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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:选修4-4-1 坐标系


选修 4-4-1 坐标系

一、填空题 π 1 .在极坐标系中,由三条直线 θ = 0 , θ = , ρcosθ + ρsinθ = 1 围成图形的面积是 3 __________. 3- 3 答案: 4 π 2.已知曲线 C1、C2 的极坐标方程分别为 ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ< ),则曲线 2 C1 与 C2 交点的极坐标为____

______. π? 答案:? ?2 3,6? 3.设点 M 的直角坐标为(-1,- 3,3),则它的极坐标为__________. 4π ? 答案:? ?2, 3 ,3? π? 4.在极坐标系下,直线 ρcos? ?θ-4?= 2与曲线 ρ= 2的公共点个数为__________. 答案:1 π? 5.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ,过点? ?4,6?作曲线 C 的切线,则切线 长为__________. 答案:2 2 4 6.方程 ρ=-2cosθ 和 ρ+ =4 2sinθ 的曲线的位置关系为__________. ρ 答案:外切 二、解答题 π? 3 ? π? 7.在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? ? 2,4?,圆心为直线 ρsin?θ-3?=- 2 与极轴 的交点,求圆 C 的极坐标方程.

π? 3 解析:在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π 2, ?, 因为圆 C 经过点 P? 4? ? π ? 2?2+12-2×1× 2cos =1,于是圆 C 过极点, 4 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. π? 8.若两条曲线的极坐标方程分别为 ρ=1 与 ρ=2cos? ?θ+3?,它们相交于 A,B 两点, 求线段 AB 的长. 解析:由 ρ=1 得 x2+y2=1, π? 又∵ρ=2cos? ?θ+3?=cosθ- 3sinθ, ∴ρ2=ρcosθ- 3ρsinθ. ∴x2+y2-x+ 3y=0. 所以圆 C 的半径 PC=

?x +y =1, 1 3 由? 2 2 得 A(1,0),B?- ,- ?, 2? ? 2 ?x +y -x+ 3y=0
∴|AB|=

2

2

?1+1?2+?0+ 3?2= 3. ? 2? ? 2?

π? π 9.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=4cos? ?θ-6?,直线 l:θ=3(ρ∈R),求圆心 C 到直 线 l 的距离. π? ? 3 1 ? 解析:ρ=4cos? ?θ-6?=4? 2 cosθ+2sinθ? =2 3cosθ+2sinθ. ∴ρ2=2 3ρcosθ+2ρsinθ, ∴x2+y2=2 3x+2y,即(x- 3)2+ (y-1)2=4, ∴圆心的坐标为( 3,1). l:y= 3x,即 3x-y=0, |3-1| ∴d= =1,∴圆心到直线 l 的距离为 1. 2 π? 10.在极坐标系中,极点为 O.已知 P1(1+ 2,0),P2? ?1+ 2,2?,曲线 C:ρ=2 2sinθ. (1)求直线 P1P2 的极坐标方程; (2)记直线 P1P2 与曲线 C 交于 A,B 两点,求∠AOB 的大小.

解析:(1)如图所示,设点 P(ρ,θ)是直线 P1P2 上任意一点, 则 ρsinθ=1+ 2-ρcosθ, 所以直线 P1P2 的极坐标方程是 ρsinθ+ρcosθ=1+ 2. (2)由曲线 C:ρ=2 2sinθ,可知 π? 曲线 C 是以 M? ? 2,2?为圆心, 2为半径的圆. 过 M 作 MQ 垂直 AB 于 Q,则 MQ⊥AB, 连接 MA、MB、MP2、OM. 在 Rt△MQP2 中,∠MP2Q=∠OP2P1=45° . |MP2|=|OP2|-|OM|=1, 2 2 故|MQ|= |MP2|= . 2 2 1 在 Rt△MQA 中,|MQ|= |AM|,故∠AMQ=60° . 2 1 因此∠AOB= ∠AMB=∠AMQ=60° . 2 π 11.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=6cosθ,曲线 C2 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),曲线 4 C1、C2 相交于 A、B 两点. (1)把曲线 C1、C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长度. π 解析:(1)曲线 C2:θ= (ρ∈R)表示直线 y=x, 4 曲线 C1:ρ=6cosθ,即 ρ2=6ρcosθ. ∴x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.

3 2 (2)∵圆心(3,0)到直线的距离 d= ,r=3. 2 ∴弦长 AB=3 2. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:x2+y2=1,将 C1 上的所有点的横坐标、 纵坐标分别伸长为原来的 3、2 倍后得到曲线 C2.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:ρ(2cosθ-sinθ)=6. (1)试写出直线 l 的直角坐标方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 解析:(1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2x-y-6=0. x y ?2 (2)曲线 C2 的直角坐标方程为:? ?2+? =1, ? 3? ?2? 所以设点 P 的坐标为( 3cosθ,2sinθ). 则点 P 到直线 l 的距离为: |2 3cosθ-2sinθ-6| d= 5 π ? ? |4sin?3-θ?-6| 10 = ≤ =2 5. 5 5 5π ∴当 θ= 时,dmax=2 5, 6 3 ? 即 P? ?-2,1?时,dmax=2 5.


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