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2015年杭州市第一次高考科目教学质量检测数学(理科)及答案


2015 年杭州市第一次高考科目教学质量检测

高三数学检测试卷(理科)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效. 4.考试结束,只需上交答题卷.

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.若 sin ? ?

1 ? ,则 cos( ? ? ) ? 3 2
B. ?

A.

1 3

1 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

2.设实数 x , y 满足不等式组 ? A.-1 B.4

?x ? y ? 1 ? 0 ,若 z ? x ? 2 y ,则 z 的最大值为 ?x ? y ? 4 ? 0
C.

13 2

D.

15 2

3.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 A.24cm? B.40cm? C.36cm? D.48 ㎝?

4.设 a, b ? R ,则“ 2 ? 2 ? 2
a b

a ?b

”是“ a ? b ? 2 ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设函数 f ( x) ? e 定不 成立的是 .. A. x2 f ( x1 )> 1 B. x2 f ( x1 ) ? 1 C. x2 f ( x1 )< 1 D. x2 f ( x1 )<x1 f ( x2 )
ln x

( e 为自然对数的底数).若 x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列结论一 .

1

6.设 P 为锐角△ ABC 的外心 (三角形外接圆圆心) , AP ? k ( AB ? AC ) (k ? R ) .若 ..

cos ?BAC ?
A.

5 14

2 ,则 k = 5 2 B. 14

C.

5 7

D.

3 7

7.设 F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0) 的右焦点,过点 F 且斜率为-1 的直线 l 与双 a 2 b2

曲线 C 的两条渐近线分别交于 A, B 两点,若 AB ? ?3 AF ,则双曲线 C 的离心率 e ?

A.

10 3

B.

5 2

C. 5

D.

34 3

8.已知函数 f ( x)(x ? R) 是以 4 为周期的奇函数,当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? ln(x 2 ? x ? b) . 若函数 f ( x) 在区间 [?2,2] 上有 5 个零点,则实数 b 的取值范围是 A. ? 1<b ? 1 C. ? 1<b<1或b ? B.

5 4

1 5 ?b? 4 4 1 5 D. <b ? 1或b ? 4 4

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9.已知函数 y ? 单调递减区间为
2 10.设函数 f ( x) ? x ? (k ? 1) x ? 2(k ? R) ,则 f (

2 sin( 2 x ?

?
3

)( x ? R) , 则该函数的最小正周期为 k ?1 )? 2

, 最小值为



;若当 x>0时,f ( x) ? 0

恒成立,则 k 的取值范围为 11.设圆 C : ( x ? k ) ? ( y ? 2k ? 1) ? 1 ,则圆 C 的圆心轨迹方程是
2 2

,若直线

l : 3x ? ty ? 1 ? 0 截圆 C 所得的弦长与 k 无关,则 t ?
12.设函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则当 x ? (0,2) 时,函数 f ( x) 的最大值等于 ,若 x0 是函

数 g ( x) ? f ( f ( x)) ? 1 的所有零点中的最大值,且 x0 ? (k , k ? 1)(k ? Z ),则 k ?

2

13.设实数 a1 , d 为等差数列 ?an ?的首项和公差.若 a6 ? ?

3 ,则 d 的取值范围是 a5

14.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) ,过点 G(3 p,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(点
? B 在第四象限) , O 为坐标原点,且 ?OBA ? 90 ,则直线 l 的斜率 k ?

15.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 其中 ABCD 是正方形,AA >AB. 设点 A 到直线 B1D 的 1 距离和到平面 DCB1 A1 的距离分别为 d1 , d 2 , 则

d1 的取值范围是 d2

三.解答题:本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 15 分)在△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知

cos 2 A ?

3 ? 2 cos A. 2

(I)求角 A 的大小 (II)若 a ? 1, 求△ ABC 的周长 l 的取值范围.

17.(本题满分 15 分)已知四边形 ABCD 是矩形, BC ? kAB(k ? R) ,将 ?ABC 沿着对角 线 AC 翻折,得到 ?AB1C, 设顶点 B1 在平面 ABCD 上的投影为 O . (I)若点 O 恰好落在边 AD 上, (i)求证: AB1 ? 平面B1CD ; (ii)若 B1O ? 1, AB> 1. 当 BC 取到最小值时,求 k 的值 (II)当 k ? 3 时,若点 O 恰好落在△ ACD 的内部(不包 括边界) ,求二面角 B1 ? AC ? D 的余弦值的取值范围.

3

18.(本题满分 15 分)在直角坐标系 xOy 中,设点 A(?1,0), B(1,0) , Q 为△ ABC 的外心. 已知 CG ? 2OG ? 0, QG∥ AB . (I)求点 C 的轨迹 ? 的方程 (II)设经过 F (0, 2 ) 的直线交轨迹 ? 与 E, H , 直线 EH 与直线 l : y ? 点 P 是直线 y ?

3 2 交于点 M , 2

2 上异于点 F 的任意一点.若直线 PE, PH , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,
1 1 t ? ? , 若存在,求 t 的值;若不存在,说明理由. k1 k2 k3

问是否存在实数 t ,使得

19.(本题满分 15 分)设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 Sn + an = n ( n ? N ).
*

(I)求数列 ?an ?的通项公式; (II)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n <2 . 2a1 2 a2 2 a3 2 an

? x( x ? a),(x ? 0) ? 20.(本题满分 14 分)已知实数 a>0 ,函数 f ( x) ? ? 9 ? x( x ? a), ( x<0) ? ? 40
(I)若函数 f ( x) 在区间 (?b, b), (b>0) 上存在最小值,求 b 的取值范围; (II)对于函数 f ( x) ,若存在区间 [m, n] ( n>m ) ,使 y y ? f ( x), x ?[m, n] ? [m, n] , 求 a 的取值范围,并写出满足条件的所有区间 [m, n].

?

?

【注:原试题卷 20 题有勘误,此文档中已修正】

4

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