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江苏省扬州市宝应县画川高级中学2016届高三数学10月调研测试试题


201510 高三调研测试 数学试题
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题(每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 P ? ??4, ?2,0,2,4? , Q ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 P ? Q ? 2.已知复数 z 满足 ( z ? 2)i ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z 的模为 ▲ ▲ . .

>
x 2 ? 2ax ? a ? 0 . 3. 已知命题 p : ?x ? R , 若命题 ? p 是真命题, 则实数 a 的取值范围是 ▲
4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? 2 5.函数 y ? cos(2 x ? ▲ .

3? ) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期为 4



.

6.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 和 l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 ( a ? R ) ,则 l1 ? l2 的充要条件是

a ?▲



7.已知 ? 为锐角, cos ? ?

5 ? ,则 tan( ? ? ) ? ▲ . 5 4
a tn A 2 c 则角 A 的大小为 ? , a tn B b

8. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若1 ?
?



.

9.在 ?ABC 中, ?ACB ? 60 , sin A : sin B ? 8 : 5 ,则以 A, B 为焦点且过点 C 的椭圆的离心 率为 ▲ .
?

10.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ? 120 , E 是 BC 的中点,则 AD ? AE = D C ▲ .
E A B

???? ??? ?

11. 已知点 P (a, b) 关于直线 l 的对称点为 P?(b ? 1, a ? 1) , 则圆 C : x 2 ? y 2 ?6 x ? 2 y ? 0 关于 直线 l 对称的圆 C ? 的方程为 ▲ .

12 . 已 知 f ( x) ? log , 若 实 数 m, n 满 足 f ( m) ? f ( 2n ) ,则 m? n 的最小值是 ? 3 x? 2) 2 ( ▲ . 13. 已知曲线 y ? ? a ? 3? x3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线, 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 1 在 ?1, 2? 上 单调递增,则 a 的范围为 ▲ .

-1-

? 1 2 ?? 4 x ,0 ? x ? 2 ? 14.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? , x 1 3 ? ? ?? ? ? ? , x ? 2 ? 4 ? ?2?
若关于 x 的方程 ? f ( x)? ? af ( x) ?
2

7a ? 0, a ? R 有且仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值 16

范围是▲

.

二、解答题(共 6 道题,计 90 分) 15. (本题满分14分) 已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2. (1)求 a·b 的值; (2)求|a+b|的值.

16. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2cos2 x (1)求 f (

? ) 的值; 12

? 6

? 3

(2)求 f ( x) 的最大值及相应 x 的值.

17. (本题满分 15 分)
2 已知命题 p :关于实数 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根;命题 q :关于实数 x

的方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根. (1) 命题“ p 或 q ”真,“ p 且 q ”假,求实数 m 的取值范围. (2) 若关于 x 的不等式 ( x ? m)( x ? m ? 5) ? 0(m ? R) 的解集为 M; 命题 q 为真命题时, m 的取值集合为 N.当 M ? N ? M 时,求实数 m 的取值范围.
2

-2-

18. (本题满分 15 分) 给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x +y =a +b 为椭圆 C 的“伴随圆” .已知椭 圆 C 的离心率为 3 ,且经过点(0,1). 2

x2 y2 a b

2

2

2

2

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的伴 随圆 C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.

19. (本题满分 16 分) 右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形 ABCD,上部是圆弧 AB,该圆弧所在 圆的圆心为 O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中

E,F 在圆弧 AB 上, G,H 在弦 AB 上).过 O 作 OP?AB,交 AB 于 M,交 EF 于 N,交圆弧 AB 于 P.已知 OP=10,MP=6.5(单位:m) ,记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位:m2) .
(1)按下列要求建立函数关系式: (i)设∠POF=θ (rad),将 S 表示成 θ 的函数;
-3-

(ii)设 MN=x (m),将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时,通风窗 EFGH 的面积 S 最大?
P E A H M O N F G B

D

(第 19 题图)

C

20. (本题满分 16 分) 设 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的奇函数, 函数 g ( x) 与 f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 且当 x ? (0,1] 时, g ( x) ? ln x ? ax2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若对于区间 ? 0,1? 上任意的 x ,都有 | f ( x) |? 1 成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

班级 姓名 201510 高三调研测试 数学答题纸 学号 一、填空题:本大题共 14 小题,共计 70 分 1.________________ 5._______________ 9. _______________ 2._____________ 6.______________ 10.____________ 3._______________ 7._______________ 11.______________ 4.____________ 8.____________ 12.___________

13._______________ 14._______________

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)

16. (本小题满分 14 分)

17. (本小题满分 15 分)

-5-

18. (本小题满分 15 分)

19. (本小题满分 16 分)

20. (本小题满分 16 分)

-6-

201510 高三调研测试 数学附加题 (满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21.已知二阶矩阵 M 属于特征值 3 的一个特征向量为 e ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将点

?

?1? ?1?

(?1, 2) 变成点 (9, 15) ,求出矩阵 M.

M 是棱 A1D1 22.如图所示,ABCD ? A1B1C1D1 是长方体, 已知 AB ? 3 ,AD ? 4 ,AA 1 ?2,
的中点,求直线 AM 与平面 BB1D1D 所成角的余弦值.

23. 已 知

(x ?

1 2 x

)n

的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)求展开式中所有二项式系数的和. (3)求展开式中所有项系数的和.

24.某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有 1 个红球,1 个白球,3 个黑 球的袋中一次随机的摸 2 个球,设计奖励方式如下表: 结果 1红1白 1红1黑 2黑 1白1黑 奖励 10 元 5元 2元 不获奖

(1)某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率.

-7-

班级 姓名 学号 21.(满分 10 分) 201510 高三调研测试 数学附加题(答题纸) (满分 40 分,考试时间 30 分钟)

22.(满分 10 分)

23.(满分 10 分)

-8-

24.(满分 10 分)

-9-

201510 高三调研测试 数学试题答案 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1、 ?0, 2? 8、 2、1-i 9、 3、 0 ? a ? 1 10、1 4、0 5、 ? 6、

? 3

1 3

7、 ? 3 12、7

7 13
14. ( ,

11、 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 10

13、 ? ??,0?

7 16 ) 4 9

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解: (1)由|a-b|=2,得|a-b| 2 ? a 2 ? 2a·b ? b 2 ? 4 ? 1 ? 2 a·b ? 4 ,∴ a·b ?

1 . 2

1 (2)|a+b| 2 ? a 2 ?2 a·b ? b 2 ? 4 ? 2 ? ? 1 ? 6 ,∴ |a+b| ? 6 . ?14 分 2
16、 (1) f (

?

12 ? ? ? ? sin ? cos ? 1 ? cos 3 2 6 3 3 ? ? 0 ?1? 2 2

) ? sin(2 ?

? ? ? ? ? ) ? cos(2 ? ? ) ? 2cos2 12 6 12 3 12
????????2 分

?

? 3 ? 1 ????6 分
(1)? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2cos2 x

? 6

? 3

? ? ? ? ? sin 2x cos ? cos2x sin ? cos2 x cos ? sin 2 x sin ? 2cos2 x ? 1 ???10 分 6 6 3 3 ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,?????????12 分 6 ? ?当 sin(2 x ? ) ? 1 时, f ( x)max ? 2 ? 1 ? 3 , 6 ? ? ? 此时, 2 x ? ? 2k ? ? , 即 x ? k ? ? (k ? Z) ,??????14 分 6 2 6
?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 17、解: (1)若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两不等的负根,则 ? ?m ? 0 题 p :m ? 2 ,
2
2 2

?

解得 m ? 2 即命

若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0 解得:1<m<3.即命题 q :1<m<3. 由题意知,命题 p、q 应一真一假, ?m ? 2 ?m ? 2 即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真.∴ ? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3 解得:m≥3 或 1<m≤2.
- 10 -

(2) (2)∵ M ? N ? M ∴ N ? M

? M ? (m ? 5, m), N ? (1,3) ?m ? 5 ? 1 ,解得: 3 ? m ? 6 . ?? ?m ? 3
18、解: (1)记椭圆 C 的半焦距为 c. 由题意,得 b=1, = 解得 a=2,b=1.

c a

3 2 2 2 ,c =a +b , 2 ?????? 4 分

(2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y =1,圆 C1 的方程为 x +y =5. 4 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0.?????? 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,

x

2 2 2 2

kx+m, ? ?y= 2 故方程组?x 2 ? 4 +y =1 ?
2 2

(*) 有且只有一组解.
2

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0. 从而△=(8km) -4(1+4k )( 4m -4)=0. 化简,得 m =1+4k .①
2 2 2 2 2 2 2

???????? 10 分

因为直线 l 被圆 x +y =5 所截得的弦长为 2 2, 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. 即 |m|

k2+1

= 3.
2


2

??????? 14 分

由①②,解得 k =2,m =9. 因为 m>0,所以 m=3. ???????16 分

19、解: (1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5. (i)在 Rt△ONF 中,NF=OFsinθ =10sinθ ,ON=OFcosθ =10cosθ . 在矩形 EFGH 中,EF=2MF=20sinθ ,FG=ON-OM=10cosθ -3.5, 故 S=EF×FG=20sinθ (10cosθ -3.5)=10sinθ (20cosθ -7). 7 即所求函数关系是 S=10sinθ (20cosθ -7),0<θ <θ 0,其中 cosθ 0= . 20 ???? 4 分 (ii)因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 351 2 2 2 2 在 Rt△ONF 中,NF= OF -ON = 100-(x+3.5) = -7x-x . 4 在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 351-28x-4x ,FG=MN=x, 2 故 S=EF×FG=x 351-28x-4x . 2 即所求函数关系是 S=x 351-28x-4x ,0<x<6.5. ???? 8 分
- 11 2

(2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令 f(θ )=sinθ (20cosθ -7), 2 则 f ′(θ )=cosθ (20cosθ -7)+sinθ (-20sinθ )=40cos θ -7cosθ -20. ???? 10 分 4 5 2 由 f ′(θ )=40cos θ -7cosθ -20=0,解得 cosθ = ,或 cosθ =- . 5 8 4 因为 0<θ <θ 0,所以 cosθ >cosθ 0,所以 cosθ = . 5 4 设 cosα = ,且 α 为锐角, 5 则当 θ ∈(0,α )时,f ′(θ )>0 ,f(θ )是增函数;当 θ ∈(α ,θ 0)时,f ′(θ ) <0 ,f(θ )是减函数, 4 所以当 θ =α ,即 cosθ = 时,f(θ )取到最大值,此时 S 有最大值. 5 即 MN=10cosθ -3.5=4.5m 时,通风窗的面积最大. ???? 16 分 方法二:选择(ii)中的函数模型: 2 2 2 2 因为 S= x (351-28x-4x ) ,令 f(x)=x (351-28x-4x ), 则 f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). ??? 10 分 9 9 13 因为当 0<x< 时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当 <x< 时,f ′(x)<0,f (x) 2 2 2 单调递减, 9 所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值. 2 即 MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大. ???? 16 分 20、解: (1) ∵ g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于 y 轴对称, ∴ f ( x) 的图象上任意一点 P( x, y ) 关于 y 轴对称的对称点 Q(? x, y) 在 g ( x) 的图象上. 当 x ? [?1, 0) 时, ? x ? (0,1] ,则 f ( x) ? g (? x) ? ln(? x) ? ax2 .?2 分 ∵ f ( x) 为 [?1,1] 上的奇函数,则 f (0) ? 0 .????4 分 当 x ? (0,1] 时, ? x ? [?1,0) , f ( x) ? ? f (? x) ? ? ln x ? ax2 .??6 分
?ln(? x) ? ax 2 (?1 ≤ x ? 0), ? ∴ f ( x) ? ?0( x ? 0), ??????7 分 ? 2 ?? ln x ? ax (0 ? x ≤ 1).

1 (1)由已知, f ?( x) ? ? ? 2ax . x 1 1 ①若 f ?( x) ≤ 0 在 ? 0,1? 恒成立,则 ? ? 2ax ≤ 0 ? a ≤ 2 . x 2x 1 此时, a ≤ , f ( x) 在 (0,1] 上单调递减, f ( x)min ? f (1) ? a , 2
∴ f ( x) 的值域为 [a, ??) 与 | f ( x) |? 1 矛盾.?????11 分 ②当 a ?
1 1 1 ? (0,1] , 时,令 f ( x) ? ? ? 2ax ? 0 ? x ? x 2a 2
- 12 -

∴ 当 x ? (0, 当 x?(

1 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 2a

1 ,1] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 2a
1 1 1 2 1 1 ) ? ? ln( ) ? a( ) ? ln(2a) ? . 2a 2a 2a 2 2

∴ f ( x)min ? f (

1 1 e 由 | f ( x) |≥ 1 ,得 ln(2a) ? ≥1 ? a ≥ .?????15 分 2 2 2 e 综上所述,实数 a 的取值范围为 a ≥ . ?????16 分 2

- 13 -


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