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专题探究课三 高考中数列问题的热点题型


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等差数列、等比数列的综合问题 数列的通项与求和

数列与不等式的综合问题

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等差数列、等比数列的综合问题

数列的通项与求和是高考必考的一种题型,重点在于灵活运 用等差、等比的定义、性质、通项公式与前 n 项和公

式.同时要 重视方程思想的应用.

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等差数列、等比数列的综合问题

【例 1】(满分 12 分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 等比数列{bn}的公比为 q, 已知 b1=a1, b2=2, q=d,S10=100.(1) 求数列{an},{bn}的通项公式; an (2) 当 d>1 时,记 cn=b ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n
? ? ?10a1+45d=100, ?2a1+9d=20, 即? (2 (1)由题意有? ? ? ?a1d=2, ?a1d=2,

分)

a1=9, ? ? ? a = 1 , ? 1 解得? 或? 2 (4 ? ?d=2 ?d= . ?

分)

9 1 ? an= (2n+79), ? 9 ?an=2n-1, ? 故? 或? (6 分) n-1 ? ? ? 2 ? bn = 2 ?bn=9· ? ?n-1. ? 9
? ?
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等差数列、等比数列的综合问题

【例 1】(满分 12 分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 等比数列{bn}的公比为 q, 已知 b1=a1, b2=2, q=d,S10=100.(1) 求数列{an},{bn}的通项公式; an (2) 当 d>1 时,记 cn=b ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n 2n-1 n- 1 (2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2 ,故 cn= n-1 ,(7 分) 2 2n-1 3 5 7 9 于是 Tn=1+ + 2+ 3+ 4+…+ n-1 ,① 2 2 2 2 2 2n-1 1 1 3 5 7 9 T = + + + + +…+ n .②(8 分) 2 n 2 22 23 24 25 2 2n-1 1 1 1 1 ①-②可得 2Tn=2+2+22+…+ n-2- 2n (10 分) 2 2n+3 2n+3 =3- n ,(11 分) 故 Tn=6- n-1 .(12 分) 2 2
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等差数列、等比数列的综合问题

(1)由题意列出方程组得 2 分; (2)解得 a1 与 d 得 2 分,漏解得 1 分; (3)正确导出 an,bn 得 2 分,漏解得 1 分; (4)写出 cn 得 1 分; (5)把错位相减的两个式子,按照上下对应好,再相减,就能 正确地得到结果,本题就得满分,否则就容易出错,丢掉一些分 数.

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等差数列、等比数列的综合问题

用错位相减法解决数列求和的模板.
第一步

(判断结构)若数列{an· bn}是由等差数列{an}与等比数列 {bn}(公比 q)的对应项之积构成的,则可用此法求和.

第二步
第三步 第四步

(乘公比)设{an· bn}的前 n 项和为 Tn,然后两边同乘以 q.

(错位相减)乘以公比 q 后,向后错开一位,使含有 qk(k∈N*)的项对应,然后两边同时作差.

(求和)将作差后的结果求和,从而表示出 Tn.

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等差数列、等比数列的综合问题

(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要 首先求解的中间问题, 如为求和需要先求出通项、 为求出通项 需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的逻辑次序. (2)等差数列和等比数列可以相互转化, 若数列{bn}是一个 公差为 d 的等差数列, 则{abn}(a>0, a≠1)就是一个等比数列, 其公比 q=ad;反之,若数列{bn}是一个公比为 q(q>0)的正项 等比数列,则{logabn}(a>0,a≠1)就是一个等差数列,其公差 d=logaq.

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等差数列、等比数列的综合问题

【训练 1】设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an} 的前 n 项和,已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项; (2)令 bn=ln a3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解析

? ?a1+a2+a3=7, ?a2=2. (1)由已知得? ? ?(a1+3)+(a3+4)=6a2

2 设数列{an}的公比为 q,由 a2=2,可得 a1=q,a3=2q, 2 又 S3=7,所以q+2+2q=7,即 2q2-5q+2=0.
1 解得 q=2 或 q= ,∵q>1,∴q=2,∴a1=1 2 - 故数列{an}的通项为 an=2n 1.

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等差数列、等比数列的综合问题

【训练 1】设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an} 的前 n 项和,已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项; (2)令 bn=ln a3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

(2)由(1)得 a3n+1=23n, ∴bn=ln 23n=3nln 2.

又 bn+1-bn=3ln 2,∴数列{bn}为等差数列.
n(b1+bn) ∴Tn=b1+b2+…+bn= 2

n(3ln 2+3nln 2) 3n(n+1) = = ln 2. 2 2

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热点二

数列的通项与求和

数列的通项与求和是高考必考的一种题型, 重点在于灵活运 用等差、等比的定义、性质、通项公式与前 n 项和公式.其中求 通项是解答题目的基础.同时要重视方程思想的应用.

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数列的通项与求和

教材原题

(人教 A 必修

? ? 1 ? ? ? 5P47B4)数列 n(n+1)?的前 ? ? ? ?

n

1 1 1 1 1 项和:Sn= + + + +…+ ,研究一 1×2 2×3 3×4 4×5 n(n+1) 下, 能否找到求 Sn 的一个公式. 你能对这个问题作一些推广吗? 解题方法 裂项相消法求和.

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数列的通项与求和

例 2 (2015· 全国Ⅰ卷)Sn 为数列{an}的前 n 项和. 已知 an>0, a2 (1)求{an}的通项公式; n+2an=4Sn+3. 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. anan+1

(1)解

可知 a2 由 a2 n+1+2an+1=4Sn+1+3. n+2an=4Sn+3,
2 两式相减可得 a2 n+1-an+2(an+1-an)=4an+1,
2 即 2(an+1+an)=a2 n+1-an=(an+1+an)(an+1-an).

由于 an>0,可得 an+1-an=2. 解得 a1=-1(舍去),a1=3. 又 a2 1+2a1=4a1+3,

所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 通项公式为 an=2n+1.
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数列的通项与求和

例 2 (2015· 全国Ⅰ卷)Sn 为数列{an}的前 n 项和. 已知 an>0, a2 (1)求{an}的通项公式; n+2an=4Sn+3. 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. anan+1

(2)由 an=2n+1 可知 1 1 bn= = anan+1 (2n+1)(2n+3) 1 ? 1? ? 1 = ?2n+1-2n+3? ?. 2? ? 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn ? 1 ? 1 ? 1 1? ?1 1? 1? ?? ? ? = ??3-5?+?5-7?+…+?2n+1-2n+3?? ? 2?? ? ? ? ? ?? n = . 3(2n+3)
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数列的通项与求和

(1)根据所给条件的特点,确定合适的方法求通项,如根据 an 与 Sn 的关系求 an,根据递推关系求 an. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法,常用的还有分组求 和,裂项求和,错位相减法求和.

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数列的通项与求和

训练 2 数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. ?an? (1)证明:数列? n ?是等差数列; ? ? (2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an+1 an (1)证明 由已知可得 an+1 = an + 1 , 即 - =1. n+1 n n n + 1 ?an? a1 ? ? 所以 n 是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列. 1
an 2 n 由 (1) 得 = 1 + ( n - 1)· 1 = n , (2)解 所以 a = n . 从而 b = n · 3 . n n n
? ?

Sn=1· 31+2· 32+3· 33+…+n· 3n,① 3Sn=1· 32+2· 33+…+(n-1)· 3n+n· 3n+1.② + ①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n· 3n 1 n+ 1 3· (1-3n) ( 1 - 2 n ) · 3 -3 n+1 = -n· 3 = . 2 1-3 (2n-1)· 3n+1+3 所以 Sn= . 4
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热点三

数列与不等式的综合问题

数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断 数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的 恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决 这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比 较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题,要使用不等式 的各种不同解法,如数轴法、因式分解法等.

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热点突破 热点三 数列与不等式的综合问题 [微题型1] 放缩法证明数列不等式 例 3-1 (2014· 广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 2 2 * Sn,且 Sn 满足 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N . (1)求 a1 的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整 1 1 1 1 数 n,有 + +…+ < . a1(a1+1) a2(a2+1) an(an+1) 3 2 2 * (1)解 由题意知,S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N . 2 2 令 n=1,有 S2 1-(1 +1-3)S1-3×(1 +1)=0,
可得 S2 解得 S1=-3 或 2,即 a1=-3 或 2, 1+S1-6=0, 又 an 为正数,所以 a1=2. 2 2 * (2)解 由 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N , 可得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0, 则 Sn=n2+n,或 Sn=-3, 又数列{an}的各项均为正数,所以 Sn=n2+n, an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n. 所以当 n≥2 时, 又 a1=2=2×1,所以 an=2n,n∈N*. 所以 an=2n(n∈N*).
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热点突破 热点三

数列与不等式的综合问题

例 3-1 (2014· 广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 2 2 * Sn,且 Sn 满足 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N . (1)求 a1 的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整 1 1 1 1 数 n,有 + +…+ < . a1(a1+1) a2(a2+1) an(an+1) 3

1 1 1 1 = = < 成立; (3)证明 当 n=1 时, a1(a1+1) 2×3 6 3 1 1 1 < 当 n≥ 2 时, = an(an+1) 2n(2n+1) (2n-1)(2n+1) 1 ? 1 1 1 1? ? 1 ? 所以 + +…+ < = ?2n-1-2n+1?, 2? a1(a1+1) a2(a2+1) an(an+1) ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? 1 1? 1 1? ?1 ? 1 1 1 ?? ? ? ? + ??3-5?+…+?2n-1-2n+1?? =6+2?3-2n+1?<6+6=3. 6 2?? ? ? ? ? ?? 1 1 1 1 所以对一切正整数 n, 有 + +…+ < . a1(a1+1) a2(a2+1) an(an+1) 3
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数列与不等式的综合问题

数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到.即 先放缩再求和或先求和再放缩.

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[微题型2]

数列与不等式的综合问题

数列中不等式的恒成立问题

例 3-2 已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28, 且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog1an,Sn=b1+b2+…+bn,对任意正整数 n,Sn+
2

(n+m)an+1<0 恒成立,试求 m 的取值范围.
解析(1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8. 1 ? 3 ? ? ?a1q+ a1q = 20, ?q= 2, ?q= , 2 ? ? ∴a2+a4=20,∴? 解得 或 2 ? ? ?a3= a1q = 8, ?a1= 2 ? ?a1=32. ? q = 2 , ? 又{an}单调递增,∴? ∴an=2n. ? ?a1=2. 1 n (2)bn=2n·log2 2 =-n· 2n, ∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
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数列与不等式的综合问题

例 3-2 已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28, 且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog1an,Sn=b1+b2+…+bn,对任意正整数 n,Sn+
2

(n+m)an+1<0 恒成立,试求 m 的取值范围.

∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,② ①-②,得 Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1 2(1-2n) + + + = -n×2n 1=2n 1-n×2n 1-2. 由 Sn+(n+m)an+1<0, 1-2 得 2n+1-n×2n+1-2+n×2n+1+m×2n+1<0 对任意正整数 n 恒成立, 1 n+ 1 n+1 ∴m·2 <2-2 ,即 m< n-1 对任意正整数 n 恒成立. 2 1 ∵ n-1>-1,∴m≤-1, 即 m 的取值范围是(-∞,-1]. 2
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数列与不等式的综合问题

数列中有关项或前 n 项和的恒成立问题,往往转化为数列的最 值问题;求项或前 n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或 基本不等式求解.

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数列与不等式的综合问题

训 练 3 (2014· 浙 江 卷 ) 已 知 数 列 {an} 和 {bn} 满 足 a1a2a3…an = ( 2)bn(n∈N*). 若{an}为等比数列, 且 a1=2, b3=6+b2.(1)求 an 与 bn; 1 1 (2)设 cn=a -b (n∈N*).记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. n n ①求 Sn;②求正整数 k,使得对任意 n∈N*均有 Sk≥Sn.
(1)由题意 a1a2a3…an=( 2)bn,b3-b2=6, 解: 知 a3=( 2)b3-b2=8.

又由 a1=2,得公比 q=2(q=-2 舍去),
所以数列{an}的通项为 an=2n(n∈N*). n(n+1) n(n+1). 所以,a1a2a3…an=2 = ( 2) 2

故数列{bn}的通项为 bn=n(n+1)(n∈N*).

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数列与不等式的综合问题

训 练 3 (2014· 浙 江 卷 ) 已 知 数 列 {an} 和 {bn} 满 足 a1a2a3…an = ( 2)bn(n∈N*). 若{an}为等比数列, 且 a1=2, b3=6+b2.(1)求 an 与 bn; 1 1 (2)设 cn= - (n∈N*).记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. an bn ①求 Sn;②求正整数 k,使得对任意 n∈N*均有 Sk≥Sn. 1 ? 1 1 1 ? ?1 * (2)①由(1)知 cn=a -b = n-?n-n+1? ( n ∈ N ), ? 2 ? n n ? 1 1 所以 Sn= - n(n∈N*). ②因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0; 2 n+1 ?n(n+1) ? 1 ? ? c = -1?, 当 n≥5 时, n n(n+1)? n 2 ? ? n(n+1) (n+1)(n+2) (n+1)(n-2) 而 - = >0, 2n 2n+1 2n+1 n(n+1) 5· (5+1) 得 ≤ <1, 所以,当 n≥5 时,cn<0. 5 n 2 2 综上,对任意 n∈N*恒有 S4≥Sn,故 k=4.
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(见教辅)

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