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高一数学典型例题分析:同角三角函数的基本关系式


同角三角函数的基本关系式·典型例题分析

1.已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值.



∵sinα <0

∴角α 在第三或第四象限(不可能在 y 轴的负半轴上)

(2)若α 在第四象限,则

说明

在解决此类问题时,要

注意:

(1)尽可能地确定α 所在的象限,以便确定三角函数值的符号. (2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次). (3)必要时进行讨论. 例2 已知 sinα =m(|m|≤1),求 tgα 的值.

(2)当 m=±1 时,α 的终边在 y 轴上,tgα 无意义.
-1-

(3)当α 在Ⅰ、Ⅳ象限时,∵cosα >0.

当α 在第Ⅱ、Ⅲ象限时,∵cosα <0,

说明

(1)在对角的范围进行讨论时,不可遗漏终边在坐标轴上的情况.

(2)本题在进行讨论时,为什么以 cosα 的符号作为分类的标准,而不按 sin α 的符号(即 m 的符号)来分类讨论呢?你能找到这里的原因并概括出所用的技巧 吗? 2.三角函数式的化简 三角函数式的化简的结果应满足下述要求: (1)函数种类尽可能地少. (2)次数尽可能地低. (3)项数尽可能地少. (4)尽可能地不含分母. (5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来. 化简的总思路是:尽可能地化为同类函数再化简. 例3 化简 sin2α ·tgα +cos2α ·ctgα +2sinα cosα

=secα ·cscα
-2-

解2

原式=(sin2α ·tgα +sinα ·cosα )+(cos2α ·ctgα +sinα cosα )

=tgα ·(sin2α +cos2α )+ctgα (sin2α +cos2α ) =tgα +ctgα

=secα ·cscα 说明 (1)在解 1 中,将正切、余切化为正弦、余弦再化简,仍然是循着减少 函数种类的思路进行的. (2)解 2 中的逆用公式将 sinα ·cosα 用 tgα 表示,较为灵活,解 1 与解 2 相比,思路更自然,因而更实用. 例4 化简:

分析

将被开方式配成完全平方式,脱去根号,进行化简.

-3-

3.三角恒等式的证明 证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程,即化去形式上的异,而 呈现实质上的同,这个过程,往往是从化简开始的——这就是说,在证明三角恒 等式时,我们可以从最复杂处开始. 例5 分析 求证 cosα (2secα +tgα )(secα -2tgα )=2cosα -3tgα . 从复杂的左边开始证得右边.

=2cosα -3tgα =右边 例6 证明恒等式

(1)1+3sin2α sec4α +tg6α =sec6α (2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2 分析 (1)的左、右两边均较复杂,所以可以从左、右两边同时化简

证明

(1)右边-左边=sec6α -tg6α -3sin2α sec4α -1
-4-

=(sec2α -tg2α )(sec4α +sec2α ·tg2α +tg2α )-3sin2α sec4α -1 =(sec4α -2sec2α tg2α +tg2α )-1 =(sec2α -tg2α )2-1=0 ∴等式成立.

=sin2A+cos2A=1 故原式成立 在解题时,要全面地理解“繁”与“简”的关系.实际上,将不同的角化为 同角,以减少角的数目,将不同的函数名称,化为同名函数,以减少函数的种类, 都是化繁为简,以上两点在三角变换中有着广泛的应用.

分析 1

从右端向左端变形,将“切”化为“弦”,以减少函数的种类.

分析 2 目的.

由 1+2sinxcosx 立即想到(sinx+cosx)2,进而可以约分,达到化简的

-5-

说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时,常常将切、割化为弦(如解法 1), 或将弦化为切(如解法 2)以减少函数的种类. (2)要熟悉公式的各种变形,以便迅速地找到解题的突破口,请看下列.

=secα +tgα

∴等式成立 说明 以上证明中采用了“1 的代换”的技巧,即将 1 用 sec2α -tg2α 代换, 可是解题者怎么会想到这种代换的呢?很可能,解题者在采用这种代换时,已经 预见到代换后,分子可以因式分解,可以约分,而所有这一切都是建立在熟悉公 式的各种变形的基础上的,当然,对不熟练的解题者而言,还有如下的“一般证 法”——即证明“左边-右边=0”

-6-

∴左边=右边

-7-


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