 构造函数 g (x) =4 +2×2 +3= x 2 (2 +1) +2,求出函数最值即可. 解答: 解: (1)∵对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y) , 令 x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0) , ∴f(0)=0, 令 x=y=1,则有 f(2)=f(1)+f(1) , ∴f(2)=4, 令 x=2,y=1,则有 f(3)=f(2)+f(1) , ∴f(3)=6; (2)任取 x1,x2∈R,设 x1<x2,∴x2﹣x1>0,又 x>0 时,f(x)>0, 则有 f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)>0, ∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)是 R 上的增函数; x x+1 (3)f(4 ﹣a)+f(6+2 )>6 恒成立, x x+1 由已知及(1)即为 f(4 ﹣a)+f(6+2 )>f(3)恒成立

∵f(x)是 R 上的增函数, ∴4 ﹣a+6+2 >3 恒成立,即 4 +2×2 +3>a 恒成立, x x x 2 令 g(x)=4 +2×2 +3=(2 +1) +2 x ∵2 >0, ∴g(x)>3, ∴a≤3, 即实数 a 的取值范围为(﹣∞,3] 点评:本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定以及应用问题,是中档题.
x x+1 x x


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