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山东省青岛市58中2016届高三上学期期中考试数学(理)试题


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2015—2016 学年第一学期期中模块测试 高三数学(理)试卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,共 50 分;第Ⅱ卷为非选择 题,共 100 分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.第Ⅰ卷共 1 页,每小题有一个正确答案,请将选出的答案标号(A、B、C、D) 涂在答题卡上。第Ⅱ卷共 2 页

,将答案用黑色签字笔(0.5mm)写在答题纸上。

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,有 一项是符合题目要求的
2 1.集合 A ? x x ? a ? 0 , B ? x x ? 2 ,若 CR A ? B ,则实数 a 的取值范围是

?

?

?

?

A.

? ??, 4?

B.

?0, 4?
?
4

C.

? ??,4?

D.

? 0, 4?

2. 已知等差数列 ?an ?中, a7 ?
A. ?

,则 tan( a6 ? a7 ? a8 ) 等于

3 3

B. ? 2

C.-1

D.1

3.下列四个结论: ①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆否命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ” ; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4 . 函数 y ? sin(2 x ? ? ), ? ? (0, 2? ) 的部分图象如图所示,则 ? 的值 ()

A.

? 4? 或 3 3

B.

? 3

C.

4? 3

D.

2? 3

5.已知函数 f ( x ) ? sin(?x ?

?
3

) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右


平移 m ( m >0)个单位长度后,所得到的图像关于原点对称,则 m 的最小值为(

A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 12

D.

5? 6

? ? ? ? a b 6、向量 a , b 为非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的充分条件是() |a| |b|
A、 a ? ?b

?

?

B、 a / / b

?

?

C、 a ? 2b

?

?

D、 a / / b 且 | a |?| b |

?

?

?

?

7. 直线 y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为 A. ?1 B. e C. ln 2 D. 1 )

8. 若函数 f ( x) ? x 3 ? 12x在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的范围( A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

9 . 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x? 的 导 函 数 为 y ? f ? ? x? , 当 x ? 0 时 ,

f ?? x? ?

f ? x? 1 ? 0 ,若 a ? x 2

?1? ? 1? f ? ? , b ? ?2 f ? ?2 ? , c ? ? ln ? f ?2? ? 2?
C. a ? b ? c

? 1? ? ln ? ,则 a, b, c 的大小 ? 2?

关系正确的是 A. a ? c ? b

B. b ? c ? a

D. c ? a ? b

10 .定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足:①对任意 x, 都有 f ? x ? 3? ? f ? x ? 成立;②当

1 3 3 ? 3? x ? ?0, ? 时, f ? x ? ? ? ? 2 x ,则方程 f ? x ? ? 在区间 ? ?4, 4? 上根的个数是 x 2 2 ? 2?
A.4 B.5 C.6 D.7

第Ⅱ卷(非选择题
?
4 3 ,则 sin 2 x 的值为 5

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 sin(

? x) ?

12.定义在 R 上的偶函数 关于

f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [?1, 0] 上是增函数,下列 5 个

f ( x) 的命题: (1) f ( x ) 是周期函数; (2) f ( x ) 的图像关于 x ? 1 对称, (3) f ( x ) 在【0,1】上

是增函数, (4)f

( x) 在 【1, 2】 上是减函数; (5)f ( x ) 关于 ( , 0) 中心对称, 其中正确的命题序号有 _____

1 2

13.在 ?ABC 中, BC

????

???? ???? ???? ???? ? ? 3BD , A D ? A B , AD ? 1 ,则 AC ? AD ? _________.

14.设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数。 f ( x) 在 (1,??) 上是单调 减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,则 a 的取值范围是 ____ 15、对于函数 f ? x ? ,若存在区间 A ? ? m, n ?,使得 y y ? f ? x ? , x ? A ? A ,则称函数 ,区间 A 为函数 f ? x ? 的一个“同域区间”.给出下列四个函数: f ? x ? 为“同域函数” ① f ? x ? ? cos

?

?

?
2

x ;② f ? x ? ? x2 ?1 ;③ f ( x) ? e x ? 1;④ f ? x ? ? log 2 ? x ?1? .

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________(请写出所有正确的序号)

三、解答题:本大题 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin x,? cos x),b ? (cosx,

3 cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b ?

3 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标 (2)当 0 ? x ?

?
2

时,求函数 f ( x) 的值域

17.(本题满分 12 分) 设Δ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a , b, c ,且 a cos B ? 3, b sin A ? 4 (1)求边长 a (2)若Δ ABC 的面积 S ? 10 ,求Δ ABC 的周长 L

18.(本题满分 12 分) 已知公比为 q 的等比数列{ an }是递减数列,且满足 a1 ? a2 ? a3 ? (I)求数列{ an }的通项公式; (II)求数列 ?(2n ? 1) ? an ?的前 n 项和 Tn

13 1 , a1a2 a3 ? 9 27

19.(本小题满分 12 分) 数列

?an? 中

a1 ?

1 ,前 n 项和 Sn ? n2an ? 2n(n ? 1), n ? N ?. . 2

(I)证明数列 ?

?n ?1 ? Sn ? 是等差数列; ? n ?

(Ⅱ)设 bn ?

1 Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求: Tn n (2n ? 1)
2

20. (本题满分 13 分) 已知函数

f ( x) ? e x ? ax ,其中 e 为自然对数的底数,a 为常数.

(1)若函数 f(x)存在极小值,且极小值为 0,求 a 的值; (2)若对任意 x ? ?0,

? ?? x ,不等式 f ( x) ? 2ax ? e (1 ? sin x) 恒成立,求 a 的取值范围. ? ? 2?

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0, 其中a 是实数,设 A? x1, f ? x1 ?? , B? x2 , f ? x2 ?? 为该 ln x , x ? 0, ?

函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
x (1)当 x ? 0 时,讨论函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f e 的单调性;

? ?

(2)若函数 f ? x ? 的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

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2015—2016 学年第一学期期中模块测试 高三数学(理科)参考答案

注意事项: 1.本答案只作参考之用;具体评分标准由阅卷老师制定。 2.“尽信书,不如无书” ,希望同学们不唯答案为是,积极思考出更出色的解答。

一、选择题
(1-5) ACCBA (6-10)CDBAB

二、填空题 11. 7 12.(1)(2)(5)
25

13. 3

14. a ? e

15.(1)(2)

解答题
16、解: (1) f ( x) ? sin( 2 x ? (2) [?

?

k ? ) ,最小正周期是 ? ,对称中心是 ( ? ? ,0) k ? Z 3 2 6

3 ,1] 2
4 3 ,又? cos B ? 0 ,? cos B ? ,? a ? 5 3 5

17、解: (1)两式相除,得 tan B ? (2)由 S ?

1 a 2 ? c2 ? b2 ac sin B ,得 c ? 5 ,又由 cos B ? 得b ? 2 5 2 2ac

?l ? 10 ? 2 5
18.

19

20.

21


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