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1复数的概念及运算


第5讲 随堂演练巩固 1.若复数 z1 ? 1 ? i ? z 2 ? 3 ? i,则 z 1 ? z 2 等于( A.4+2i B.2+i 【答案】 A 【解析】 ∵ z1 ? 1 ? i ? z 2 ? 3 ? i,

复数的概念及运算

) C.2+2i D.3+i

2 ∴ z1 ? z 2 ? (1 ? i)(

3-i)=3-i+3i-i ? 4 ? 2 i.故选A.?

2.已知 a ? 2i ? b ? i ( a ? b ? R),其中i为虚数单位,则a+b等于(
i

) D.3

A.-1 【答案】 B
i

B.1

C.2

2 【解析】 ∵ a ? 2i ? b ? i,∴a+2i=bi+i .∴a+2i=-1+bi.

由复数相等知a=-1,b=2,∴a+b=1,选B. 3.若 a ? b ? R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 【答案】 C 【解析】 由(a+i)i=b+i,得ai-1=b+i,所以a=1,b=-1.? 4.复数 i ? 2 等于(
1 ? 2i

) B.-i D. ? 4 ? 3 i
5 5

A.i C. ? 4 ? 3 i
5 5

【答案】 A
(i ? 2 )(1 ? 2i) ? 5i ? i,∴ i ? 2 ? i. 【解析】 ∵ i ? 2 ? 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

1 ? 2i

5.已知复数 a ? i ? i对应的点在复平面坐标系的第二、四象限的角平分线上,则实数a=
i

.

【答案】 -2 【解析】 a ? i ? i=-1-(a+1)i.由题意知a+1=-1,
i

∴a=-2. 课后作业夯基 基础巩固 1.i是虚数单位,复数 3 ? i 等于(
1? i

) C.-1-2i D.2-i

A.1+2i 【答案】 A
1? i

B.2+4i

(3 ? i)(1 ? i) ? 3 ? 3i ? i ? 1 ? 1 ? 2 i. 【解析】 3 ? i ? (1 ? i)(1 ? i) 2

2.如果 ( m ? i)(1+mi)是实数,则实数m等于(
2

) C. 2
2 2

A.1 【答案】 B

B.-1

D. ? 2
3

2 2 3 【解析】 方法一: ( m ? i)(1+mi ) ? m ? m i+i+mi ? m ? m+ ( m ? 1) i. 2 ∵ ( m ? i)(1+mi)为实数,∴ m ? 1 ? 0 .∴m=-1.
3

方法二:代入验证法.将m=-1代入检验,可知. 方法三:若 ( m ? i)(1+mi)为实数,则 ( m ? i)(1+mi)= ( m ? i)(1-mi),求解可知.
2 2 2

3.在复平面内,复数 1 ? i 对应的点位于(
i

) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 【答案】 D
i i ?i 5i 等于( 4.复数 ) 1 ? 2i ?1

i(1 ? i) i ? 1 ? ? 1 ? i,对应的点为(1,-1),故选D. 【解析】 1 ? i ?

A.2-i C.-2+i 【答案】 C 【解析】

B.1-2i D.-1+2i

5i(1 ? 2i) 5i ? ? ? 1 0 ? 5i ? ? 2 ? i. 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

5.已知复数 z ? A. 1

3?i (1 ? 3i)
2

? z 是z的共轭复数,则 z z 等于(

) D.2

4

B. 1

2
3?i ? 2 ? 2 3i

C.1

【答案】 A 【解析】 方法一:∵ z ? ∴z ?
3?i ? 2 ? 2 3i
3?i ? 2 ? 2 3i

3?i (1 ? 3i)
2

?

?

.
? ? 3?1 ? 1 . 4 ? 12 4 ? 2 ? 2 3i
2

∴zz ?

3?i

方法二:∵ z ? ∴|z| ?
?

3?i (1 ? 3i)

?

3?i ? 2 ? 2 3i

?

2 ? 2 ? 1 .∴ z z ? |z| ? 1 . 2 4 ? ? 2 ? 2 3i ? 4

3 ?i?

6.i是虚数单位,若 1 ? 7 i ? a ? b i ( a ? b ? R),则ab的值是(
2?i

) D.15

A.-15 【答案】 B
2?i 5

B.-3

C.3

(1 ? 7 i)( 2 ? i) ? ? 1 ? 3 i, 【解析】 ∵ 1 ? 7 i ?

∴a=-1,b=3,ab=-3. 7. i为虚数单位 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 等于 ( 3 5 7
i i i i

) C.-2i
1 2 i ?i ?i
4

A.0 【答案】 A
i i i i

B.2i

D.4i

【解析】 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 21 ? 41 ? 3 5 7
i i ?i i ?i

?1?1?1?1 i i i i

=0.

8.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是( A.(1,5) 【答案】 C
2

) D. (1? 3 )

B.(1,3)
2

C. (1? 5 )

【解析】 |z| ? a ? 1 ? ∵0<a<2,∴ 1 ? a ? 1 ? 5 . 9.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为 【答案】 2
(6 ? 4i)( 2 ? 3i) 【解析】 z(2-3i)=6+4i,∴ z ? 6 ? 4i ? 2 ? 3i ( 2 ? 3i)( 2 ? 3i)

.

? 1 2 ? 1 8i ? 8i ? 1 2i ? 2 i. 13
2

故|z| ? 0 ? 2 ? 2 . 10.复数z=x+yi ( x ? y ? R)满足|z-1|=x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为
2 2

.

【答案】 y ? 2 x ? 1( x ? 0 ) 【解析】 由|z-1|=x,得|(x-1)+yi|=x,
2

所以 ( x ? 1) ? y ? x ( x ? 0 ) ? 整理,得 y ? 2 x ? 1( x ? 0 ) .
2 2 2 2

11.(2011 上 海 春 招 ,14) 为 求 解 方 程 x ? 1 ? 0 的 虚 根 , 可 以 把 原 方 程 变 形 为
5

( x ? 1)( x ? x ? x ? x ? 1) ? 0 ? 再变形为 ( x ? 1)( x ? ax ? 1)( x ? bx ? 1) ? 0 ? 由此可得原
4 3 2 2 2

方程的一个虚根为 【答案】
2

.
10 ? 2 5 i ?1 ? ? 5? 4
4 3

?1 ?

5? 4
2

10 ? 2 5 i

中的一个
2

【解析】 由题意可知,
( x ? 1)( x ? ax ? 1)( x ? bx ? 1) ? ( x ? 1)[ x ? ( a ? b ) x ? (2 ? ab ) x ? ( a ? b ) x ? 1],
? a ? b ? 1? ? a b ? 2 ? 1?

比较二次项、三次项系数知 ?

? ? 1? 5 1? 5 ? ? ?a ? ?a ? ? ? 2 2 解得 ? 或 ? ?b ? 1 ? 5 ?b ? 1 ? 5 ? ? ? ? 2 ? 2

由此得原方程的一个虚根为

?1 ?
2

5? 4

10 ? 2 5 i ?1 ? ?
2

5? 4

10 ? 2 5 i

中的一个.

12.当实数m取何值时,复数 z ? ( m ? 3 m ? m i)-[4+(5m+6)i]为实数?为虚数?为纯虚数? 【解】 先把复数z整理成 z ? ( m ? 3 m ? 4 ) ? ( m ? 5 m ? 6) i.?
2 2

(1)当 m ? 5 m ? 6 ? 0 ? 即m=-1或m=6时,z是实数.?
2

(2)当 m ? 5 m ? 6 ? 0 ? 即 m ? ? 1 且 m ? 6 时,z是虚数.?
2

(3)当 ?

? m 2 ? 3m ? 4 ? 0? ? m ? 5 m ? 6 ? 0?
2

即 ?

? m ? ? 1或 m ? 4 ? ? m ? ? 1且 m ? 6 ?

∴m=4时,z是纯虚数. 13.已知复数 z 1 满足 ( z1 ? 2 ) (1+i)=1-i(i为虚数单位),复数 z 2 的虚部为2,且 z 1 ? z 2 是实数,求 z 2 ? . 【解】 ∵ ( z1 ? 2 )(1 ? i)=1-i,∴ z1 ? 2 ? i. 设 z 2 ? a ? 2 i ? a ? R.
z1 ? z 2 ? ( 2 ? i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.

∵ z1 ? z 2 ? R,∴a=4, ∴ z 2 ? 4 ? 2 i. 14.已知复数 z 1 ? 2 ? i ? 2 z 2 ? (1)求 z 2 ;
2 (2)若△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列,且 ? ? cosA+2icos C ? 求| ? ? z 2 |的取值范围.

z1 ? i ( 2i ? 1) ? z 1

?

2

1 [( 2 ? i) ? i] ? 1 ? i ? 2i ? ? i. 【解】 (1) z 2 ? 2 ( 2i ? 1) ? ( 2 ? i) i ? 1 ?2

(2)在△ABC中,由于内角A、B、C依次成等差数列,
2 ? ? ∴B=60 ,A+C=120 .又 ? ? z 2 ? cosA+2icos C ? i 2

2 C ? 1) i=cosA+icosC, =cosA+(2cos 2 2 2 2 ∴| ? ? z 2 | ? cos A ? cos C ? 1 ? co s 2 A ? 1 ? co s 2 C 2 2

=cos(A+C)cos(A-C)+1=1+cos120 cos(A-C)
? 1 ? 1 cos(A-C). 2

?

由于A+C=120 ,∴A-C=120 -2C.
? ? ∴-120 <A-C<120 .∴ ? 1 ? cos ( A ? C ) ? 1 .

?

?

2

2 也就是 1 ? | ? ? z 2 | ? 5 ? 即

2

4

5 2 ? | ? ? z2 | ? . 2 2

拓展延伸 15.设z是虚数 ? ? ? z ? 1 是实数,且 ? 1 ? ? ? 2 .
z

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设 u ? 1 ? z ? 求证:u为纯虚数;
1? z
2

(3)求 ? ? u 的最小值. 【解】(1)∵z是虚数,∴可设z=x+yi ? x ? y ? R,且 y ? 0 ? ∴? ? z ? 1 ? x ? y i ?
z
? x? x ? yi 1 ? x ? y i? 2 2 x ? yi x ? y

y x ? (y ? 2 ) i. 2 2 x ? y x ? y
2

∵ ? 是实数且 y ? 0 ? ∴ y ?
2 2

y x ? y
2 2

?0.

∴ x ? y ? 1? 即|z|=1.此时 ? ? 2 x . ∵ ? 1 ? ? ? 2 ? ∴-1<2x<2,从而有 ? 1 ? x ? 1 .
2

即z的实部的取值范围是 ( ? ? 1) .
1 2

1 ? ( x ? y i) (1 ? x ? y i)(1 ? x ? yi) 1 ? x ? y ? 2 y i ? ? ? ? (2)证法一: u ? 1 ? z ? 2 2 2 2
2 2

y 1? x

1? z

1 ? x ? yi

(1 ? x ) ? y

(1 ? x ) ? y

i,

∵ x ? ( ? 1 ? 1) ? y ? 0 ? ∴
2

y 1? x

? 0 .∴u为纯虚数.

证法二:∵z为虚数,且|z|=1,∴ z ? z =1,即z ? 1 .
z
1? 1 1 ? z ? (1 ? z ) ? 1 ? z ? 1 ? z ? 1 ? z ? z u?u ? 1? z 1? z 1? z 1? z 1? z 1? 1 z

? 1? z ? z ?1 ? 0 . 1? z 1? z

∴u为纯虚数. (3) ? ? u ? 2 x ? ( ?
2

y 1? x

i) ?
2
2

? 2x ? (

2 ) ? 2x+ 1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? 2 ? 3 ? 1? x 1? x 1? x 1? x (1 ? x )

y

∵ ? 1 ? x ? 1? ∴1+x>0.
2

于是 ? ? u ? 2 ( x ? 1) ?
2

2 ?3? 1? x

2 2 ( x ? 1) ?

2 ? 3 ? 1? 1? x

当且仅当2 ( x ? 1) ?
2

2 ? 即x=0时等号成立. 1? x

∴ ? ? u 的最小值为1,此时 z ? ? i.


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