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高一数学人教A版必修2课件:4.2.3 直线与圆的方程的应用


4.2.3 直线与圆的方程的应用

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1.掌握直线方程?圆的方程,进一步提高知识运用能力. 2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.

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在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能 力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方

法 解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:

第一步:______________________,用坐标和方程表示问题 建立适当的直角坐标系
中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题. 代数运算 第二步:通过__________,解决代数问题. 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 数形结合思想 注意:______________方法的灵活运用.

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1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”) 第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原 点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适

当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将
几何问题转化为代数问题.

第二步:用代数运算解决代数问题.
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 2.要灵活运用数形结合的思想方法. 对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.

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题型一 数形结合思想方法的应用 例1:(1)方程 y ? 9 ? x 2 (2)若方程
9 ? x2 ? x ? b

表示的曲线是什么? 有解,求实数b的取值范围.

解:(1) y ? 9 ? x 2 ∴

等价于x2+y2=9(y≥0),

y ? 9 ? x 2 表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x

轴上方的半圆(包括两个端点).

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(2)方程 9 ? x2 ? x ? b 有解,即半圆 y ? 9 ? x 2 与直线 y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3≤b≤3

2时,方程

9 ? x2 ? x ? b 有解.

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变式训练1:若直线

x y ? ?1 a b

与圆x2+y2=1有公共点,则( A.a2+b2≤1
1 1 C. 2 ? 2 ≤1 a b

) B.a2+b2≥1
1 1 D. 2 ? 2 ≥1 a b

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答案:D

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题型二 用坐标法求圆的方程
? 例2:如下图所示,点M是弓形弧 OMA 的中点,弦|OA|=8,弓 形的高为2 m,求此弧所在圆的方程.

分析:只需要求圆心坐标及半径即可.

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解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r, 那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2. 由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上

解得:b=-3,r2=25.
所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

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规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角 坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建 立的坐标系不同,所求得的方程不同.

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变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点 P分别作圆O1,圆O2的切线PM?PN(M,N分别为切点),使得
PM ? 2PN

,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.

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解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直 角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).

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由已知

PM ? 2PN , 得PM2=2PN2,

因为圆的半径为1,所以: PO21-1=2(PO22-1), 设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33. 故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

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题型三 与圆有关的综合问题 例3:已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△ABO内 切圆上一点,求以|PA|?|PB|?|PO|为直径的三个圆面积之 和的最大值与最小值. 分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求 |PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.

由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从
△ABO内切圆的方程入手.

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解:如下图,建立直角坐标系,使A?B?O三点的坐标分别为 A(4,0)?B(0,3)?O(0,0).

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易求得△ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1). 故内切圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=1.

化简为x2+y2-2x-2y+1=0,①
设P(x,y),则

|PA|2+|PB|2+|PO|2
=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2 =3x2+3y2-8x-6y+25.②

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由①可知x2+y2-2y=2x-1, 将其代入②有 |PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25 =-2x+22. ∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18, 三个圆面积之和为
| PA | 2 | PB | 2 | PO | 2 ? ?( ) ??( ) ??( ) ? (| PA |2 ? | PB |2 ? 2 2 2 4 | PO |2 ). 9? 11? . ∴所求面积的最大值为 最小值为 , 2 2

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规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问 题,将几何问题转化为代数问题.

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变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的 台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是 半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40

km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

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解:如图所示:

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以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐 标系,其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所 对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置
x y 坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为 ? ? 1, 7 4

即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离
28 d? ? ? 3, 2 2 65 4 ?7 | 28 |



r=3,∴d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.

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易错探究 例4:已知圆x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求两圆的 位置关系.

得4x-3y-4=0,即

4x ? 4 y? . 3

代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.
∵Δ=100-4×25=0, ∴两圆只有一个公共点,故两圆相切.

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错因分析:两圆方程联立,Δ=0说明两圆只有一个公共点,此时 两圆有可能外切,也有可能内切. 正解:把两圆的方程分别配方,化为标准方程为 (x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16, ∴两圆心坐标C1(-1,-1),C2(3,-4), 半径r1=1,r2=4.

∴圆心距|C1C2|=

=5=r1+r2.∴两圆相外切. (3 ? 1) 2 ? (?4 ? 1) 2

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基础强化 1.已知直线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则三条边 长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( A.是锐角三角形 C.是钝角三角形 解析:直线与圆相切,则
d?
2

) B.是直角三角形 D.不存在
|c| a ?b
2

? 1.

∴a2+b2=c2.
答案:B

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2.已知点A?B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则 A?B两点之间的最短距离为( )

A.2 5 C.2 5 ? 4
解析:两圆心之间的距离为

B.2 5 ? 2 D.2
(2 ? 0) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 2 5 ? 4 ? r1 ? r2 ,

∴两圆相离,∴A、B两点之间的最短距离为

2 5 ? 4.

答案:C

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3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是( A.都是两个点 B.一条直线和一个圆

)

C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆
D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆

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解析:x(x2+y2-1)=0

x=0或x2+y2-1=0,则它表示一条直线 ? (x+x ? 2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,

x=0和一个圆x2+y2=1; x2-(x2+y2-1)2=0

∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0, 即
1 5 1 5 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 或( x ? )2 ? y 2 ? , 2 4 2 4

它表示两个圆.因此,选C.

答案:C

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4.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限, 则该直线的方程是(
A. y ? 3x C. y ? 3 x 3

)
B. y ? ? 3x D. y ? ? 3 x 3

解析:设切线方程为y=kx,圆的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心(2,0)到直线y=kx的距离为1, ∴
| ?2k | k 2 ?1 ? 1.? k ? ? 3 . 3
k? 3 . 3

又∵切点在第三象限,∴ 答案:C

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5.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P?Q两点,且 ∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(
A. ? 3或 3 C. ? 2或 2
| 0 ? 0 ? 1| 1 ? ,? k ? ? 3 2 k 2 ?1

)

B. 3 D. 2
d? 1 , 2

解析:∵∠POQ=120°,∴点O到直线y=kx+1的距离 又
d?

答案:A

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6.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=2 ___________________. 解析:半径
|1 ? 1 ? 4 | r? ? 2 2

则圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

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7.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为

?2 5或0 _____________________.
解析:当两圆内切时有 当两圆外切时,有
2 42 ? a=4,∴a=0.

42 ? a 2 ?∴a=± 6,

2 5.

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8.与圆x2+y2=4切于点 P(?1, 3) 的切线方程为__________.0 x ? 3y ? 4 ? 解析:圆心(0,0),
3

kOP ? ? 3,

∴切线的斜率 k ? 3 , 又切点为 ∴切线方程为 即
y? 3 ? 3 ( x ? 1), 3

(?1, 3),

x ? 3 y ? 4 ? 0.

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能力提升 9.已知圆C:(x-2)2+y2=2. (1)求与圆C相切,且在x轴?y轴上截距相等的直线方程;

(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点,
且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.

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解:(1)设横?纵截距相等的切线方程为 kx-y=0,与x+y+c=0,则 与
|2?c| ? 2, 2

| 2k | 1? k
2

? 2,

解得k=±1,c=-4或c=0.

故切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0. (2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得
2

[( x ? 2) 2 ? y 2 ] ? 2 ? x 2 ? y 2 ,

化简得点P的轨迹为直线 x ? 1 , 要使|PM|最小,即要使|PO|最

小,过O作直线x ?

1 2

的垂线.∴垂足 P(

1 , 0) 2

是所要求的点.

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11.直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A?B两点,则 |AB|=________. 2 3 解析:圆心到该直线的距离 ∴弦长=
5 d? ? 5. 5

2 (2 2) 2 ? ( 5) 2 ? 2 3.

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