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高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象 人教版必修4


学习目标定位

基础自主学习

典例精析导悟

课堂基础达标

知能提升作业

一、选择题(每题4分,共16分) 1.函数y=2sin( 1 x+ ? )的周期、振幅、初相分别是( (A) ? ,2,?

4 4 2 4

)

(B)4π ,-2,- ? (D)2π ,2,?
4 4

(C)4π ,2,?
4
1 2

【解析】选C. T= 2? =4?, A=2,初相 ? ? ? .
4

【解析】

3.(2010·洛阳高一检测)下列四个函数中,同时具有:

(1)最小正周期为π ;(2)图象关于直线x= ? 对称的是
3

(
x ? + ) 2 6 (B)y=sin(2x+ ? ) 6 (C)y=sin(2x- ? ) 3 (D)y=sin(2x- ? ) 6

)

(A)y=sin(

【解析】选D.首先排除A,

又∵sin(2〓 ? - ? )=sin ? =1,
∴函数y=sin(2x- ? )具备以上两个条件.
6 3 6 2

4.已知函数f(x)=sin(ω x+ ? )(ω >0)的最小正周期为π ,则
3

该函数的图象(
3

)

(A)关于点( ? ,0)对称

(B)关于直线x= ? 对称
(C)关于点( ? ,0)对称 (D)关于直线x= ? 对称
3 4 4

【解析】选A.由题意知, 2? =?, 又ω>0,∴ω=2. T=
|?| 即f(x)=sin(2x+ ? ),由2x+ ? =kπ, 3 3 k? ? 得x= - (k∈Z). 2 6 当k=1时,x= ? , 即函数图象关于点( ? ,0)对称. 3 3

二、填空题(每题4分,共8分)

5.(2010·上海高一检测)若(x0,y0)是函数f(x)=sinx图
象的对称中心,则函数g(x)=f(x+x0)+y0的奇偶性为____. 【解析】由题意知,x0=kπ(k∈Z),y0=0. ∴g(x)=f(x+x0)+y0=sin(x+kπ)=〒sinx. ∴g(x)是奇函数. 答案:奇函数

6.已知f(x)=2sin(ω x+ ? )对任意x都有f( ? +x)=f( ? -x), 则f( ? )等于____. 6 x=
6 6

【解题提示】由条件等式可知函数图象关于直线
? 对称, 6

【解析】由题意知f(x)关于x=
? 6

? ? 对称,从而f( )=〒2. 6 6

∴f(x)在当x= 时取得最大值或最小值,即为〒2.
答案:〒2

三、解答题(每题8分,共16分) 7.函数y=Asin(ω x+ ? )+k(A>0,ω >0)在同一周期内当x= 5?
11? 2 时,ymax= 7 ;当x= 时,ymin=- ,求解析式. 3 3 3 3

【解析】

8.已知曲线y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0)上的一个最高点 的坐标为( ? , 2 ),此点到相邻最低点的曲线与x轴交于 8 3? 点( ,0),若 ? ∈(- ? , ? ). (1)试求这条曲线的函数解析式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π ]上的图象.
8

2

2

【解析】(1)由最高点坐标知A= 2,

再由题意知 T = 3? - ? = ? ,∴ ?=
4 8 8 4

2? =2, T

即y= 2 sin(2x+ ? ).

又∵ 2 sin(2〓 3? + ? )=0,∴ 3? + ? =kπ(k∈Z),
8 4

3 ? =- π+kπ(k∈Z),

又∵ ? ∈(- ? , ? ),∴ ? = ? ,∴y= 2 sin(2x+ ? ).
2 2 4 4

4

(2)当x变化时,y变化如下表:

其图象如下:

9.(10分)函数y=f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成

图形的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积.已知函数
y=sinnx在[0, ? ]上的面积为 2 (n∈N+). (1)求函数y=sin3x在[0, 2? ]上的面积; (2)求函数y=sin(3x-π )+1在[ ? , 4? ]上的面积.
3 3 3 n n

【解题提示】画出函数图象,充分利用条件,先

求y=cosx在[0, ? ]上面积,求解.
3

【解析】(1)y=sin3x在[0, 2? ]上的图象如图所示,
3

由函数y=sin3x在[0, 1 ? ]上的面积为 ,
3

2 3

∴在[0, 2 ? ]上的面积为 4 .
3

3

(2)由图可知阴影面积为S=SABCD+

2 2 =π+ . 3 3


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