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【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修二课后练习:空间中的垂直关系 一]


学科:数学 专题:空间中的垂直关系
题1 在空间,下列命题正确的是( ) . (A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行 题2 设平面 ? ? 平面 ? ,且 ? 、 ? 分别与 ? 相交于 a 、 b , a // b .求证:平面 ? // 平面 ? .

/>题3 如图, P 是 ?ABC 所在平面外的一点,且 PA ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 PBC .求证 BC ? AC .

题4 已知在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,棱 AA 1 ? 5 , AB ? 12 ,过点 B1 作 B1 E ? A 1 B 于 E ,证 明 B1E ? 平面A1BCD1 ,并求其长度.

题5 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 BB1 的中点, O 是底面正方形 ABCD 的中心. 求证: OE ? 平面 ACD 1.

题6 如图,圆柱的轴截面 ABCD 是正方形,点 E 在底面圆周上, AF ? DE , F 是垂足,求证: AF ? DB .

题7 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60° 且边长为a的菱形.侧面 PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB.

题8 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,E、F、G 分别是 PD、PC、BC 的中点. (I)求证:PA//平面 EFG; (II)求平面 EFG ? 平面 PAD.

题9 如图,在长方形ABCD中, AB=2, BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现 将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设 AK=t,则t的取值范围是__________.

题10 如图,BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,PD⊥BC于D点,则图中共有直角三角形的个数 是( ). A.8 B.7 C.6 D.5

课后练习详解
题1 答案:D. 详解:由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答 案.平行直线的平行投影重合,还可能平行, A 错误;平行于同一直线的两个平面平行,两 个平面可能相交,B 错误;垂直于同一平面的两个平面平行,可能相交,C 错误. 题2 答案:见详解. 证明:在平面 ? 内作直线 a 的垂线 l1 ,垂足为 A , 因为,平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? 平面 ? = a ,所以 l1 ? ?

在平面 ? 内作直线 b 的垂线 l2 ,垂足为 B ,同理可证得 l2 ? ?

? l1 // l2 ,又 l1 ? ? , l2 ? ? ,?l1 // ?
a // b a ? ? , b ? ? ,? a // ?

l1

a ? A, l1 ? ? , a ? ?

?? // ?
题3 答案:见详解. 详解:在平面 PAC 内作 AD ? PC ,交 PC 于 D . 因为平面 PAC ? 平面 PBC 于 PC , AD ? 平面 PAC ,且 AD ? PC , 所以 AD ? 平面PBC . 又因为 BC ? 平面 PBC , 于是有 AD ? BC ①. 另外 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC ②. 由①②及 AD ? PA ? A , 可知 BC ? 平面 PAC . 因为 AC ? 平面 PAC , 所以 BC ? AC . 题4 答案: B1 E ?

60 13

详解:∵ BC ? 平面A1 ABB 1 ,且 B1 E ? 平面AA 1 B1 B ,∴ BC ? B1 E ,又 B1 E ? A 1B , 又 BC ? A1B ? B ,∴ B1E ? 平面A1BCD1 .

在 Rt?A1B1B 中, B1 E ? 题5

60 A1B1 ? BB1 5 ?12 60 ,∴ B1 E ? . ? ? 2 2 13 A1B 13 5 ? 12

证明:连结 AE、CE , D1O ,

设正方体 DB1 的棱长为 a ,易证 AE ? CE .又∵ AO ? OC ,∴ OE ? AC .在正方体 DB1 中 易求出:

? 2 ? 6 ? ? D1O ? DD ? DO ? a ? ? a a, ? 2 ? 2 ? ?
2 1 2 2 2 2 ? 3 ?a? ? OE ? BE ? OB ? ? ? ? ? a? ? a, ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 2 2 2

2

D1 E ? D B ? B1 E ?
2 1 1 2

? ?

3 ?a? 2a ? ? ? ? a . 2 ? 2?
2

2

∵ D1O ? OE ? D1E ,∴ D1O ? OE .
2 2 2

∵ D1O ? AC ? O , D1O 、 AC ? 平面 ACD 1 ,∴ OE ? 平面 ACD 1. 题6 答案:见详解. 详解:由 DA ? 底面 ABE ,知 DA ? BE ;又 E 为底面圆周上一点, AB 为底面圆直径,知 BE ? AE ,故 BE ? 平面 ADE ,则 BE ? AF ,又 AF ? DE ,则 AF ? 平面 BDE ,则 AF ? DB . 题7 答案:见详解. 详解:(1)连接PG,由题知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD, ∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60° , ∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD. 又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD. 所以AD ⊥平面PBG,所以AD⊥PB. 题8

答案:见详解. 详解:证明: (I)取 AD 的中点 H,连结 EH,HG.

∵H,G 为 AD,BC 的中点,∴HG//CD, 又 EF//CD.∴EF//HG,∴E,F,G,H 四点共面, 又∵PA//EH,EH ? 平面 EFGH,PA ? 平面 EFGH, ∴PA//平面 EFG. (II)证明:? AD ? CD , PD ? CD , ∴ CD ? 平面 PAD, ∵EF//CD,∴ EF ? 平面 PAD, ∵ EF ? 平面 EFG,∴平面 EFG ? 平面 PAD. 题9 1 答案:(2,1) 详解:过 K 作 KM⊥AF 于 M 点,连结 DM,易得 DM⊥AF,与折前的图形对比,可知由折前 的图形中 D、M、K 三点共线且 DK⊥AF,于是△DAK∽△FDA,∴ = 1 1 .又 DF∈(1,2),∴t∈( ,1). DF 2 AK AD t 1 = ,又 = ,∴t AD DF 1 DF

题10 答案:A. 详解:所给图形中的△PAC、△PAD、△PAB、△PCD、△PBD、△ACD、△ADB、△ABC 均为直 角三角形,所以共有 8 个直角三角形.


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