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高中数学复习专题讲座 圆锥曲线综合题


题目 高中数学复习专题讲座 圆锥曲线综合题 高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问 题、 最值问题、 参数问题、 应用题和探索性问题, 圆锥曲线知识的纵向联系, 圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要 较强的代数运算能力和图形认识能力, 要能准确地进行数与形的语言转换和 运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以

保证结果的完整 重难点归纳 解决圆锥曲线综合题, 关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、 标准方 程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重 新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的 (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式, 通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化 为函数的值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种 当题目的条件和结论能 明显体现几何特征及意义, 可考虑利用数形结合法解; 当题目的条件和结论 能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值 典型题例示范讲解 例 1 已知圆 k 过定点 A(a,0)(a>0),圆心 k 在抛物线 C y2=2ax 上运动, MN 为圆 k 在 y 轴上截得的弦 (1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化? (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的 位置关系? 命题意图 本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理 问题的能力 知识依托 弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二 次不等式等知识 错解分析 在判断 d 与 R 的关系时,x0 的范围是学生容易忽略的
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技巧与方法 的大小 解
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对第(2)问,需将目标转化为判断 d=x0+

a 2 与 R= x 0 ? a 2

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(1)设圆心 k(x0,y0),且 y02=2ax0,
2

圆 k 的半径 R=|AK|= ( x 0 ? a ) 2 ? y 0 ?
2 2 2

x0 ? a 2

2

∴|MN|=2 R 2 ? x0 ? 2 x0 ? a 2 ? x 0 =2a(定值) ∴弦 MN 的长不随圆心 k 的运动而变化 (2)设 M(0,y1)、N(0,y2)在圆 k (x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2 中,
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令 x=0,得 y2-2y0y+y02-a2=0,∴y1y2=y02-a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项 ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a 又|MN|=|y1-y2|=2a, ∴|y1|+|y2|=|y1-y2|
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∴y1y2≤0,因此 y02-a2≤0,即 2ax0-a2≤0 ∴0≤x0≤ 圆心 k 到抛物线准线距离 d=x0+

a 2

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a 2 ≤a,而圆 k 半径 R= x 0 ? a 2 ≥a 2 且上两式不能同时取等号,故圆 k 必与准线相交
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x y =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为 1 的 ? m m ?1 y 直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为 D C A、B、C、D,设 f(m)=||AB|-|CD|| (1)求 f(m)的解析式; o x (2)求 f(m)的最值 B A 命题意图 本题主要考查利用解析几何的 知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的科间综合 知识依托 直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单 调性求函数的最值 错解分析 在第(1)问中,要注意验证当 2≤m≤5 时,直线与椭圆恒有 交点 技巧与方法 第(1)问中, 若注意到 xA,xD 为一对相反数, 则可迅速将||AB| -|CD||化简 第(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法 解 (1)设椭圆的半长轴、 半短轴及半焦距依次为 a、 b、 c, 则 a2=m,b2=m -1,c2=a2-b2=1 ∴椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0)
例 2 如图,已知椭圆
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2

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故直线的方程为 y=x+1,又椭圆的准线方程为 x=± ∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)

a2 ,即 x=±m c

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?y ? x ?1 ? 考虑方程组 ? x 2 ,消去 y 得 y2 ?1 ? ? ? m m ?1
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(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)

整理得 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 Δ =4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2
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? 2m 2m ? 1 又∵A、B、C、D 都在直线 y=x+1 上
∵2≤m≤5,∴Δ >0 恒成立,xB+xC=
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∴|AB|=|xB-xA|= 2 =(xB-xA)? 2 ,|CD|= 2 (xD-xC) ∴||AB|-|CD||= 2 |xB-xA+xD-xC|= 2 |(xB+xC)-(xA+xD)| 又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|-|CD||=|xB+xC|? 2 =| 故 f(m)=

? 2m 2 2m |? 2 = (2≤m≤5) 2m 1 ? 2m
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2 2m ,m∈[2,5] 2m

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2 2 2 2m ,可知 f(m)= 1 2m 2? m 10 2 4 2 1 1 1 又 2- ≤2- ≤2- ,∴f(m)∈[ ] , 2 5 9 3 m 4 2 10 2 故 f(m)的最大值为 ,此时 m=2;f(m)的最小值为 ,此时 m=5 9 3 例 3 舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处, 舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相 距 4 千米,它们准备捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同 时发现这种信号, A 发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的, 动物信号的传
(2)由 f(m)=
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播速度为 1 千米/秒, 炮弹的速度是

20 3g 千米/秒, 其中 g 为重力加速度, 3

若不计空气阻力与舰高,问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少? 命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用,及将实际问题转化成 数学问题的能力 知识依托 线段垂直平分线的性质,双曲线的定义,两点间的距离公 式,斜抛运动的曲线方程 错解分析 答好本题,除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的 垂直平分线上,又在以 A、B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握 清楚 技巧与方法 通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几 y 何问题来求解 对空间物体的定位,一般可利用 P 声音传播的时间差来建立方程 C 300 解 取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为 原点, 建立如图所示的直角坐标系 由题意可知,
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B
A、 B、 C 舰的坐标为(3, 0)、 (-3, 0)、 (-5, 2 3)
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o

A

x

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由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位
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置为 P,则|PB|=|PC| -3y+7 3 =0
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于是 P 在线段 BC 的中垂线上,易求得其方程为 3 x

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又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线

x2 y2 =1 的右支上 ? 4 5

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直线与双曲线的交点为(8,5 3 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间 距离公式,可得|PA|=10
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据已知两点的斜率公式, 得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是 舰 A 发射炮弹的方位角应是北偏东 30° 设发射炮弹的仰角是θ , 初速度 v0=
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2v ? sin? 20 3g 10 , 则 0 , ? 3 g v0 ? c o s ?

∴sin2θ =

10 g v0
2

?

3 ,∴仰角θ =30° 2

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例 4 若椭圆

x2 y2 =1(a>b>0)与直线 l ? a 2 b2

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x+y=1 在第一象限内有两个
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不同的交点,求 a、b 所满足的条件,并画出点 P(a,b)的存在区域

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?x ? y ? 1 ? 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y,整理得 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 ① 则椭圆与直线 l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在 区间(0,1)内有两相异实根,令 f(x)=(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2),则有

? ?? ? 4a 2 ? 4a 2 ( a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 ? ?a 2 ? b 2 ? 1 2 2 ? f (0) ? a (1 ? b ) ? 0 ? ? ?0 ? b ? 1 2 2 2 2 ?? ? f (1) ? b ? a ? a (1 ? b ) ? 0 ? ?0 ? a ? 1 2 a ?0 ? ? ?1 ?a ? b ? 0 ? a 2 ? b2 ?a ? b ? 0 ?
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y 1

o

1

x

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同时满足上述四个条件的点 P(a,b)的存在区域为如图所示的阴影部分 学生巩固练习
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已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m ) C
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<4),当△ABC 的面积最大时,m 等于( A D 2 ( ) A 2 2 3
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B

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5 2

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3 2
设 u,v∈R,且|u|≤ 2 ,v>0,则(u-v)2+( 2 ? u 2 ?

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9 2 ) 的最小值为 v
D
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4

B

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2

C

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A 是椭圆长轴的一个端点, O 是椭圆的中心, 若椭圆上存在一点 P,

使∠OPA=
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? ,则椭圆离心率的范围是_________ 2
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4 一辆卡车高 3 米,宽 1 6 米,欲通过抛物线形隧道,拱口宽恰好 是抛物线的通径长, 若拱口宽为 a 米, 则能使卡车通过的 a 的最小整数值是 ____ 5 已知抛物线 y=x2-1 上一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,当 P 在 抛物线上运动时,BP⊥PQ,则 Q 点的横坐标的取值范围是_________ 6 已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点,若另 一条直线 l 经过点 P(-2,0)及线段 AB 的中点 Q,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围 7 已知抛物线 C y2=4x (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合, 试求椭圆短轴端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点,Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ| 有无最小值?若有,求出其值;若没有,说明理由
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ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD⊥AB, 如图, ?

Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运 动且保持|PA|+|PB|的值不变 D (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、
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Q

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A

O

B

N,且 M 在 D、N 之间,设 参考答案: 1
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DM =λ ,求λ 的取值范围 DN

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解析

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由题意知 A(1,1),B(m, m ),C(4,2)

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直线 AC 所在方程为 x-3y+2=0, 点 B 到该直线的距离为 d=

|m ?3 m ? 2|
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10

S ?ABC ?

1 1 |m ? 3 m ? 2| 1 1 3 1 | AB | ?d ? ? 10 ? ? | m ? 3 m ? 2 |? | ( m ? ) 2 ? | 2 2 2 2 2 4 10

∵m∈(1,4),∴当 m ?
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3 9 时,S△ABC 有最大值,此时 m= 4 2

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答案 B 2 解析 考虑式子的几何意义,转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的距离的最小值 答案 C
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解析

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设椭圆方程为

x2 y2 =1(a > b >0), 以 OA 为直径的圆 ? a2 b2

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x2 -

ax+y2=0,两式联立消 y 得

a2 ? b2 2 x -ax+b2=0 2 a

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即 e2x2-ax+b2=0,该方程有

一解 x2,一解为 a,由韦达定理 x2= e<1
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a a 2 -a,0<x2<a, 即 0< 2 -a<a ? < 2 2 e e

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2 <e<1 2 4 解析 由题意可设抛物线方程为 x2=-ay, a a 0.64 当 x= 时,y=- ;当 x=0 8 时,y=- 2 4 a a 0.64 由题意知 ? ≥3,即 a2-12a-2 56≥0 解得 a 的最小整数为 13 4 a 答案 13 5 解析 设 P(t,t2-1),Q(s,s2-1)
答案
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t 2 ? 1 ( s 2 ? 1) ? (t 2 ? 1) =-1, ? t ?1 s ?t 即 t2+(s-1)t-s+1=0 ∵t∈R,∴必须有Δ =(s-1)2+4(s-1)≥0 即 s2+2s-3≥0, 解得 s≤-3 或 s≥1 答案 (-∞,-3 ] ∪ [ 1,+∞)
∵BP⊥PQ,∴
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设 A(x1,y1),B(x2,y2)

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? y ? kx ? 1 由? 2 ,得(1-k2)x2+2kx-2=0, 2 ?x ? y ? 1
又∵直线 AB 与双曲线左支交于 A、B 两点,

?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ( 2k ) ? 8(1 ? k ) ? 0 ? 故有 ? x ? x ? ? 2k ? 0 1 2 ? 1? k2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 1 ? k2 ?
解得- 2 <k<-1

x1 ? x2 k 1 ? , y0 ? kx0 ? 1 ? 2 2 2 ?1? k k ?1 1 2 y0 ? 0 1 l的斜率为 ? k ?1 ? 2 k x0 ? 2 ? 2 2k ? k ? 2 2 k ?1 1 ? l的方程为y ? 2 ( x ? 2). 2k ? k ? 2 2 令x ? 0, 则b ? 2 , 又k ? ( ? 2 ,?1) 2k ? k ? 2 设Q ( x0 , y0 ), 则x0 ? ? 2k 2 ? k ? 2 ? ( ?1,2 ? 2 ),即b ? 2 ? 2或b ? ?2.
7 解 由抛物线 y2=4x,得焦点 F(1,0),准线 l x=-1 (1)设 P(x,y),则 B(2x-1,2y),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点 B 到 l 的距离为 d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x-2)2+(2y)2=2x(2x -2),化简得 P 点轨迹方程为 y2=x-1(x>1) (2)设 Q(x,y),则
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1 5 |MQ|= ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? x ? 1 [ x ? (m ? )]2 ? m ? ( x ? 1) ? 2 4
1 3 1 5 ≤1,即 m≤ 时,函数 t=[x-(m- )2]+m- 在(1,+∞) 2 2 2 4 上递增,故 t 无最小值,亦即|MQ|无最小值 1 3 1 5 1 (ⅱ)当 m- >1,即 m> 时, 函数 t=[x2-(m- )2]+m- 在 x=m- 2 2 2 4 2
(ⅰ)当 m-
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处有最小值 m-
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5 5 ,∴|MQ|min= m ? 4 4

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8 解 (1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,O 为原点,建立平面直 角坐标系,?
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∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4 ∴曲线 C 为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆
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设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1

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x2 2 +y =1 5 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+2,
∴曲线 C 的方程为
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x2 2 +y =1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0 5 3 Δ =(20k)2-4?15(1+5k2)>0,得 k2> 5
代入 由图可知

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DM x1 =λ ? DN x2

y D N x2 M x1 o

20k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 5k 2 由韦达定理得 ? ? x ? x ? 15 ? 1 2 1 ? 5k 2 ? 将 x1=λ x2 代入得
? 400k 2 2 2 ( 1 ? ? ) x ? ? 2 ? (1 ? 5k 2 ) 2 ? ??x 2 ? 15 2 ? 1 ? 5k 2 ?
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x

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两式相除得

(1 ? ?) 2 400k 2 80 ? ? 2 ? 15(1 ? 5k ) 3(5 ? 1 ) k2 3 1 5 1 20 ? k 2 ? ,? 0 ? 2 ? ,?5 ? 2 ? ,即4 ? 5 3 k k ?5 3

80 16 ? 1 3 3( 2 ? 5) k
① ②

?4 ?
?? ?

(1 ? ?) 2 16 DM 1 ? ,? ? ? ? 0,?解得 ? ? ? 3 ? 3 DN 3
x1 DM ? , M 在 D、N 中间,∴λ <1 x2 DN

又∵当 k 不存在时,显然λ =
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DM 1 (此时直线 l 与 y 轴重合) ? DN 3

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课前后备注 学法指导 怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合 借助纯代数的解决手段研究 曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系, 从数学家笛卡尔开创了坐 标系那天就已经开始 高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有 为此 需要我们做到 1 重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质 这些都是圆锥曲线 的基石,高考中的题目都涉及到这些内容 2 重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象 难度较大 所以要掌握住一般方法 定义法、直接法、待定系数法、相关 点法、参数法等 3 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 此处一直为高考的 热点 这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中 点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦 长公式及韦达定理联系去解决 这样加强了对数学各种能力的考查 4 重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解 题过程 (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线 与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理, 就简化解题运算量
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(2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点, 在变化过程中会引入一些相互联系、 相互 制约的量,从而使一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在
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处理这类问题时就很有效 (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法 此要加强坐标法的训练
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近几年都考查了坐标法,因

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