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广雅中学2011届高三10月月考(理数)


广雅中学 2010-2011 学年度上学期高三 10 月月考
理科数学试卷 2010.10.
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 【注意事项】 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题的答案一律做在答题卡上,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号

涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不准使用 铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z ?

2i 在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2.若全集 U={l,2,3,4},且 [u A ={2} ,则集合 A 的真子集共有 A.3 个 B.5 个 C.7 个 D.8 个

3.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且它的体积为 何体的俯视图可以是

1 ,则该几 2

?y ?1 ? 4.若变量 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 z=x-2y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 5.某程序框图如右图所示,现执行该程序,输入如下四个函数:

f ( x) ? ln(1 ? x 2 ) , f ( x) ? sin x , f ( x) ? 1 ? x 2 ,

f ( x) ?

1 cos x ? 1,则可以输出的函数是 2
2

A. f ( x) ? ln(1 ? x ) C. f ( x) ? 1 ? x
2

B. f ( x) ? sin x D. f ( x) ?

1 cos x ? 1 2

* 6.若 ?an ? 为等差数列, p, q, m, n ? N ,则“ m ? n ? p ? q ” am ? an ? a p ? aq ”的 “

1

A.充分不必要条件 C. 充要条件 7.已知椭圆

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 a2 b a b 5 A. 4 x ? 5 y ? 0 B. 5 x ? 4 y ? 0 C. 3x ? 5 y ? 0 D. 5 x ? 3 y ? 0

8.某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为

1 1 1 , , ,则此人 13 11 5

A.不能作出这样的三角形 B.能作出一个锐角三角形 C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9. 某社区对居民进行广州亚运会知晓情况的分层抽样调查.已知该社区的青年人、中年人 和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人,若在老年人中的抽样人数是 70,则在青年 人中的抽样人数应该是 10. 已知向量 a, b 的夹角为 120 ? , | a |? 1, | b |? 3 ,则 | 5a ? b | = 11.函数 f ( x) ?

1 的定义域为 lg( ? x ? 4 x ? 3)
2

. ..... (用区间表示)

1 12. 在 (2 x 2 ? ) 6 二项展开式中,常数项是 x
13.命题“ ?x? R ,使得 e ? x ? 1 ”的否定是
x

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.《坐标系与参数方程》选做题)在极坐标系中,圆锥曲线 ? ? (

4 sin ? 的准线的极坐标方 cos2 ?

程是 . 15.《几何证明选讲》选做题)如图, P 是圆 O 外的一点, PD 为切线, (

D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O , PF ? 6 , PD ? 2 3 ,则

?DFP ?
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文宇说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0, | ? |?

?
2

) 图象的相邻两条对称轴之间的距离等

? , 2

1 且其图象经过点 ? M (0, ) 2
(1)求函数 f (x) 的解析式: (2)求导函数 f ' ( x) 的单调递减区间;

? 4 ? (3)若 f ( ) ? , 0 ? ? ? ,求 cos? 的值, 2 5 3

2

17. (本小题满分 12 分) 由于当前学生课业负担较重, 造成青少年视力普遍下降, 现从高中随机抽取 16 名学生, 经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎业图(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字为叶)如下:

(1)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力” ,求校医从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“好视力”的概率: (2)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据, 若从该校(人数很多)任选 3 人, 记

? 表示抽到“好视力”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ln(2 ? x)( a ? R) .
2

(1)若曲线 y ? f (x) 在 x ? 1 处的切线 l 与圆 x 2 ? y 2 ?

1 相切,求 a 的值; 4

(2)若函数 f (x) 在区间(0,2)上单调递减,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 如图, ?ABC 内接于圆 O ( O 为圆心) AB 是圆 O 的直径, AB =2, BC =l, , 四边形 DCBE 是平行四边形,且 DC ? 平面 ABC . (1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE : (2)若二面角 A ? DE ? C 的大小为 45? ,求直线 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值; (3)在线段 CD 上是否存在一点 M ,使得 MO ∥平面 ADE ?证明你的结论,

3

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,且经过定 ) a 2 b2

3 点 P(1, ) , M ( x0 , y0 ) 为椭圆 C 上的动点,以点 M 为圆心, MF2 为半径作圆 M . 2 (1)求椭圆 C 的方程;
(2)若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,求点 M 横坐标 x0 的取值范围; (3)是否存在定圆 N ,使得圆 N 与圆 M 恒相切?若存在,求出定圆 N 的方程:若不存 在,请说明理由。

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an ?1 ? 2an ? (?1) (n ? N )
n *

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ,求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 an ? an ? 2
1 1 .1 1 ? ? ?? ?3 ??3 a1 a 2 a an

(3)求证:

4

理科数学答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分;满分 40 分,

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 40 10. 7 11. (1,2) ? (2,3) 12. 60 13. ?x ? R ,都有

ex ? x ?1

l4. ? sin ? ? ?1

15. 30?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16.(本小题满分 l4 分) 解:(1) f (x) 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于半个周期,

2? T ? ???2 分 ? ? r ?? ? ?? ? 2 ? 2 2 1 1 ? ? 由 f (0) ? ,得 sin ? ? ,而 | ? |? ,故 ? ? 2 2 2 6


????4 分

? f ( x) ? sin(2 x ? ) 6
(2) f ' ( x) ? 2 cos(2 x ? 由 2k? ? 2 x ?

?

??5 分

?
6

)

?-???7 分

5? (k ? Z ) ??????8 分 6 12 12 ? 5? ?导函数 f ' ( x) 的单调递减区间为 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) ???9 分 12 12 ? 4 ? 4 (3)由 f ( ) ? ,得 sin(? ? ) ? ????lO 分 2 5 6? 5 ? ? ? ? ? 3 ? 0 ? ? ? ,则 ? ? ? ? ,? cos( ? ) ? ???l1 分 ? 3 6 6 2 6 5 ? 2k? ? ? ,得 k? ? ? x ? k?
故 cos? ? cos[( ? ? ????12 分 )? ] 6 6 ? ? ? ? ???l3 分 ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin 6 6? 6 6 3 3 4 1 3 3?4 ?????14 分 .? ? ? ? ? 2 5 s 2 10

?

?

?

?

17.(本小题满分 12 分) 解:(1)设事件 A1 表示所取 3 人中有 i 个人是“好视力” ,至多有 1 人是“好视力”记为事件

A,
P( A0 ) ?
3 C12 11 3 ? C16 28

????2 分

5

P( A1 ) ?

1 2 C4C12 33 ? 3 C16 70

???4 分

11 33 121 ? ? 28 70 140 121 答:至多有 1 人是“好视力”的概率为 140
则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? (2) ? 的可能取值为 O、l、2、3.

?????6 分 ????????7 分

3 27 3 27 1 1 , P(? ? 1) ? C3 . ? ( ) 2 ? P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 64 4 4 64 1 3 1 1 2 3 9 , P(? ? 3) ? ( ) ? P(? ? 2) ? C32 .( ) . ? 4 64 4 4 64

? ? 的分布列为

??? lO 分

27 27 9 1 48 3 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? ? 64 64 64 64 64 4 1 3 1 另法:由 ? ~ B(3, ) 得, E? ? 3 ? ? 4 4 4 18.(本小题满分 I2 分) 2 解:(1) f (1) ? a , f ' ( x) ? 2ax ? ( x ? 2) x?2 E? ? 0 ?

??12 分

?????2 分 ???????3 分

?曲线在点( 1, a )处的切线斜率为 k ? f ' (1) ? 2a ? 2 , ?切线 l 方程为 y ? a ? (2a ? 2)( x ? 1) ,即
2(a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0 .

??????4 分

? l 与圆 x 2 ? y 2 ? 相切,?
解得: a ?

1 4

|2?a| 4( a ? 1) ? 1
2

?

1 2

???5 分

11 8

???6 分

(2)? f (x) 在区间(O,2)上单调递减,

6

? f ( x) ? 2ax ?
得 ax ?

2 ? 0 对 x ? (O,2)恒成立, x?2

????????7 分

1 ?1 1 ,即 a ? 恒成立, ? 2 2?x ? x ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1

?????9 分

等价于 a ? [

1 ]mm ? ? ( x ? 1) 2 ? 1

????10 分

? x ? (0,2)时, 0 ? ?( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 ,?

1 ? 1 ?????11 分 ? ( x ? 1) 2 ? 1

? a ≤l 为所求.
19.(本小题满分 14 分) (1)证:? DC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,? DC ? BC . ???????1 分 ???????2 分 ? AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上一点,? BC ? AC . 又 DC ? AC ? C ,?BC ? 平面 ACD , ????3 分

? DCBE 是平形四边形,? DE // BC ,?DE ? 平面 ACD , ???4 分 ? DE ? 平面 ADE ,?平面 ACD ? 平面 ADE , (2)解;由(1)知 DE ? 平面 ACD ,?DE ? AD , DE ? DC . ??????5 分 ??ADC ? 45? 为二面角 A ? DE ? C 的平面角, ? DC ? 平面 ABC ,? DC ? AC , ? DC ? AC ?
AB 2 ? BC 2 ? 3

由(1)平面 ACD ? 平面 ADE ,交线 AD , 在平面 ACD 内,过 C 作 CF ? AD 于 F ,则 CF ? 平面 ADE ? ?CEF 为 CE 与平面 ADE 所成的角.???????7 分

CF ?

1 6 , CE ? BC 2 ? DC 2 ? 2 AD ? 2 2

在 Rt?CFE 中, sin ?CEF ?

CF 6 ? CE 4
6 ???9 分 4

?直线 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值为

(3)解:在 CD 上存在点 M ,使得 MO ∥平面 ADE , 且该点 M 为 CD 的中点,证明如下:????????10 分 如图,取 AE 中点 N ,连 MO , DN 、 NO , ? M 、 N 、 O 分别为 CD 、 AE 、 AB 的中点,

?ON // BE // CD ,且 ON ? BE ? CD ? DM ,即 ON 和 DM 平行且相等,?l1
分 ???????12 分 ? OMDN 为平行四边形,得 MO ∥ DN , ???????l3 分 ? DN ? 平面 ADE , MO ? 平面 ADE , ? ????????14 分 ? MO ∥平面 ADE . 另法 1:取 BE 的中点 G ,证平面 MGO ∥平面 ADE ,由 MO ? 平面 MGO ,得 MO ∥平

1 2

1 2

7

面 ADE . 另法 2:取 AC 中点 H ,证平面 MHO ∥平面 ADE ,由 MO ? 平面 MHO ,得 MO ∥平面 ADE . 20. (本小题满分 14 分) 解:(1)由椭圆定义得 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ????1 分

3 3 5 3 即 2a ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ? ? 4 2 2 2 2

???2 分

? a ? 2 , 又 c ? 1 , ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ????3 分
故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

????4 分

2 ? (2)圆心 M ( x0 , y0 )到 y 轴距离 d ?| x0 | ,圆 M 的半径 r ? ( x 0 ? 1) 2 ? y 0

?2 若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,则有 r ? d ,即 ( x 0 ? 1) 2 ? y 0 ?| x 0 |
2 化简得 y0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

????6 分

2 2 ?点 M 在椭圆 C 上,? y0 ? 3 ? x0 ,代入以上不等式得:

3 4

2 3x 0 ? 8 x0 ? 16 ? 0 ,解得: ? 4 ? x0 ?

4 3

????8 分

又? ? 2 ? x0 ? 2 ,? ?2 ? x0 ?
2 2

4 4 ,即点 M 横坐标的取值范围是 [?2, ) ???9 分 3 3

(3)存在定圆 N : ( x ? 1) ? y ? 16 与圆 M 恒相切, 其中定圆 N 的圆心为椭圆的左焦点 F1 ,半径为椭圆 C 的长轴长 4。????12 分

?由椭圆定义知, | MF1 | ? | MF2 |? 2a ? 4 ,即 | MF1 |? 4? | MF2 | ?圆 N 与圆 M 恒内切。
21. (本小题满分 14 分) (1)解:? an ?1 ? 2an ? (?1)
n

???14 分

①,

??1 分 ②,

令 a n ?1 ? x ? (?1) n ?1 ? 2[a n ? x ? (?1) n ] ,则 an ?1 ? 2an ? 3x ? (?1) n 由①②得: x ?

1 1 1 ,则 an ?1 ? ? (?1) n ?1 ? 2[an ? ? (?1) n ] ????3 分 3 3 3 1 2 ?数列 ?an ? 1 ? (?1) n ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 2 的等比数列,?4 分 ? ? 3 3 3 ? ? 1 2 1 ? an ? ? (?1) n ? ? 2 n ?1 , a n ? [2 n ? (?1) n ] ????5 分 3 3 3 (2)证:由(1)知

8

bn ?

[2 n ? 2 ? (?1) n ? 2 ] ? [2 n ? (?1) n ] 3 ? 3 ? 2n 2n ? 3? n ? n an ? an ?2 [2 ?(?1)n ]?[2n ? 2 ?(?1)n ? 2 ] [2 ? (?1) n ] ? [2 n ? 2 ? (?1) n ? 2 ]

? 3?[

1 1 ? n?2 )? n 2 ? (?1) 2 ? (?1) n ? 2
n

????7 分

? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn
1 1 1 1 1. 1 1 1 ? 5 ) ??? ( n ? 3 ) ? .( 2 ? 4 ) ? (. 3 ? n?2 )] n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ? 1? 2 ? 1 2 ? (?1) 2 ? (?1) n ? 2
1

? 3[?(

? 3[

1 1 1 1 1 1. ? 2 ? n ?1 ? 2 ) ? 2 ?9 分 ? n? 2 ]?3 ( 1 n ?1 n?2 ? (?1) 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1) ? 2 2 ? 1? 2 ? 1
1

(3)证:由(1)知 a2 n ?1 ?

2 2n ? 1 2 2 n ?1 ? 1 , a 2n ? , 3 3
2n 2 n ?1

?

1 a 2 n ?1

3 ? (2 ? 2 ) 3 ? (2 2 n ? 2 2 n ?1 ) 3 3 1 ? 2 n ?1 2 n ? 2 n ?1 ? 2n ? 2 n ?1 2 n ? a 2n ? 2 ? 22 n ? 2 2 n ?1 ? 1 2 ? 2 ? 2 2 n ?1 ? 1 2 ?1 2 ?1 2
? 3 ? (2 2 n ? 2 2 n ?1 ) 1 1 ? 3( 2 n ?1 ? 2 n ) 2 n ?1 2n 2 ?2 2 2
*

????11 分

当 n ? 2k (k ? N ) 时,

1 1 1 1 ?1 1 ? ? . ?? ?? ? a1 a7 a3 a n ? a1 a2 ?

? ? 1 1 ??? ? ? ?a ? ? 3 a4

? 1 1 ? ?? ? ( ? ) ? a2 k ?1 a2 k ?

(1 ? 2 k ) 1 1 1 1 3 2 ? 3( ? 2 ? 3 ? ? ? ? 2k ] ? 3 ? 2 ? 3 ? 2k ? 3 1 2 2 2 2 2 1? 2
当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时,
*

1

1

????13 分

] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? )? a1 a2 a3 an a1 a2 a3 a4 a2 k ? 3 a2 k ? 2 a2 k ?1 ?( 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? )?3 a1 a2 a3 a4 a2 k ?1 a2 k 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ?3 a1 a2 a3 an
??14 分

综上,

9


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