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2016年朝阳区高三一模考试数学(理)试卷


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2016 高三一模

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷(理工类) 2016.3
本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 4

0 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. i 为虚数单位,复数 A. 1 ? i
2i ? 1? i

B. ?1 ? i

C. ?1 ? i

D. 1 ? i

2.已知全集 U ? R ,函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域为 M ,集合 N ? x x 2 ? x ? 0 ,则下列结论 正确的是 A. M ∩ N ? N C. M ∩ N ? U 3.“ a ? b ”是“ e a ? eb ” 的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.42 B.19 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.8 D.3 B. M ∩( D. M ?(
U

?

?

N) ? ? N)

U

5.在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 (a 2 ? c 2 ? b2 ) tan B ? 3ac ,则 角 B 的值为 A.
π 3

B.

π 6

C.

π 2π 或 3 3

D.

π 5π 或 6 6

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6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是 A.收入最高值与收入最低值的比是 3 :1 B.结余最高的月份是 7 月(注“结余=收入 ? 支出”) C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月的收入的变化率相同 D.前 6 个月的月平均收入为 40 万元

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 A.
1 3

B.

1 2

C.1

D.

3 2

8.若圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? r 2 与曲线 ( x ? 1) y ? 1 没有公共点,则半径 r 的取值范围是 A. 0 ? r ? 2 C. 0 ? r ? 3 B. 0 ? r ? D. 0 ? r ?

11 2 13 2

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第二部分(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡上.

1? ? 9.二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中含 x 4 的项的系数是 x? ?

5

(用数字作答) .

10.已知等差数列 ?an ? (n ? N* ) 中, a1 ? 1 , a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ?



a2 ? a6 ? a10 ? ? ? ? ? a4 n ?10 ?



?x ? 2 ? t , 11.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 ,曲线 C2 的参数方程为 ? ?y ? t

( t 为参数) .以原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标 为 ... .

?x ≥ 0 , ? 12.不等式组 ? y ≤ x , 所表示的平面区域为 D .若直线 y ? a ? x ? 1? 与区域 D 有公共 ?2 x ? y ? 9 ≤ 0 ?
点,则实数 a 的取值范围是 .
???? ? 1 ??? ? ???? 13.已知 M 为 △ ABC 所在平面内的一点,且 AM ? AB ? n AC .若点 M 在 △ ABC 的内部 4

(不含边界) ,则实数 n 的取值范围是 . 14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第

i ( i ? 1 ,2 , ?, 12 )项能力特征用 xi 表示,
?0 ,如果某学生不具有第i项能力特征, xi ? ? ?1 ,如果某学生具有第i项能力特征.

a2 , ?,a12 ? ,B ? ? b1 , b2 , ?, b12 ? , 若学生 A ,B 的十二项能力特征分别记为 A ? ? a1 ,
则 A , B 两名学生的不同能力特征项数为 (用 ai , bi 表示) .如果两个同学不同

能力特征项数不少于 7,那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有 3 名学生 . 两两综合能力差异较大,则这 3 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分)

?x 1 3 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? 3 cos 2 ,? ? 0 . ? 2 2 2
⑴ 若 ? ? 1 ,求 f ? x ? 的单调递增区间;

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?π? ⑵ 若 f ? ? ? 1 ,求 f ? x ? 的最小正周期 T 的最大值. ?3?
16. (本小题满分 13 分) 为了解学生暑假阅读名著的情况, 一名教师对某班级的所有学生进行了调查, 调查结果 如下表. 阅读名著的本数(本) 男生人数(人) 女生人数(人) 1 1 0 2 4 1 3 3 3 4 2 3 5 2 1

⑴ 从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为 4 的概 率? ⑵ 若从阅读名著不少于 4 本的学生中任选 4 人,设选到的男学生人数为 X ,求随机变 量 X 的分布列和数学期望;
2 ⑶ 试判断男学生阅读名著本数的方差 s12 与女学生阅读名著本数的方差 s2 的大小 (只需

写出结论) . 17. (本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 AA1 B1 B 中,∠ A1 AB ? 90? , A1 B1 ∥ AB , AB ? AA1 ? 2 A1 B1 ? 2 ,直角 且使得平面 AA1C1C ⊥ 平面 梯形 AA1C1C 通过直角梯形 AA1 B1 B 以直线 AA1 为轴旋转得到, AA1 B1 B . M 为线段 BC 的中点, P 为线段 BB1 上的动点. ⑴ 求证: A1C1 ⊥ AP ; ⑵ 当点 P 是线段 BB1 的中点时,求二面角 P ? AM ? B 的余弦值; ⑶ 是否存在点 P ,使得直线 A1C ∥ 平面 AMP ?如果存在,求出 请说明理由.

BP 的值,若不存在, PB1

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x , a ? R . ⑴ 求函数 f ? x ? 的单调区间; ⑵ 当 x ? ?1,2? 时,都有 f ? x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围;

3? 存在多少条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切?并说明理由. ⑶ 试问过点 P ?1,
19. (本小题满分 14 分) 已知点 P
x2 y 2 ? ?1. 4 2 ⑴ 设椭圆的两个焦点分别为 F1 ,F2 ,试求 △ PF1 F2 的周长及椭圆的离心率;

?

2, 1 和椭圆 C :

?

⑵ 若直线 l : 2 x ? 2 y ? m ? 0 ? m ? 0 ? 与椭圆 C 交于两个不同的点 A ,B ,直线 PA ,PB 与 x 轴分别交于 M ,N 两点,求证: PM ? PN . 20. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3n ? 1 n ? N* .设数列 ?bn ? 为等比数列,且 bn ? akn . ⑴ 若 b1 ? a1 ? 2 ,且等比数列 ?bn ? 的公比最小, ①写出数列 ?bn ? 的前 4 项; ②求数列 ?kn ? 的通项公式; ⑵ 证明:以 b1 ? a2 ? 5 为首项的无穷等比数列 ?bn ? 有无数多个.

?

?

(试卷为手动录入,难免存在细微差错,如您发现试卷中的问题,敬请谅解!转载请注明出 处! )


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