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5.1 总体特征数的估计(均值、方差、标准差)


制作:阳志昂

复习 目标

掌握总体平均数和方差的概念. 掌握总体平均数和方差的计算 公式及其在实际问题中的 应用功能. 能较熟练地应用样本的算术平 均数和样本的方差估计总体平 均数和方差,并能结合实际问 题对数据进行分析.

总体平均数
概念 总体中所有数值的总和除以 个体总数所得的商称为总体平均数. 即“总体平均数”为“总体的算术平均值”! 功能 总体平均数能反映总体分 布中大量数据向某一数值集中的情况, 利用总体平均数可以对两个总体的差异 进行比较.

例题
某校高三年级共100人,在一次 英语测验中, 其中60人的平均成绩 120分;另40人的平均成绩123分. 求这次英语测验的总体平均数. 解: 120 ? 60 ? 123 ? 40 x? ? 121.2 60 ? 40 答:总体平均数为121.2 分 .

评注: (1) x 读作“x拔” . 120 ? 123 评注: (2)注意防止 x ? ? 121.5的错误. 2

分组计算算术平均数应注意
注意 如果在n个数据中,x1出
现n1次,x2出现n2次, ,xk出现 nk 次(其中n1 ? n2 ? ? nk ? n), 那么这n个数据的算术平均 数为:

x1n1 ? x2 n2 ? x? n

? xk nk

.

总体平均数的估计

概念

总体平均数的计算,一般在其 个体较少时,进行直接计算. 但在其个体较多或无限时,难 以计算.这时常通过抽取样本,用样 本的算术平均数来推断总体平均数 这种方法称为对“总体平均数的估计”.

例题
被誉为“杂交水稻之父”的中国科学院院士 袁隆平,为了得到良种水稻,进行了大量试 验,下表是在10个试验点对甲、乙两个品种 的对比试验结果:
品 种 各 试 验 点 亩 产 量 (kg)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




390
422

409
448

427
379

397
407

420
392

382
410

397
387

389
437

438
419

432
380

试估计哪个品种的水稻更优秀?

x甲 ? 408.1 x乙 ? 408.1

怎么办呢?

数据的方差
概念 设在一组数据x1,x2, ,xn中,各
2

数据的算术平均数为 x ,那么用 s ? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ( xn ? x) 2 ]来衡 n 量这组数的波动大小,并把 s 2 叫做这组 数据的方差.

大 差

定义:每个数据与平均数的差的平 方和的平均数,叫做方差。

方差则描述一组数据的波动情况, 即偏离算术平均数的大小,或者说数据的 稳定性

小 功能 . 方差越大,数据的稳定性越差; 好

方差越小,数据的稳定性越好!

数据方差的功能

功能

由于总体方差是描述一个总 体的稳定性的特征量,因此可以 通过计算其方差来确定其稳定性, 同样也可以对两个总体的方差进 行大小比较,来确定两个总体的 波动情况,并进一步推断这两个 总体的优劣.

总体方差的估计

概念

总体方差的计算,在其个体较少时,易算; 但在其个体较多或无限时,难以计算.这时常通 过抽取样本,用样本的方差来推断总体方差, 这种方法称为对“总体方差的估计”.
一般在两组数据较多时,采用如下方 法比较其稳定性: (1)分别抽取样本; (2)计算出两个样本的方差; (3)比较样本方差; (4)推断总体方差,并比较两组数据的优劣.

例题
被誉为“杂交水稻之父”的中国科学院院士袁隆 平,为了得到良种水稻,进行了大量试验,下表是 在10个试验点对甲、乙两个品种的对比试验结果: 品 各 试 验 点 亩 产 量 (kg) 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙
390 422 409 448 427 379 397 407 420 392 382 410 397 387 389 437 438 419 432 380

试估计哪个品种的水稻更优秀?

x甲 ? 408.1 x乙 ? 408.1 2 2 s 甲 ? 357.49 s 乙 ? 508.49 甲更优秀

思考
有甲、乙两名运动员,上一赛季教 练给他们的打分是:
甲 乙 101 101 109 98 103 98 105 101 108 115 90 85 75 115 110 102

为了迎接下一赛季的比赛进行调整队 员,如果在甲、乙两名运动员中选择 一位,请问你倾向选谁?为什么?

思考

已知两个样本如下: 甲:89.9 90.2 89.8 90.1 89.8 90 90.2 乙:90.1 89.6 90 90.4 89.7 90.9 90.3 试估计其总体平均数并比较他们的波动性大小? 解:

x甲 =90, x乙 =90
2 甲 2 乙

s ? 0.02, s ? 0.07
答:他们的总体平均数都是90, 甲的波动性较小.

例.为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩,在相同的 条件下对他们进行了6次测验,测得他们的速度(m/s) 分别如下: 甲:2.7 3.8 3. 0 3. 7 3. 5 3. 1 乙:2.9 3.9 3. 8 3.4 3.6 2.8 试根据以上数据,判断他们谁更优秀. 分析:要根据他们6次测验速度比较谁更优秀,首先应比 较他们的平均速度哪个大.如果平均速度一样大,应比较 他们的速度哪个更稳定.
解:根据以上数据,得 甲的平均速度是 x甲 = 2.7 ? 3.8 ? 3.0 ? 3.7 ? 3.5 ? 3.1 =3.3,

乙的平均速度是 x 乙 = ∴甲、乙的平均速度一样大.

2.9 ? 3.9 ? 3.8 ? 3.4 ? 3.6 ? 2.8 6

6

=3.3,

分析:他们的平均速度一样大,应比较他们的速度哪个更稳定.
甲的速度方差是
2 2 2 2 2 2 2 (2.7 ? 3.3 ) ? (3.8 ? 3.3) ? (3.0 ? 3.3) ? (3.7 ? 3.3) ? (3.5 ? 3.3) ? (3.1 ? 3.3) S甲=

=0.15, 乙的速度方差是
2 = S乙

6

=0.127, 2 2 S S ∴ 乙 < 甲 . ∴ 乙的速度方差小,成绩更稳定. ∴ 乙的成绩更优秀.

2 2 2 2 2 2 ( 2.9 ? 3.3 ) ? (3.9 ? 3.3 ) ? (3.8 ? 3.3 ) ? (3.4 ? 3.3 ) ? (3.6 ? 3.3 ) ? (2.8 ? 3.3 ) 6

对总体 的研究

数据较 少时直 接研究 数据较 多时抽 样研究

抽样 方法 总体 估计

统计 结构

总体平均 数估计
数据方 差估计

练习:
1、从九年级某班的一次数学测验中抽取一小组成 绩如下(保留整数): 85 90 80 80 85 75 100

计算这组样本数据的总体平均数和方差.

练习:

2、在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数 如下:

9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,

去掉一个最高分和一个最低分后,求所剩数据的平均 值和方差。

总体平均数为9.5, 方差为0.016

作业:

课本习题5.1 A组1、2 B组3


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