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福州高级中学2014级数学培优资料 第14讲 函数概念与表示(学生)


第 14 讲 函数概念与表示
一、要点精讲
1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x ∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x

的值相对应的 y 值叫做函数值,函数 值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,定义域含三种:①自然型:②限制型: ③实际型: (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为二次方程) ;③不等式法(运用不等式的 各种性质) ;④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) 。 3.两个函数的相等:4.区间 5.映射的概念 6.常用的函数表示法: (1)解析法:(2)列表法:(3)图象法: ; ; 。 7.分段函数 8.复合函数:若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的 取值范围是 g(x)的值域。

【课前练习】 1.【08 江西卷文 3】若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? A. [0,1] B. [0,1)
2

C. [0,1) ? (1,4]

f (2 x) 的定义域是( x ?1 D. (0,1)




2.【08 山东卷文 5】设函数 f ( x ) ? ? A.

?1 ? x , x ≤ 1, ? 则 2 ? x ? x ? 2,x ? 1, ?
D. 18

? 1 ? f? ? 的值为( ? f (2) ?

3. 【08 陕西卷理 11】 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x,y ? R ) f )( 2? , , 1 则 f (?2) 等于( )A.2 B.3 C.6 D.9 .

15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

4.【08 安徽卷理 13】函数 f ( x ) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为

二、典例解析
题型 1:函数概念 例 1. (1)设函数 f ( x) ? ?

( x ? 100 ) ?x ? 3 , 求f (89 ). ? f [ f ( x ? 5)] ( x ? 100 )

(2)请设计一个同时满足下列两个条件的函数 y = f (x) : ①图象关于 y 轴对称;②对定义域内任意不同两点 x1、x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( 答: . )

x1 ? x2 ) 2

? 2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 ( 变式题: (2007 山东 文 2)设 f ( x ) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?
A.0 B.1 C.2 D.3

例 2. (2007 安徽 文理 15)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

f ? f ? 5 ? ? ? __ ________;
题型二:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=


1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

x ? 0, ?1 | x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

(3)f(x)= 2 n ?1 x 2 n ?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1(n∈N*) ; (4)f(x)= x x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ; 2 2 (5)f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1。

题型三:函数定义域问题 例 4.求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; (2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x 2 ? a 2 ). lg(2 x ? 1)

例 5.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ? 23 ;(2) y ?
2

f ( x2 ) ? 1 。 log 1 (2 ? x)
2

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3 1 1 A.a> B.-12<a≤0 C.-12<a<0 D.a≤ 3 3 题型四:函数值域问题 例 6.求下列函数的值域:
3

变式题:已知函数 f(x)=

2



(1) y ? 3x ? x ? 2 ; (2) y ?
2

? x2 ? 6x ? 5 ; (3) y ?
2

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x ; (6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (7) y ?

2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 1 ? sin x (x ? ) ; ; (8) y ? (9) y ? 。 2 x ? x ?1 2x ?1 2 2 ? cos x

题型五:函数解析式 例 7. (1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x) ; x3

2 x (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; 1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) 。 x
(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ;

题型六:函数的综合题

例 8. 已知函数 f ( x) 的定义域为 ? 0,1? ,且同时满足:(1)对任意 x ? ? 0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ;(2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值;

三、课外作业
1.【08 湖北卷 4】函数 f ( x) ? A. (??, ?4] ? [2, ??)

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4) 的定义域为 x B. (?4, 0) ? (0.1) C. [-4,0) ? (0,1] D. [?4, 0) ? (0,1)
)

2. 【08 四川卷 11】 设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 13 , f ?1? ? 2 , f ? 99 ? ? ( 若 则 (A) 13 (B) 2 (C)

13 2

(D)

2 13

3.【08 江西卷 3】若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ , 3],则函数 F ( x ) ? f (x )? A. [ ,3]

1 2

B. [2,

10 5 10 ] C. [ , ] 3 2 3

1 2 10 D. [3, ] 3

1 的值域是( f ( x)



4.【07 重庆】若函数 f ? x ? ?
4 3

2x
2

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围



5.(1)设 f ( x) ? x ? ax ? bx ? cx ? d ,其中 a、b、c、d 是常数。 如果 f (1) ? 10, f (2) ? 20, f (3) ? 30, 求 f (10) ? f (?6)的值 ; (2)若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。
2

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