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球的体积与表面积(上课)


球的体积
如果球的半径为R,那么它的体积为:

4 3 V ? ?R 3

球的表面积

如果球的半径为R,那么它的表面积 为:

S球 ? 4? R

2

例题
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二; (2)球的表面积与圆柱的侧面积 相等.
O

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 4 ? V球 ? ? R 3 3 2 3 V圆 柱 ? ? R ? 2R ? 2? R R O

2 ? V球 ? V圆柱 3 (2) S 球 ? 4?R 2
S圆柱侧 ? 2?R ? 2 R ? 4?R 2

? S 球 ? S圆柱侧

例题
例2.如图,已知球O的半径为R,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都 在球O的球面上,求证: ? 3 a R
2
D A C1 B1 A1 D1 B1 O C1 B C

D A D1 A1 O B

C

分析:正方体内接于 球,则由球和正方体 都是中心对称图形 可知,它们中心重合, 则正方体对角线与 球的直径相等.

例题讲解

例2.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)

例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ?x 3 ] ? 142 3 2 3
x
3

5 3 142? 3 ?( ) ? ? 11.3 2 7.9 ? 4?

由计算器算得:

x ? 2.24
2 x ? 4 .5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体

侧棱长为5cm
S ? 6 ? 5 ? 150cm
2 2

小结
4 3 球的体积公式: V球 ? πR 3
球的表面积公式: S 球 ? 4?R
2



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