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6.2电场强度通量 高斯定理


电场强度通量


高斯定理

静电场

6-2

高斯定理

电场线 (Electric field lines) ——电场的图示法

规 1) 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 定 2) 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 ? 该点电场强度的大小. E ? E ? d N / d S ?

S

? E

电场强度通量

高斯定理 点电荷的电场线

静电场

正 点 电 荷

负 点 电 荷

+

电场强度通量

高斯定理

静电场

一对等量异号点电荷的电场线

+

电场强度通量

高斯定理

静电场

一对等量正点电荷的电场线

+

+

电场强度通量

高斯定理

静电场

一对不等量异号点电荷的电场线

2q

?q

电场强度通量

高斯定理

静电场

带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +

电场强度通量

高斯定理

静电场

电场线特性
1) 始于正电荷,止于负电荷 (或来自无穷远,去向无穷远)。 2) 电场线不相交,不闭合。 3) 并不真实存在。

电场强度通量


高斯定理

静电场

电场强度通量(电通量)

?e

物理意义: 通过电场中某一个面的电场线条数 ——电场强度通量

? 1. 均匀电场 ,E 垂直平面
Φe ? E ? S
S

? E

电场强度通量


高斯定理

静电场

电场强度通量(电通量)

通过电场中某一个面的电场线条数叫做通过这个 面的电场强度通量.(标量)

? 2. 均匀电场 , 与平面夹角? E
Φe ? ES cos ?
?
0 ?? ?

? en

S

?
,

? E

? ? Φe ? E ? S
面积矢量

π 2

Φe ? 0

? ?

π 2

,

Φe ? 0

电场强度通量

高斯定理

静电场

3. 非均匀电场或非平面情况下求电通量

? ? d Φe ? E ? d S
Φe ?
?

? E

? en

? ? d S ? dS ? en
?

? E

?

S

dΦe
? ? E ? dS ?

?s

?s E cos ? d S

电场强度通量

高斯定理

静电场

4 闭合曲面的电场强度通量

? ? d Φe ? E ? d S
Φe ?

? E
S
? dS 2

? dS

?

? ? E ? dS ?

S

? E cos ? d S
S

?2

? E2

?

? E

规定:法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。

电场强度通量

高斯定理

静电场

讨论: 判断通过闭合面S的电通量的正负

S
q

? E1

?e ? 0
电场线穿入闭合曲面

?e ? 0
有几条电场线穿进必然有同 样数目的电场线从面内出来。

电场强度通量

高斯定理

静电场

练习1:半径为R的半球面置于电场强度为E的均匀电场 中,选半球面的外法线为面法线正方向,则通过该半球 面的电场强度通量 ? E 为( )

A. B. C. D.

?R E
2

? E
2

? 2?R E 3?R E
2

R

? ?R E
2

电场强度通量

高斯定理

静电场

练习2:正点电荷q在球心处,球半径为r, 求通过球面的电通量。
Φe ?

E ?

q 4 π ? 0r
2

? d Φ ? ? E ? d S ? cos ?
S S

?
?

?

q 4 π? 0r
q
2 2

dS

r
+

? dS

? E

S

4 π? 0r

? dS
S

Φe ?

q

?0

电场强度通量
三 高斯定理

高斯定理

静电场

Φe ?

?
S

? ? 1 E ? dS ?

?0

?q
i ?1

n

i

Gauss,德国 高斯面 1777-1855

在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,

等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ? 0 .

静电场 高斯定理 练习: 在点电荷? 2 q 和 ? q 的静电场中,做如下的

电场强度通量

三个闭合面 S 1 , S 2 , S 3 , 求通过各闭合面的电通量 .
Φ e1 ?

?

? ? 2q E ? dS ?

S1

?0

? 2q

?q

Φe 2 ? 0
Φ e3 ? 2q ? (? q )

S1

S2

S3

?0

电场强度通量

高斯定理

静电场
n

高斯定律 Φe ?

?

? ? 1 E ? dS ?

S

?0

?

qi

i ?1

1)高斯面为任意的封闭曲面,人为选取

2)高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 但仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献. 3)此公式说明静电场是有源场.(物理意义)
4)电磁场基本方程之一,由库仑定律推出,但应用更广

电场强度通量


高斯定理

静电场

高斯定律的应用 ——求静电场的分布

电场强度通量


高斯定理

静电场

用高斯定律求点电荷的电场强度分布

解:以点电荷为球心,半径为r的球面为 高斯面
由高斯 定理
Φe ?

S

Q

?

? ? 1 E ? dS ?

S

?0

?

n

r

qi

i ?1

? ? ? e ? ? E ? dS ?

? E ? dS ? E 4?r
4π r E ?
2

2

E

?q

i

?Q
E ?

Q

?0

Q 4 π ? 0r
2

o

r

电场强度通量

高斯定理

静电场

? 利用高斯定律求静电场的分布( E )
(用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性)
步骤: ? 1.对称性分析,确定 E 的大小及方向分布特征 2.选择一合适的闭合曲面作高斯面,计算电通量及 ? qi

? 3.利用高斯定律求解 E

电场强度通量


高斯定理

静电场

均匀带电球壳的电场强度分布 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄球 壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度.
解:

r
s2
Q

?

? ? 1 E ? dS ?

S

?0

?

n

qi

i ?1

+ + + O + + + R + + + +

+

S1 +

r

4 πr E ?
2

? qi

0?r?R

?0 ? E ? 0
Q 4 π ? 0r
2

E
2

4π ?0R

r?R

E ?

o

R

r

电场强度通量
练习

高斯定理

静电场

均匀带电球体的电场强度
+ + + + + ++ + + +O + + + + R+ + + + +

一半径为 R , 均匀带电 Q 的球体 .

E
E? Qr 4??0 R
3

E ?

Q 4??0 r
2

O

R

r

电场强度通量

高斯定理

静电场

例 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线,电荷线密度为 ? ,求距 直线 处的电场强度.

r

解 对称性分析:轴对称 选取闭合的柱形高斯面 ? ? ? E ? dS ?
? ? ? E ? dS ?
s ( 柱面)

z
+ +

? E
y

S

? ? ? E ? dS ?

? ? ? E ? dS
s ( 下底)

h
x

s ( 上底)

r +o
+

+

?

?

? ? E ? dS

s ( 柱面)

电场强度通量

高斯定理

静电场

?
S

? ? E ? dS ?

? EdS
s ( 柱面)

? E ? 2 π rh

1

?0

?

n

qi ?

?h ?0

z
+ +

i ?1

? E
? y en

E ?

?
2 π ? 0r

h
x

r +o
+

+

电场强度通量 小结

高斯定理

静电场

?电场线
①方向

②疏密

E?

d? e dS ?

?电通量
?e ?

① 计算公式 ② 物理意义
? ? E ? dS ?

?
S

? E ? dS ? cos ?
S

?e ?

? E cos?dS ? ?
S

? ? E ? dS

S

电场强度通量
小结

高斯定理

静电场

高斯定律 Φe ?

?

? ? 1 E ? dS ?

S

?0

?

n

qi

i ?1

步骤: ? 1.对称性分析,确定 E 的大小及方向分布特征
2.选择一合适的闭合曲面作高斯面 ? 3.利用高斯定律求解 E

电场强度通量 高斯定理 均匀带电球壳

静电场

均匀带电球体

+ + + + + O + + + R + + + +

+ + + + + ++ + + +O + + + + R+ + + + +

Q 4π ?0R
2

E

E
R

o

r

O

R

r

电场强度通量

高斯定理

静电场

无限长均匀带电直线

z
+

? E
? y en

+

h
x

r +o
+

+


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