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2013年广州二模理科数学试卷及详细答案(word版)


试卷类型:B

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2013.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项:1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填

写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 用 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.对于任意向量 a 、 b 、 c ,下列命题中正确的是 A. a? ? a b b B. a ? b ? a ? b
2 2

C.? a? ? c ? a ? b? ? b c

D. a ?a ? a

2

2.直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 y ? 0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.取决于 k 的值

文 3(理 1) .若 1 ? i ( i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x ? 2 px ? q ? 0 ( p、q ? R )的
2

一个解,则 p ? q ? A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

4.已知函数 y ? f ? x ? 的图象如图 1 所示,则其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是 y y y y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

O 图1

x

第 1 页 共 16 页

5.若函数 y ? cos ? ? x ? A.1

? ?

??

?? ? * ? ? ? N 的一个对称中心是 ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为 6? ?6 ?

?

?

B.2

C.4

D.8

6.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两 部分,则截面的面积为

4

1 ? 4 9 C. ? 4
A.

B. ? D. 4? 6 图2

7.某辆汽车购买时的费用是 15 万元, 每年使用的保险费、 路桥费、 汽油费等约为 1.5 万元. 年维修保养费用第一年 3000 元, 以后逐年递增 3000 元, 则这辆汽车报废的最佳年限 (即 使用多少年的年平均费用最少)是 A.8 年 B.10 年 C.12 年 D.15 年 8. 记实数 x1 ,x 2 , …,x n 中的最大数为 max ?x1 , x2 ,…,xn ? , 最小数为 min ?x1 , x2 ,…,xn ? ,

, , 则 max min x ? 1 x ? x ? 1 ? x ? 6
2

? ?
3 4

?? ?
C.3 D.

A.

B.1

7 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次 为 2﹕3﹕4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲型钢笔有 12 支, 则此样本容量 n ? . 10.已知

? ? ? 为锐角,且cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? 4? 5 ? 3

?

. 个没有重复数字且能被 5 整除的五位

11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成 数(结果用数值表示) . 12 . 已 知 函 数

f

? ?x?

2

?2 x

, 点 集 M ? x

x ?? ,

f ? y ? ?f? x ?≤2? ?


y ,

N?

?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≥0? ,则 M ? N 所构成平面区域的面积为

13. 数列 {an } 的项是由 1 或 2 构成, 且首项为 1, 在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2 k ? 1 个 2,即数列 {an } 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,则 S20 ? ; S2013 ? . 第 2 页 共 16 页

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 在△ ABC 中,D 是边 AC 的中点, E 在线段 BD 上, 点 且满足 BE ? 交 BC 于点 F ,则

1 BD ,延长 AE 3

BF 的值为 FC



15.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 已知点 A ?1,

? ?? 2 点 设点 P 到 ? , P 是曲线 ? sin ? ? 4cos? 上任意一点, ? 2?


直线 ? cos ? ? 1 ? 0 的距离为 d ,则 PA ? d 的最小值为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 某单位有 A 、 B 、 C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点 到 三 个 工 作 点 的 距 离 相等 . 已 知 这 三 个 工 作 点之 间 的 距 离 分 别 为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

17. (本小题满分12分) E 已知正方形 ABCD 的边长为 2, 、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ? 2 的概率; (2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之 间的 距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

第 3 页 共 16 页

18. (本小题满分 14 分) 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 3 , 点 D 、 E 分 别 是 边 AB 、 AC 上 的 点 , 且 满 足

AD CE 1 ? (如图 3)将△ ADE 沿 DE . ? DB EA 2
折 起 到 △ A1 D E的 位 置 , 使 二 面 角 D

A

A1

A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、 A1C
(如图 4) . (1)求证: A1D ? 平面 BCED ; B 图3

E C B

D E C 图4
?

(2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存在,求 出 PB 的长,若不存在,请说明理由. 19. (本小题满分14分)
2 已知 a ? 0 ,设命题 p :函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在区间 ?0,1? 上与 x 轴有两个不

同的交点;命题 q : g ? x ? ? x ? a ? ax 在区间 ? 0, ?? ? 上有最小值.若 ? ?p ? ? q 是真 命题,求实数 a 的取值范围. 20. (本小题满分14分) 经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上, 且关于 y 轴对称, 过线段 AD (两端点除外) 上的任意一点作直线 l , 使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于 方程. 21. (本小题满分14分) 设 an 是函数 f ? x ? ? x ? n x ?1 n?N* 的零点.
3 2

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的 2

?

?

(1)证明: 0 ? an ? 1 ; (2)证明:

3 n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? . 2 n ?1

第 4 页 共 16 页

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 9.54 10.

2 10

11. 216

12. 2?

13. 36 ; 3981

14.

1 4

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分 12分) 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m , 由 余 弦 定 理 得

c

2 2 A 2? ? B A C B ?BAC ? o s ………………………………………………………2 分 2 ? AB ? AC

C

?
……………3 分 因 为

802 ? 502 ? 702 1 ? . ……………………………………… 2 ? 80 ? 50 2


?BAC



ABC













第 5 页 共 16 页

? .……………………………………………………4 分 3 (2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, ABC 所 以 点 为 △ 外 接 O ?BAC ?
心.……………………………………………………………………5 分 设外接圆的半径为 R , ABC 在 △ 中 , 由 正 弦













BC ? 2 R , ……………………………………………………………7 分 sin A
因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

? 3 ,所以 sin A ? . 3 2
A

所以 2 R ?

70 3 70 140 3 ,即 R ? .…………………8 分 ? 3 3 3 2
O B

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D ,…………………………9 分 在△ OBD 中, OB ? R ? 所

BC 70 70 3 ? ? 35 , , BD ? 2 2 3
2

D 以

C

?7 ? OD ? OB ? BD ? ? ? 3 ? ? 35 ? ? ?
2

………………………………………………………

2

0

11 分

?
所 以

35 3 . 3


O





线

BC









35 3 m .……………………………………………………………12 分 3
方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.……………………5 分 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , …………………6 分 由(1)知 ?BAC ? 所以 ?BOC ?

A

? , 3
B

O C

?? . 3 ? 所以 ?BOD ? .………………………………………9 分 3 BC 70 ? ? 35 , 在 Rt △ BOD 中, BD ? 2 2
第 6 页 共 16 页

D





OD ?
11 分 所

t

BD ? ?BOD
以 点

3
?

?

.…………………………………………………………

5

a

O





线

BC









35 3 m .……………………………………………………………12 分 3

17. (本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解 能力与数据处理能力等,本小题满分12分) 解: (1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积是

2? 2 ? 4 .
………………………………… ……………1 分 满足 | PH | ?

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方
G C

D 形 ABCD 内部的公共部分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、 圆心角为

? 的扇形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个 2
H F

直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部 构成. ……………………………………………………………2 分 其面积是 所

1 ? ?? 4

? 2?


2

1 ? ? 2 ? ? 1? 1 ? ? 1 .………………3 分 2 2


A 概 率

E 为

B



| PH | ? 2



? ?1 ? 1 2 ? ? .………………………………………………………4 分 4 8 4
B C D 、 、 H (2) A、 、 、 E F G、 、 从
不同的线段. ………………………………………… ……………5 分 第 7 页 共 16 页 这八个点中, 任意选取两个点, 共可构成 C8 ? 28 条
2

其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长度 为 5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条. 所 以

?

















1 2,2, 5,2 2 .……………………………………………………7 分 ,


P ?? ? 1? ?

8 2 ? 28 7



P ?? 2 ?

?

?

4 1 ? 28 7



P ?? ? 2 ? ?

6 3 ? , 28 14 8 2 P ?? 5 ? ? 28 7 2 1 P ? ?2 2 ? ? . ………………………………………9 分 28 14

?

?



?

?

所以随机变量 ? 的分布列为:

?

1
2 7

2

2
3 14

5

2 2
……10 分

P

1 7

2 7

1 14

随机变量 ? 的数学期望为

2 1 3 2 1 5? 2 2 ? 2 5 E? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? .…………… 7 7 14 7 14 7
……………12 分 18. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象 能力和运算求解能力等,本小题满分 14 分) 证明: (1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60 ,
?

AD CE 1 ? , ? DB EA 2
D

A

E 由余弦定理得 DE ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 . 因为 AD ? DE ? AE ,
2 2 2

B

C

所以 AD ? DE . 折







A1 ?

. ……………………………………………………………………………………2 分 D D E

第 8 页 共 16 页

因 为 二 面 角 A1 ? DE ? B 是 直 二 面 角 , 所 以 平 面 A DE ? 平 面 1

B C E. …………………………3 分 D
又平面 A DE ? 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面 A DE , A1D ? DE , 1 1 所 以

A1D ?





B

C E D . ………………………………………………………………………………4 分
?

(2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P .………………5 分 由(1)有 A1D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1D ? PH .…………………………………………………6 分 又 A1D ? BD ? D , 所 以 H B P 面 C D E

A1

PH ?



A1

.…………………………………………………………………………………7 分 B D 所 以

?P

1

A

是 H



线

PA1







A1

B

所 D





角. ……………………………………………………8 分 设

PB ? x

? 0 ? x ? 3?





BH ?

x 2



PH ?


3 x .…………………………………………………9 分 2
Rt


PA1H





?PA1H ? 60?







A1

1 ? H .………………………………………………10 分 x 2


Rt



A1DH





A1D ? 1



DH ? 2 ?

1 x .………………………………………………………11 分 2
2 2 2

由 A D ? DH ? A H ,数学资源网 http://shuxue2013.com 1 1

1 ? ?1 ? ? 得 1 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? .…………………………………………………………12 分 2 ? ?2 ? ?
2

2

2

解得 x ?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意.…………………………………………13 分 2
第 9 页 共 16 页

所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60 , 此 时

?

PB ?

5 .………14 分 2

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立 空间直角坐标系 D ? xyz 如图. ……………………………………………………5 分 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a . ……………………6 分 所以 A ? 0,0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 .…………7 分 1 D E B x H P C y z

A1

?

?

?

?

所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .…………………………………………………8 分 因为 ED ? 平面 A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 .………………………………9 分 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,
?

????

?

?

????

?

?

???? ???? PA1 ?DE 所以 sin 60? ? ???? ???? ………………………………………………………10 分 PA1 DE

?
解得 a ?

3a 4a ? 4a ? 5 ? 3
2

?

3 ,………………………………………11 分 2

5 . ………………………………………………………………………12 分 4 5 即 PB ? 2 a ? ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意. …………………………………13 分 2
所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60 , 此 时
?

PB ?

5 .………14 分数学资源网 http://shuxue2013.com 2

19. (本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查 数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点,
2

第 10 页 共 16 页

? f ? 0 ?≥0, ? ? f ?1?≥0, 必须 ? ……………………………………………………………………2分 ?0 ? a ? 1, ? ? ? 0. ?

?1 ? 2a≥0, ?2 ? 4a≥0, ? 即? ………………………………………………………4分 0 ? a ? 1, ? ?? ?2a ?2 ? 4 ?1 ? 2a ? ? 0. ?
1 .数学资源网http://shuxue2013.com 2 1 所以当 2 ? 1 ? a≤ 时,函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ?1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同 2
解得 2 ? 1 ? a≤ 的交点.…5分 下面求 g ? x ? ? x ? a ? ax 在 ? 0, ?? ? 上有最小值时 a 的取值范围: 方 法 1 : 因 为

??1 ? a ? ? ? g ? x? ? ? ?? ?1 ? a ? x ? a ?

≥x

x?a

…………………………………………………………6分

,

a

,

x

a

,

.

① 当 a ? 1 时 , g ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ? a, ?? ? 上 单 调 递 减 , g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 无 最 小 值;……………7分 ②当 a ? 1 时, g ? x ? ? ?

??1, ??2 x ? 1,

x≥1, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 ?1;………8分 x ? 1.

③当 0 ? a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ?? ? 上单调递增,

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 g ? a ? ? ?a2 .…………………………………………9分
所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值.…………………………10分 方法2:因为 g ? x ? ? ?

??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a, ?

x≥a, x ? a.

…………………………………………6分

因为 a ? 0 ,所以 ? ?1 ? a ? ? 0 . 所以函数 y1 ? ? ?1 ? a ? x ? a ? 0 ? x ? a ? 是单调递减的.…………………………7分 要使 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值,必须使 y2 ? ?1 ? a ? x ? a 在 ? a, ?? ? 上单调递增或为 常数.……8分 第 11 页 共 16 页

即 1 ? a≥0 ,即 a≤1 .……………………………………………………………9分 所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值. ………………………10分 若 ? ?p ? ? q 是真命题,则 ?p 是真命题且 q 是真命题,即 p 是假命题且 q 是真命 题.……11分

1 ? ?0 ? a≤ 2 ? 1, 或a ? , 所以 ? 2 …………………………………………………12分 ?0 ? a≤1. ?
解得 0 ? a≤ 2 ? 1 或

1 ? a≤1 . ……………………………………………13分 2

故实数 a 的取值范围为 0, 2 ? 1? ? ? ,1? .……………………………………14分

?

?1 ? ? ?2 ?

20. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知 识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 解: (1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1 .………1 分
2 2

整理,得 x ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x ? 4 y .……………………………2 分
2 2

方法 2: 设动圆圆心为 P , 依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线.……………………………1 分 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x ? 4 y .………………………………2 分
2 2 (2)由(1)得 x ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 k BC ? x0 .………3 分 2 4 ?

由题意知点 A ? ? x0 ,

? ?

1 2? ? 1 ? ? 1 ? x0 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? 4 ? ? 4 ?

y

C

则 k BC 分

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 4 ? ? 1 2 ? x0 , 即 x1 ? x2 ? 2 x0 . … … 4 x1 ? x2 4 2

E A BO l D x

第 12 页 共 16 页

因为 k AC

1 2 1 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x ?x x ?x 4 4 ?4 ? 1 0 , k AB ? 4 ? 2 0 .…………5 分 x1 ? x0 4 x2 ? x0 4

由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB .……6 分 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD .…………………………………………………………7 分 (3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? .……………8 分 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方 (如图) 即 x2 ? x1 , , 直线 AB 的方程为:y ?

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 ? x 2 ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4, 所以 AB ?

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? .…………………………………10 分 ? 4 ?

2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .
?

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 .……………11 分 所以△ ABC 的面积 S ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

解得 x0 ? ?3 .……………………………………………………………………12 分 当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, ? , k BC ? 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

1? 4?

3 , 2

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 .……………………13 分 4 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? 2 , 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . ……………14 分 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? .…………8 分 2

? ? 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,所以 ?CAB ? 90 ,即 AC ? AB .

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由(2)知 k AC ? 所以 k AC k AB

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4 x ?x x ?x ? 1 0 ? 2 0 ? ?1. 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?

? x1 ? x0 ? 4, ………10分 x2 ? x0 ? 4. ?

因为 AB ?

1 1 2 ? x2 ? x0 ? ? ? x2 2 ? x0 2 ? ? 2 2 x0 ? 2 , ? ? 4 ?4 ?

2

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 . ………………………………………………………11分 以下同方法1. 21. (本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解 能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 证明: (1)因为 f ? 0? ? ?1 ? 0 , f ?1? ? n ? 0 ,且 f ? x ? 在 R 上的图像是一条连续曲线,
2

所以函数 f ? x ? 在 ? 0, 内有零点.…………………………………………………1分 1? 因为 f ? ? x ? ? 3x ? n ? 0 ,
2 2

所以函数 f ? x ? 在 R 上单调递增.……………………………………………………2分 所以函数 f ? x ? 在 R 上只有一个零点,且零点在区间 ? 0, 内. 1? 而 an 是函数 f ? x ? 的零点, 所 以

0 ? an ? 1 .…………………………………………………………………………………3分
(2)先证明左边的不等式: 因为 an ? n an ?1 ? 0 ,
3 2

由(1)知 0 ? an ? 1 , 所以 an ? an .…………………………………………………………………………4 分
3

即 1 ? n an ? an ? an .
2 3

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1 .………………………………………………………………………5 分 n ?1 1 1 1 ? 2 ??? 2 所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 .……………………………6 分 1 ?1 2 ?1 n ?1 1 1 1 n ? 2 ?? ? 2 ? 以下证明 2 . ① 1 ?1 2 ?1 n ?1 n ?1
所以 an ?
2

方法 1(放缩法) :因为 an ?

1 1 1 1 ,……………………7 分 ? ? ? n ? 1 n ? n ? 1? n n ? 1
2

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?1 ?

? ?

1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n n ?1 ?

1 n ? .……………………………………………9 分 n ?1 n ?1 1 1 ? 方法 2(数学归纳法) :1)当 n ? 1 时, 2 ,不等式①成立. 1 ?1 1?1 ? 1?
2)假设当 n ? k ( k ? N )时不等式①成立,即
*

1 1 1 k ? 2 ?? ? 2 ? . 1 ?1 2 ?1 k ?1 k ?1
2

那么

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1 ?1 2 ?1 k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1
2

?

k 1 . ? k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1


以下证明

? k ? 1? k 1 ? ? . 2 k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1
1
2

即证

? k ? 1?
2

?1

?

? k ? 1? ? k . ? k ? 1? ? 1 k ? 1

即证

1 1 ? 2 . k ? 2k ? 2 k ? 3k ? 2

由于上式显然成立,所以不等式②成立. 即当 n ? k ? 1 时不等式①也成立. 根据 1)和 2) ,可知不等式①对任何 n ? N 都成立.
*

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 再证明右边的不等式:

n .………………………………………………………9 分 n ?1

当 n ? 1 时, f ? x ? ? x ? x ?1 .
3

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由于 f ? ? ? ? ? ? 所以

?1? ?1? ? 2? ? 2?

3

1 3 11 ?3? ?3? 3 ?1 ? ? ? 0 , f ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0, 2 8 64 ?4? ?4? 4

3

1 3 ? a1 ? .…………………………………………………………………10分 2 4
3 1 ? an 1 ? 2 . …………11分 n2 n

由(1)知 0 ? an ? 1 ,且 an3 ? n2an ?1 ? 0 ,所以 an ?

因为当 n≥2 时, 所以当 n≥2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ,……………………………………12分 2 n ? n ? 1? n n ? 1 n

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ?

3 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 4 2 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?
? 1? 1 1 3 ? ? . 2 n 2

* 所以当 n ? N 时,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ?

3 . 2

综上所述,

3 n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? .…………………………………………14分 2 n ?1

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