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江西奉新三中月考2理


奉新三中 2012 届高三第二次月考数学(理)试卷
命题人:李凌云
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.集合 U ? ?, ?, ?, ?, ?, ?? , S ? ?, ?, ?? , T ? ?, ?, ?? ,则 S ? (CU T ) 等于( (A) ?, ?, ?, ??

?

?

r />?



?

(B) ?, ??

?

C)

???

(D) ?, ?, ?, ?, ??
2

?

2.设 f ? x ? 是定义在R上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? x ,则 f ?1? ? ( (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 ( C. (??,0) )



3、函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域是 A. (??,0] B. [0,??)

D. (??,??)

4.若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是(



(A) (

? ,b) a

(B) (10a,1 ? b)

(C) (

?? ,b+1) a

(D) 2,2b) (a

5.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( .. (A)所有不能被 2 整除的数都是偶数



(B)所有能被 2 整除的数都不是偶数

(C)存在一个不能被 2 整除的数都是偶数 (D)存在一个不能被 2 整除的数都不是偶数 π π 6.设函数 f(x)=sin?2x+4?+cos?2x+4?,则( ? ? ? ? )

π π A.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 ? ? 4 π? π B.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 ? 2 π? π C.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 ? 4 π? π D.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 ? 2 π? 1 7.若 α∈?0,2?,且 sin2α+cos2α= ,则 tanα 的值等于( ) ? 4 2 3 A. B. C. 2 D. 3 2 3 π 8.设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后,所得的图像与原图 3 像重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 C.6 D.9 3

9.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且

?

6

f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是( 2
(A) ?k? ?

?



? ?

?
3

, k? ?

??

? (k ? Z ) 6?

(B) ?k? , k? ?

? ?

??

? (k ? Z ) 2?

(C) ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ? (k ? Z ) 3 ?
n

(D) ?k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?


m 10.函数 f ? x ? ? nx ?1 ? x ? 在区间 0,1 上的图像如图所示,则 m, n 得知可能是(

? ?

(A) m ? 1, n ? 1 (C)

(B) m ? 1, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 1

y 0.5

m ? 2, n ? 1

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________. ..

0.5

1.0

x

12.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 2 5 且 sinθ=- ,则 y=________. 5

?2 x?2 ? , 13.已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则数 k 的 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
取值范围是_______ 14.

?

?

0

cos 2

?
2

d? ? ____

15.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________. 三、解答题(16--19 每小题 12 分,20 小题 13 分,21 小题 14 分) 16.设 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ?

ex 其中 a 为正实数 1 ? ax 2
4 时,求 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。 3

17. 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1 。

(Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期: )求 f ( x ) 在区间 ? ? (Ⅱ

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

π 18.已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? π α (1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos2α,求 α 的大小. ? ? ? ?

19.某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y(单位: 千克)与销售价格 x(单位: a 2 元/千克)满足关系式 y= +10(x-6) ,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千 x-3 克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值;(2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.

20.函数 f(x)=sinxcosx- 3cos(x+π)cosx(x∈R). π 3 (2)若函数 y=f(x)的图象按 b=? , ?平移后得到函数 ?4 2 ? π y=g(x)的图象,求 y=g(x)在?0,4?上的最大值. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

21.已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828?是自然对 数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 1 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不 ? ? ?? 存在,说明理由.

1—10 BAADD DDCCB

11.3,4 12.-8

13.(0,1) 14.

?
2

;

15.2

17.解: ) f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ?
所以 f (x) 的最小正周期为 ? (Ⅱ ? )

?
6

)

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

f (x) 取得最大值 2;当 2 x ?

?
6

??

?

2? ? ? ? . 于是, 2 x ? ? , 即x ? 时, 当 3 6 2 6

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6

?

π π π kπ 18. (1)由 2x+ ≠ +kπ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z.所以 f(x)的定义域为 4 2 8 2 ? ? π kπ π ?x∈R?x≠ + ,k∈Z?.f(x)的最小正周期为 . ? 8 2 2 ? ? π sin?a+4? ? ? α? π? (2)由 f?2?=2cos2α,得 tan?α+4?=2cos2α, =2(cos2α-sin2α), ? ? ?α+π? cos? 4? sinα+cosα π 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因为 α∈?0,4?,所以 sinα+cosα≠0, ? ? cosα-sinα π? π? 1 1 π π (cosα-sinα)2= ,即 sin2α= .由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?,所以 2α= ,即 α= . ? ? 2 2 6 12 a 19. (1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11,a=2. 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2. x-3 2 2 所以商场每日所获得的利润 f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. ? ? 2 从而 f′(x)=10[?x-6? +2?x-3??x-6?]=30(x-4)(x-6).

于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) 0 f′(x) + - f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润 1 1 3 1 3 3 20. (1)f(x)= sin2x+ 3cos2x= sin2x+ (1+cos2x)= sin2x+ cos2x+ 2 2 2 2 2 2 π 3 2π =sin?2x+3?+ .故 f(x)的最小正周期为 T= =π. ? ? 2 2 π? π? π? π 3 3 3 (2)依题意 g(x)=f?x-4?+ =sin?2?x-4?+3 + + =sin?2x-6?+ 3. ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 π π π π π 3 3 π 当 x∈?0,4?时,2x- ∈?-6,3?,g(x)为增,所以 g(x)在?0,4?上的最大值为 g?4?= ? ? ? ? ? ? ? 2 . 6 ? 21.(1)由 f(e)=2 得 b=2. (2)由(1)可得 f(x)=-ax+2+axlnx. 从而 f′(x)=alnx. 因为 a≠0,故: ①当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x>1,由 f′(x)<0 得 0<x<1; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1. 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)当 a=1 时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx. 1 由(2)可得,当 x 在区间? e,e?内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: ? ? x f′(x) f(x) 2 2- e 1 e

?1,1? ?e ?
- 单调递减

1 0 极小值 1

(1,e) + 单调递增

e

2

1 2 又 2- <2,所以函数 f(x)(x∈? e,e?)的值域为[1,2]. ? ? e ? ?m=1, 1 据此可得,若? 相对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都 ? ? ?? ?M=2 ? 有公共点; 1 并且对每一个 t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都没有公 ? ? ?? 共点. 综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t∈[m, 1 M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都有公共点. ? ? ??


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