当前位置:首页 >> 初中教育 >>

名师辅导 立体几何 第1课 平面的概念与性质(含答案解析)


taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

平面的概念与性质(含答案解析) 名师辅导 立体几何 第 1 课 平面的概念与性质(含答案解析)
●考试目标 主词填空 1.平面 (1)平面是理想的、绝对的平且无限延展的. (2)平面是由它内部的所有点组成的点集,其中每个点都是它的元素. 2.平面的基本性质 (1)公理 1:

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且这些公共点的集合是一条过 这个公共点的直线. (3)公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. ●题型示例 点津归纳 【例 1】在空间内,可以确定一个平面的条件是 ( ) 例 A.两两相交的三条直线 B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交 C.三个点 D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点 E. 两条直线 【解前点津 解前点津】 A 中的两两相交的三条直线,它们可能相交于同一点,也可能不交于同一点;若交于 解前点津 同一点,则三直线不一定在同一个平面内. ∴应排除 A. B 中的另外两条直线可能共面,也可能不共面,当另外两条直线不共面时,三条直线是不能确定一个 平面的. ∴应排除 B. 对于 C 来说, 三个点的位置可能不在同一直线上, 也可能在同一直线上, 只有前者才能确定一个平面, 后者是不能的. ∴应排除 C. 条件 E 中的两条直线可能共面,也可能不共面. ∴应排除 E. 只有条件 D 中的三条直线,它们两两相交且不交于同一点,可确定一个平面. 【规范解答 规范解答】 D. 规范解答 【解后归纳 解后归纳】 平面的基本性质(三个公理及公理 3 的三个推论)是研究空间图形性质的理论基础, 解后归纳 必须认真理解,熟练地掌握本题主要利用公理 3 及其推论来解答的. 【例 2】 把下列用文字语言叙述的语句,用集合符号表示,并画直观图表示. 例 (1)点 A 在平面α内,点 B 不在平面α内,点 A、B 都在直线 l 上; (2)平面α与平面β相交于直线 l,直线 a 在平面α内且平行于直线 l. 【解前点津 解前点津】 注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练,有利于提高分析 解前点津 问题、解决问题的能力.正确使用 ? 、 ? 、 ∈ 、 ? 、 ∩ 等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本 题的关键. 【规范解答 规范解答】 (1)A∈α,B ? α,A∈l,B∈l,如图(1); 规范解答

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

(2)α∩β=l,a ? α,a∥l,如图(2).

例 2 题解图 【例 3】 如图,已知:l 不属于α,A、B、C…∈l,AA1⊥α,BB1⊥α,CC1⊥α. 例 求证:AA1、BB1、CC1…共面. 【解前点津 解前点津】 证明 n 条直线共面,首先,选择适当的条件,确定一个平面,然后分别证明直线都在 解前点津 此平面内. 【规范解答 规范解答】 证法一 ∵AA1⊥α,CC1⊥α, 规范解答 ∴AA1∥CC1. ∴AA1 与 CC1 确定平面β,且β⊥α. ∵AC ? β,即 l ? β,而 B∈l, ∴B∈β,又知 BB1⊥α,∴BB1 ? β. ∴AA1、BB1、CC1…共面. 证法二 反证法 由证法 1 得β⊥α于 A1C1, 例 3 题图 假设 BB1 不属于β,在β内作 BB′⊥A1C1(如图). ∴BB′⊥α,已知 BB1⊥α,与过一点引面的垂线,有且只有一条矛盾. ∴BB1 不属于β是不可能的, ∴BB1 ? β, ∴AA1、BB1、CC1…共面. 【解后归纳 解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种. 解后归纳 【例 4】 设平行四边形 ABCD 的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于 A1,B1,C1,D1,E1,F1 六点, 例 求证:A1,B1,C1,D1,E1,F1 六点在同一条直线上. 【规范解答 规范解答】 设平行四边形 ABCD 所在平面为α, 规范解答 ∵A∈β,B∈β,∴AB ? β,又 A1∈AB, ∴A1∈β,又 A1∈α ∴A1 在平面α与平面β的交线上,设交线为 l,则 A1∈l, 同理可证 B1,C1,D1,E1,F1 都在直线 l 上, ∴A1,B1,C1,D1,E1,F1 六点在同一条直线上. 【解后归纳 解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线 解后归纳 例 4 题图 上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的 意图,就是使学生掌握证点共线的一般方法. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.α、β是两个不重合的平面,在α上取 4 个点,在β上取 3 个点,则由这些点最多可以确定平面的个数 为 ( ) A.30 B.32 C.35 D.40 2.下列说法正确的是 ( ) A.如果两个平面α、β有一条公共直线 a,就说平面α、β相交,并记作α∩β=a

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

B.两平面α、β有一公共点 A,就说α、β相交于过 A 的任意一条直线 C.两平面α、β有一个公共点,就说α、β相交于 A 点,并记作α∩β=A D.两平面 ABC 与 DBC 交于线段 BC 3.下列命题正确的是 ( ) A.一点和一条直线确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内 D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内 4.设α、β是不重合的两个平面,α∩β=a,下面四个命题:①如果点 P∈α,且 P∈β,那么 P∈a; ②如果点 A∈α,点 B∈β,那么 AB α;③如果点 A∈α,那么点 B∈β;④如果线段 AB α,且 AB β,那么 AB a. 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.空间四点 A、B、C、D 共面但不共线,那么这四点中 ( ) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底长为 1 的等腰梯形,则这个 平面图形的面积是 ( ) A.

1+ 2 2+ 2 B. C. 1 + 2 D. 2 + 2 2 2 7.已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,那么原三角形 ABC 的面积为 (

)

3 2 3 2 3 2 B. C. D. 6a 2 a a a 2 4 2 8.两条相交直线 l、 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲: 和 m 中至少有一条与β相交, m l 命题乙: 平面α与β相交,则甲是乙的什么条件 ( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要 二、思维激活 9.如果一条直线上有一个点不在平面上,则这条直线与这个平面的公共点最多有 个. 10.不重合的三个平面把空间分成 n 个部分,则 n 的可能值为 . 11.四条线段首尾相连,它们最多确定平面的个数是 . 12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个. . 13.四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=BD=1,则成为空间四面体时,AC 的取值范围是 三、能力提高 14.如图,已知 l1∥l2∥l3,l∩l1=A,l∩l2=B,l∩l3=C.求证:l1、l2、l3、l 共面.
A.

第 14 题图 15.四个点不共面,证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗? 已知:A、B、C、D 是不共面四点. 求证:它们中任何三点都不共线.

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

16.已知△ABC 的三个顶点都不在平面α上, 它的三边 AB、 、 的延长线交平面α于 P、 、 三点. AC BC R Q 求 证:P、R、Q 三点共线.

17.已知空间四边形 ABCD,、 分别是边 AB、 的中点,、 分别是边 BC、 上的点, E H AD F G CD 且 求证:直线 EF、GH、AC 交于一点.

CF CG 2 = = . CB CD 3

第 17 题图 18.已知直线 a,b,c,其中 b,c 为异面直线,试就 a 与 b,c 的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.

第 1 课 平面的概念与性质习题解答
2 1.B C 2 C 1 +C 3 C 1 +2=32. 4 3 3

2.A 3.D 4.C 5.B 6.D

排除法. 有三个交点或只有一个交点. ②③错在条件不充分. 分有三点共线和只有两点共线两类. 根据平面图形斜二测直观图的画法,所求平面图形为四边形,由“横不变”知,四边形为梯形,且上

底边长为 1.容易求得下底边长为 1+ 2 ,由直观图的底角为 45°知这个梯形为直角梯形.再由“竖取半” 知,直腰长为 2,∴S=

1+1+ 2 ·2=2+ 2 . 2 7.C 按斜二测画法还原.

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

8.C 充分性根据公理 2 进行判断,必要性用反证法得到证明. 9.1 公共点最多 1 个,否则直线在平面内,得知直线上所有的点在平面内. 10.4,6,7,8. 11.4 个 可确定 C 2 -2=4 个. 4 12.7 个 这四点构成一个四面体,当平面平行于四个面中某一个面时有四个;当平面平行于三对异面直线 时有三个. 13.(0, 3 ) AC>0,ABCD 为菱形时 AC= 3 .

14.由 l1∥l2,知 l1 与 l2 确定一个平面α,同理 l2、l3 确定一个平面β,由 A∈l1,l1 α,知 A∈α,同理 B∈ α,又 A、B∈l,故 l α,同理 l β. 由上知 l∩l2=B,且 l、l2 α,l、l2 β,因两相交直线 l、l2 确定一个平面,故α与β重合,所以 l1、l2、l3、 l 共面. 15.证明:假设其中有三点共线,如 A、B、C 在同一直线 a 上,点 D ? a. ∴点 D 和 a 可确定一平面α,∴A、B、C、D∈α.与 A、B、C、D 不共面矛盾. 逆命题是:如果四点中任何三点都不共线,那么这四点不共面.逆命题不正确. 16.如图,∵AP∩AR=A,∴AP 与 AR 确定平面 APR 又 P、R∈α, ∴α∩平面 APR=PR. 又 B∈平面 APR,C∈平面 APR, ∴BC 平面 APR,即 Q∈平面 APR. 又 Q∈α,∴Q∈α∩平面 APR=PR. ∴P、Q、R 三点共线. 点评: 点评:欲证三点共线,可以证明某点在经过其余两点的直线上即可. 第 16 题图解 17.∵E、H 分别是 AB、AD 的中点, ∴EH∥BD,EH=

1 BD, 2

CF CG 2 = = , CB CD 3 ∴EH∥FG,EH≠FG,∴四边形 EFGH 为梯形,则 EF 与 GH 必相交,设交点为 P. ∵EF 平面 ABC,∴P∈平面 ABC. 又 P∈平面 DAC,平面 BAC∩平面 DAC=AC. 故 P∈AC,即 EF、GH、AC 交于一点 P. 18.(1)若 a 与 b,c 都相交,a 与 b,a 与 c 都能确定平面,故可确定两个平面. (2)若 a 与 b,c 之一相交,不妨设 a 与 b 相交. ①a∥c,a 与 b,a 与 c 都可确定平面故可确定两个平面. ②a 与 c 不平行,只 a 与 b 确定平面,故可确定一个平面. (3)若 a 与 b,c 都不相交. ①若 a 与 b,c 之一平行,不妨设 a 与 b 平行,只 a 与 b 可确定平面,故确定一个平面. ②若 a 与 b,c 都不平行,又因为都不相交,故不能确定平面. 点评: 点评:此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念,加强严密的逻辑思维,并达 到复习,巩固“分类讨论”的思想方法.
∵F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区


相关文章:
名师辅导 立体几何 第3课 线面平行(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第3课 线面平行(含答案解析) ...性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线...【解后归纳】 要注意对基本概念的理解和灵活运用. ...
名师辅导 立体几何 第7课 平面与平面(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第7课 平面与平面(含答案解析) 平面与平面(含答案解析)平面...2.平面平面平行的判定定理和性质定理 判定定理:如果平面内有两条相交直线...
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
含答案解析) 名师辅导 立体几何 第 10 课 正多面体...2. 球的概念和性质 (1)定义:半圆以它的直径为...则单晶铜的面数 F=x+y,且棱数 E= 1 (3x+8y...
名师辅导 立体几何 第5课 空间的角(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第5课 空间的角(含答案解析) 隐藏>> 本资料来源于《七彩...MC 3 6 a 2 【解后归纳】 主要考察斜线与平面所成角的概念及公式 cosθ ...
名师辅导 立体几何 第6课 空间的距离(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第6课 空间的距离(含答案解析) 隐藏>> 本资料来源于《七彩...平面及其基本性质.平面图形直观图的画法、平行直线、异面 直线所成的角,异面...
名师辅导 立体几何 第8课 棱 柱(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第8课 棱 柱(含答案解析) 隐藏>> 本资料来源于《七彩教育...按侧棱与底位置关系分:直棱柱、斜棱柱 3.性质:(1)侧棱都是相等且平行; (...
名师辅导 立体几何 第2课 空间两条直线(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第2课 空间两条直线(含答案解析) 隐藏>> 本资料来源于《...利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行 的性质定理、向量知识等)实施证明...
名师辅导 立体几何 第9课 棱 锥(含答案解析)
含答案解析) 名师辅导 立体几何 第 9 课棱锥(含...3. 性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么...【解前点津】 棱锥的概念在本题求解中并无作用, ...
名师辅导 立体几何 第5课 空间的角(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第5课 空间的角(含答案解析)_初三数学_数学_初中教育_教育...成角的概念及公式 cosθ=cosθ1· θ2 的应用, cos 证明平面与平面垂直, ...
名师辅导 立体几何 第9课 棱 锥(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第 9 课 棱锥(含答案解析) ●...3. 性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么...【解前点津】 棱锥的概念在本题求解中并无作用, ...
更多相关标签: