当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学压轴大题训练:解析几何中的定值、定点问题 菁优网


高考数学压轴大题训练: 解析几何中的定值、定点问题
一、解答题 1. (2012?菏泽一模)已知直线 l:y=x+ ,圆 O:x +y =5,椭圆 E:
2 2

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,直线

l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (Ⅰ )求椭圆 E

的方程; (Ⅱ )过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.

2. (2012?自贡三模)椭圆的两焦点坐标分别为 (1)求椭圆方程; (2)过点



,且椭圆过点



作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M、N 两点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠ MAN 的大

小是否为定值,并说明理由.

3. (2013?眉山二模)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆

, (a>b>0)上的两点,已知向量 =(



) ,

=(



) ,且

,若椭圆的离心率

,短轴长为 2,O 为坐标原点:

(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ )试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

1

4.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过圆 O:

倍,且椭圆 C 经过点 M

. 为定值.

上的任意一点作圆的一条切线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点.求证:

5. 已知平面上的动点 P (x, y) 及两定点 A (﹣2, 0) , B (2, 0) , 直线 PA, PB 的斜率分别是 k1, k2 且 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同的两点 M,N. ① 若 OM⊥ ON(O 为坐标原点) ,证明点 O 到直线 l 的距离为定值,并求出这个定值 ② 若直线 BM,BN 的斜率都存在并满足 ,证明直线 l 过定点,并求出这个定点.



6. (2014?仁寿县模拟)已知椭圆

(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的

圆与直线 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明直 线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求 的取值范围.

2

7.已知椭圆 Ω 的离心率为 ,它的一个焦点和抛物线 y =﹣4x 的焦点重合. (1)求椭圆 Ω 的方程; (2)若椭圆 上过点(x0,y0)的切线方程为 .

2

① 过直线 l:x=4 上点 M 引椭圆 Ω 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:直线 AB 恒过定点 C; ② 是否存在实数 λ 使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|,若存在,求出 A 的值;若不存在,说明理由.

8. (2013?南开区一模)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 心率等于 .

的焦点,离

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 λ1+λ2 为定值. , ,求证:

9.椭圆有两顶点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (Ⅰ )当|CD|= 时,求直线 l 的方程; 为定值.

(Ⅱ )当点 P 异于 A、B 两点时,求证:

3

10. (2008?闸北区二模)如图,椭圆 C:

,A1、A2 为椭圆 C 的左、右顶点.

(Ⅰ )设 F1 为椭圆 C 的左焦点,证明:当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值; (Ⅱ )若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1.求椭圆 C 的标准方程; (Ⅲ )若直线 l:y=kx+m 与(Ⅱ )中所述椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且满足 AA2⊥ BA2,求证: 直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

11. (2012?南京一模) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知抛物线 y =2px 横坐标为 4 的点到该抛物线的焦点的距离为 5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点 C 是抛物线上的动点,若以 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4,求证:圆 C 过定点.

2

12. (2009?深圳一模)在四边形 ABCD 中,已知 A(0,0) ,D(0,4) ,点 B 在 x 轴上,BC∥ AD,且对角线 AC⊥ BD. (Ⅰ )求点 C 的轨迹方程; (Ⅱ ) 若点 P 是直线 y=2x﹣5 上任意一点, 过点 P 作点 C 的轨迹的两切线 PE、 PF, E、 F 为切点, M 为 EF 的中点. 求 证:PM⊥ x 轴; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,直线 EF 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.

4

高考数学压轴大题训练: 解析几何中的定值、定点问题
参考答案与试题解析
一、解答题 1. (2012?菏泽一模)已知直线 l:y=x+ ,圆 O:x +y =5,椭圆 E:
2 2

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,直线

l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方 程.
菁优网版权所有

专题:

计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

(Ⅰ )设椭圆半焦距为 c,求出圆心 O 到 l 的距离,可得弦长,从而可得椭圆的短 轴长,利用椭圆的离心率 e= ,即可求

得椭圆 E 的方程; (Ⅱ ) 设 P 过点 P 的椭圆 E 的切线的方程 与椭圆方程联立,消去 y 可得一元二次 方程,利用判别式为 0 建立方程,再利 用韦达定理,计算两切线斜率之积,即 可得到结论.

解答:

(Ⅰ )解:设椭圆半焦距为 c,圆心 O 到 l 的距离 d= = ,

∴ 直线 l 被圆 O 截得的弦长为

5

, 由 2b= ∵ 椭圆 E:

,解得 b= +



=1(a>b>0)的离心

率 e= ∴





,解得 a =3

2

∴ 椭圆 E 的方程为



(Ⅱ )证明:设 P(x0,y0) ,过点 P 的椭 圆 E 的切线 l0 的方程为 y﹣y0=k (x﹣x0) 2 与椭圆方程联立,消去 y 可得(3+2k ) 2 2 x +4k(y0﹣kx0)x+2(kx0﹣y0) ﹣6=0 2 2 ∴ △ =[4k(y0﹣kx0)] ﹣4(3+2k )[2(kx0 2 ﹣y0) ﹣6]=0 ∴ ( )k +2kx0y0﹣(
2



=0 设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分 别为 k1,k2, ∴ k1k2=﹣ ∵ P 在圆 O 上,∴ ,

∴ k1k2=﹣

=﹣1

点评:

∴ 两切线斜率之积为定值﹣1. 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与 椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用, 联立方程,利用判别式是关键.

2. (2012?自贡三模)椭圆的两焦点坐标分别为 (1)求椭圆方程;
6



,且椭圆过点



(2)过点

作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M、N 两点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠ MAN 的大

小是否为定值,并说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题; 椭圆的标准 方程.
菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题. (1)设出椭圆的方程,根据椭圆中三个 参数的关系得到 a,b 的一个等式,再将 椭圆过的点代入得到椭圆的另一个关于 a,b 的等式,解方程组,得到椭圆的方 程. (2)设出直线的方程,将直线方程与椭 圆方程联立,消去 x 得到关于 y 的方程, 利用韦达定理得到交点坐标的关系, 求出 的值,利用向量垂直的充要条件 求出∠ MAN 的大小.

解答: 解: (1)设椭圆的方程为 ∵ 焦点坐标为

∴ a =3+b ① ∵ ∴ 解得 a =4,b =1; 所以椭圆方程为
2 2

2

2

7

(2)设直线 MN 的方程为: 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得:



得:



设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,A(﹣2, 0) , 则 ,



即可得, 点评:



求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法; 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题, 一 般将直线的方程与椭圆的方程联立, 消去 一个未知数得到关于一个未知数的方程, 利用韦达定理得到交点坐标的关系找突 破口.

3. (2013?眉山二模)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆

, (a>b>0)上的两点,已知向量 =(



) ,

=(



) ,且

,若椭圆的离心率

,短轴长为 2,O 为坐标原点:

(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ )试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

8

考点:

直线与圆锥曲线的综合问题.

菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题;压轴题. (Ⅰ )根据题意可求得 b,进而根据离心率 求得 a 和 c,则椭圆的方程可得. (Ⅱ )设出直线 AB 的方程,与椭圆方程联 立消去 y,表示出 x1+x2 和 x1x2, 利用 建立方程求得 k. (Ⅲ )先看当直线的斜率不存在时,可推断 出 x1=x2,y1=﹣y2,根据 =0 求得 x1

和 y1 的关系式,代入椭圆的方程求得|x1| 和|y1|求得三角形的面积;再看当直线斜率 存在时,设出直线 AB 的方程,与椭圆方 程联立,利用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,利用 =0 求得 2b ﹣k =4,最后
2 2

解答:

利用弦长公式和三角形面积公式求得答 案. 解: (Ⅰ )2b=2.b=1, e=

椭圆的方程为 (Ⅱ )由题意,设 AB 的方程为 y=kx+

由已知

=0 得:

=

,解得 k=±
9

(Ⅲ ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1=x2,y1=﹣y2, 由 =0,则

又 A(x1,y1)在椭圆上,所以

S= 所以三角形的面积为定值 (2)当直线 AB 斜率存在时,设 AB 的方 程为 y=kx+b

得到 x1+x2=

代入整理得: 2 2 2b ﹣k =4

= 所以三角形的面积为定值 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问 题.设直线方程的时候,一定要考虑斜率 不存在时的情况,以免有所遗漏.

点评:

4.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过圆 O:

倍,且椭圆 C 经过点 M

. 为定值.

上的任意一点作圆的一条切线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点.求证:

10

考点:

平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程.
菁 优网版权所有

专题:

圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

(1)设椭圆 C 的方程,利用长轴长是短轴 长的 倍,且椭圆 C 经过点 M ,求出几何量,即可求椭圆 C 的标准方程; (2)分类讨论,利用数量积公式,结合直 线与圆相切,即可得到结论.

解答: (1)解:设椭圆 C 的方程为 >b>0) ∵ 长轴长是短轴长的 ∴ 椭圆方程为 ∵ ∴ ∴ b =4 ∴ 椭圆 C 的方程为 ;
2

(a

倍,

在椭圆 C 上

(2)证明:当切线 l 的斜率不存在时切线 方程为 与椭圆的两个交点为( (﹣ 此时 ;
2

)或



当切线 l 斜率存在时,可设 l 的方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,可得(1+2k ) 2 2 x +4kmx+2m ﹣8=0 2 2 则△ =8k ﹣m +4>0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,

∴ y1y2=(kx1+m) (kx2+m)= ∵ l 与圆 相切

11

∴ ∴ 3m =8k +8 ∴
2 2

综上所述

为定值.

点评:

本题考查椭圆的方程,考查数量积公式,考 查直线与圆的位置关系, 考查学生的计算能 力,属于中档题.

5. 已知平面上的动点 P (x, y) 及两定点 A (﹣2, 0) , B (2, 0) , 直线 PA, PB 的斜率分别是 k1, k2 且 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同的两点 M,N. ① 若 OM⊥ ON(O 为坐标原点) ,证明点 O 到直线 l 的距离为定值,并求出这个定值 ② 若直线 BM,BN 的斜率都存在并满足 ,证明直线 l 过定点,并求出这个定点.



考点:

直线与圆锥曲线的关系;恒过定点的直 线;圆锥曲线的轨迹问题.
菁优网版权所有

12

专题:

圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

(1)利用斜率计算公式即可得出; (2)把直线 l 的方程与椭圆方程联立得 到根与系数的关系,① 利用 OM⊥ ON?x1x2+y1y2=0 即可得到 k 与 m 的关系, 再利用点到直线的距离公式即可 证明; ② 利用斜率计算公式和根与系数的关系即 可得出 k 与 m 的关系,进而证明结论.

解答:

解: (1)由题意得 (x≠±2) ,即 x +4y =4(x≠±2) . ∴ 动点 P 的轨迹 C 的方程是 .
2 2



(2)设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,联 立
2 2

,化为(1+4k )

2

x +8kmx+4m ﹣4=0, 2 2 2 2 ∴ △ =64k m ﹣16(m ﹣1) (1+4k )=16 2 2 (1+4k ﹣m )>0. ∴ , .

∴ y1y2=(kx1+m) (kx2+m) = ① 若 OM⊥ ON,则 x1x2+y1y2=0, ∴ ,

13

, ∴

, 化为

, 此时点 O 到直

线 l 的距离 d=



② ∵ kBM?kBN=﹣ ,





∴ x1x2﹣2(x1+x2)+4+4y1y2=0, ∴ , 代入化为 +

点评:

,化简得 m(m+2k)=0,解得 m=0 或 m=﹣2k. 当 m=0 时,直线 l 恒过原点; 当 m=﹣2k 时,直线 l 恒过点(2,0) , 此时直线 l 与曲线 C 最多有一个公共点, 不符合题意, 综上可知:直线 l 恒过定点(0,0) . 本题综合考查了直线与椭圆相交问题转 化为直线 l 的方程与椭圆方程联立得到根 与系数的关系、OM⊥ ON?x1x2+y1y2=0、 点到直线的距离公式、 斜率计算公式等基 础知识与基本能力, 考查了推理能力和计 算能力.

14

6. (2014?仁寿县模拟)已知椭圆

(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的

圆与直线 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明直 线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求 的取值范围.

考点:

椭圆的应用;椭圆的标准方程.

菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题;综合题;压轴题. (Ⅰ )由题意知 . 再由 ,能够导出 可以导出椭

圆 C 的方程为



(Ⅱ )由题意知直线 PB 的斜率存在,设 直线 PB 的方程为 y=k(x﹣4) .由
2 2

得(4k +3)x ﹣
2 2

32k x+64k ﹣12=0,再由根与系数的关系 证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1, 0) . (Ⅲ )分 MN 的斜率存在与不存在两种情 况讨论,当过点 Q 直线 MN 的斜率存在 时,设直线 MN 的方程为 y=m(x﹣1) , 且 M(xM,yM) ,N(xN,yN)在椭圆 C 上.由
2 2

得(4m +3)x ﹣

2

2

8m x+4m ﹣12=0.再由根据判别式和根 与系数的关系求解 的取值范围;

当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其 方程为 x=1,易得 M、N 的坐标,进而可 得 的取值范围,综合可得答案.

15

解答:

解: (Ⅰ )由题意知



所以



即 又因为

. ,
2

所以 a =4,b =3. 故椭圆 C 的方程为 .

2

(Ⅱ )由题意知直线 PB 的斜率存在,设 直线 PB 的方程为 y=k(x﹣4) .
2 2


2 2

得(4k +3)x ﹣

32k x+64k ﹣12=0.① 设点 B(x1,y1) ,E(x2,y2) ,则 A(x1, ﹣y1) . 直线 AE 的方程为 .

令 y=0,得



将 y1=k(x1﹣4) ,y2=k(x2﹣4)代入, 整理,得 .②

由① 得



代入② 整理,得 x=1. 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1, 0) . (Ⅲ )当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时, 设直线 MN 的方程为 y=m(x﹣1) ,且 M (xM,yM) ,N(xN,yN)在椭圆 C 上. 由
2 2

得(4m +3)x ﹣

2

2

8m x+4m ﹣12=0.
16

易知△ >0. 所以 ,

, 则 =



. 因为 m ≥0,所以 .
2

所以



当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其 方程为 x=1. 解得 ) 、N(1,﹣ ) . 此时 所以 . 的取值范围是 . 点评: 本题综合考查椭圆的性质及其应用和直 线 与椭圆的位置关系,解题时要认真审 题,注意公式的灵活运用. , N (1, ) 或M (1,

7.已知椭圆 Ω 的离心率为 ,它的一个焦点和抛物线 y =﹣4x 的焦点重合. (1)求椭圆 Ω 的方程; (2)若椭圆 上过点(x0,y0)的切线方程为 .

2

① 过直线 l:x=4 上点 M 引椭圆 Ω 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:直线 AB 恒过定点 C; ② 是否存在实数 λ 使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|,若存在,求出 A 的值;若不存在,说明理由.

17

考点:

直线与圆锥曲线的综合问题;恒过定点的直 线;椭圆的标准方程.
菁优网版权所有

专题:

圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

(1)设椭圆方程,抛物线 y =﹣4x 的焦点是 (﹣1,0) ,从而得到 c=1,再由离心率,能 求出椭圆 Ω 的方程. (2) ① 设切点坐标为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 直线 l 上一点 M 的坐标(4,t) ,则可得切线 方程, 由此推导出直线 AB 的方程是 x+ y=1, 从而可得结论; ② 将直线 AB 的方程 x+ y=1 与椭圆方程联立, 求出|AC|,|BC|,利用韦达定理,即可得到结 论.

2

解答: (1) 解: 设椭圆方程为
2

(a>b>0) ,

抛物线 y =﹣4x 的焦点是(﹣1,0) ,故 c=1, 又∵ = ,∴ a=2,b= = ,

∴ 所求的椭圆 Ω 的方程为



(2)① 证明:设切点坐标为 A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,直线 l 上一点 M 的坐标(4,t) ,

18

则切线方程分别为



, ∵ 两切线均过 M,即 , 即点 A,B 的坐标都适合方程 x+ y=1 而两点之间确定的唯一的一条直线, ∴ 直线 AB 的方程是 x+ =1, 对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程, 故直线恒过定点 C(1,0) . ② 将直线 AB 的方程 x+ y=1 与椭圆方程联立, 可得( ∴ )y ﹣2ty﹣9=0 ,
2



不妨设 y1>0,y2<0,则 |AC|= =

同理|BC|=﹣



=

=

即|AC|+|BC|= ?|AC|?|BC|, 故存在 点评: ,使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|.

本题考查椭圆方程, 考查直线与椭圆的位置关 系, 考查韦达定理的运用, 考查学生的计算能 力,属于中档题.

19

8. (2013?南开区一模)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 心率等于 .

的焦点,离

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 λ1+λ2 为定值. 考点: 椭圆的标准方程; 直线与圆锥曲线的综合 问题.
菁优网版权所有



,求证:

专题: 分析:

综合题;压轴题. (1)根据椭圆 C 的一个顶点恰好是抛物 线 的焦点,离心率等于 .易

求出 a,b 的值,得到椭圆 C 的方程. (2) 设 A、 B、 M 点的坐标分别为 A (x1, y1) ,B(x2,y2) ,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程是 y=k(x﹣2) ,然后采用 “联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”,结 合已知中 , ,求

出 λ1+λ2 值,即可得到结论.

解答:

解: (1)设椭圆 C 的方程为 ,则由题意知 b=1.…(2 分)

20

∴ .∴ a =5.…(4 分) ∴ 椭圆 C 的方程为 .…(5 分)
2

(2) 设 A、 B、 M 点的坐标分别为 A (x1, y1) ,B(x2,y2) ,M(0,y0) . 又易知 F 点的坐标为(2,0) .…(6 分) 显然直线 l 存在的斜率,设直线 l 的斜率 为 k,则直线 l 的方程是 y=k(x﹣2) .… (7 分) 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中, 2 2 2 2 消去 y 并整理得 (1+5k )x ﹣20k x+20k ﹣5=0.…(8 分) ∴ .…(9 分) 又 ∵

. (11 分) ∴

点评:

.…(12 分) 本题考查的知识点是椭圆的标准方程, 直 线与圆锥曲线的综合问题, 其中根据已知 条件计算出椭圆的标准方程是解答本题 的关键.

9.椭圆有两顶点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (Ⅰ )当|CD|= 时,求直线 l 的方程; 为定值.

(Ⅱ )当点 P 异于 A、B 两点时,求证:

21

考点:

直线与圆锥曲线的综合问题.

菁优网版权所有

专题:

计算题;综合题;压轴题;数形结合;分 类讨论;方程思想.

22

分析:

(Ⅰ )根据椭圆有两顶点 A(﹣1,0) 、B (1,0) ,焦点 F(0,1) ,可知椭圆的焦 点在 y 轴上,b=1,c=1,可以求得椭圆的 方程, 联立直线和椭圆方程,消去 y 得到 关于 x 的一元二次方程, 利用韦达定理和 弦长公式可求出直线 l 的方程; (Ⅱ )根据过其焦点 F(0,1)的直线 l 的方程可求出点 P 的坐标, 该直线与椭圆 交于 C、D 两点,和直线 AC 与直线 BD 交于点 Q,求出直线 AC 与直线 BD 的方 程,解该方程组即可求得点 Q 的坐标, 代入 即可证明结论.

23

解答:

解: (Ⅰ )∵ 椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆 的标准方程为 (a>b>0) , ,

由已知得 b=1,c=1,所以 a= 椭圆的方程为 ,

当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符, 设直线 l 的方程为 y=kx+1,C(x1,y1) , D(x2,y2) , 将直线 l 的方程代入椭圆的方程化简得 (k +2)x +2kx﹣1=0, 则 x1+x2=﹣ ∴ |CD|= = ,x1?x2=﹣ ,
2 2

=

=



解得 k= . ∴ 直线 l 的方程为 y= x+1; (Ⅱ )证明:当直线 l 与 x 轴垂直时与题 意不符, 设直线 l 的方程为 y=kx+1, (k≠0, k≠±1) , C(x1,y1) ,D(x2,y2) , ∴ P 点的坐标为(﹣ ,0) , 由(Ⅰ )知 x1+x2=﹣ , ,x1?x2=﹣

且直线 AC 的方程为 y= 且直线 BD 的方程为 y= ,



将两直线联立,消去 y 得 ,

24

∵ ﹣1<x1,x2<1,∴



异号,

=

=



y1y2=k x1x2+k(x1+x2) +1=

2

=﹣ ∴ ∴ 与 y1y2 异号, =





同号,

,解得 x=﹣k,

故 Q 点坐标为(﹣k,y0) , =(﹣ ,0)?(﹣k,y0)=1, 故 为定值.

25

点评:

此题是个难题. 本题考查了椭圆的标准方 程和简单的几何性质、 直线与圆锥曲线的 位置关系, 是一道综合性的试题,考查了 学生综合运用知识解决问题的能力. 体现 了分类讨论和数形结合的思想.

10. (2008?闸北区二模)如图,椭圆 C:

,A1、A2 为椭圆 C 的左、右顶点.

(Ⅰ )设 F1 为椭圆 C 的左焦点,证明:当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值; (Ⅱ )若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1.求椭圆 C 的标准方程; (Ⅲ )若直线 l:y=kx+m 与(Ⅱ )中所述椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且满足 AA2⊥ BA2,求证: 直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

考点:

直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准 方程;椭圆的简单性质.
菁优网版权所有

专题: 分析:

综合题;存在型. (I)设点 P 的坐标(x,y) ,再构造函数 f 2 (x)=|PF1| ,代入两点间的距离公式并进 行化简, 利用二次函数的性质和 x 的范围, 求出函数的最值以及对应的 x 的取值,即 得到证明; (Ⅱ )由已知与(Ⅰ )得:a+c=3,a﹣c=1, 解得 a=2,c=1,再由 b =a ﹣c 求出 b,进 而求出椭圆的标准方程; (Ⅲ )假设存在满足条件的直线,再设 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线方程和 椭圆方程进行整理, 化简出一个二次方程, 再由题意和韦达定理列出方程组,根据题 意得 ,代入后得列出关
2 2 2

于 m 的方程,进行化简、求解,注意对应 题意进行验证.

26

解答: 解: (Ⅰ )设 p(x,y) ,则 ,且

F1(﹣c,0) , 2 设 f(x)=|PF1| ,则 f(x)=(x+c)
2

+y =

2



∴ 对称轴方程

,由题意知, 恒成立,

∴ f(x)在区间[﹣a,a]上单调递增, ∴ 当 x 取﹣a、 a 时, 函数分别取到最小值与 最大值, ∴ 当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、 右顶点时|PF1|取得最小值与最大值; (Ⅱ )由已知与(Ⅰ )得:a+c=3,a﹣c=1, 2 2 2 解得 a=2,c=1,∴ b =a ﹣c =3, ∴ 椭圆的标准方程为 .

(Ⅲ ) 假设存在满足条件的直线 l, 设A (x1, y1) ,B(x2,y2) , 联立
2

得, (3+4k ) x +8mkx+4

2

2

(m ﹣3)=0,则

又 ∵

, ∵ 椭圆的右顶点为 A2(2,0) ,AA2⊥ BA2, ∴ =﹣1,

即 (x1+x2)+4=0, ∴
27

,∴ y1y2+x1x2﹣2

, 2 2 化简得,7m +16mk+4k =0, 解得,m1=﹣2k,
2 2

,且均满足

3+4k ﹣m >0, 当 m1=﹣2k 时,l 的方程为 y=k(x﹣2) , 直线过定点(2,0) ,与已知矛盾; 当 时,l 的方程为 ,直线过定点 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 . .

点评:

本题考查椭圆的方程和椭圆简单的几何性 质,以及直线与椭圆的位置关系,同时也 考查了利用构造函数的方法处理最值问 题,主要利用代数方法研究圆锥曲线的性 质和数形结合的数学思想,考查解决问题 的能力和运算能力,最后对应题意进行验 证这是易错的地方.

11. (2012?南京一模) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知抛物线 y =2px 横坐标为 4 的点到该抛物线的焦点的距离为 5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点 C 是抛物线上的动点,若以 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4,求证:圆 C 过定点. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

2

菁优网版权所有

专题: 分析:

综合题. (1)根据抛物线的定义及横坐标为 4 的 点到该抛物线的焦点的距离为 5.可求得 p,则抛物线方程可得.

28

(2)设圆心 C 的坐标为



半径为 r,根据圆心 C 在 y 轴上截得的弦 长为 4 表示出 r 和 y0 的关系, 代入圆的方 程, 根据对于任意的 y0∈R, 方程均成立进 而得到关于 x 和 y 的方程组, 求得 x 和 y, 进而推断圆 C 过定点. 解答: 解: (1)依题意,得: 抛物线标准方程为:y =4x (2)设圆心 C 的坐标为 半径为 r. ∵ 圆心 C 在 y 轴上截得的弦长为 4∴ 圆心 C 的方程为: ,
2

,∴ p=2.

从而变为:

① 对于任意的 y0∈R,方程① 均成立.

故有:

解得:

所以,圆 C 过定点(2,0) .

29

点评:

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合 问题.直线与圆锥曲线的位置关系是历年 高考命题的热点;试题具有一定的综合 性,覆盖面大,不仅考查“三基”掌握的情 况, 而且重点考查学生的作图、 数形结合、 等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运 算,以及运用数学知识分析问题和解决问 题的能力.

12. (2009?深圳一模)在四边形 ABCD 中,已知 A(0,0) ,D(0,4) ,点 B 在 x 轴上,BC∥ AD,且对角线 AC⊥ BD. (Ⅰ )求点 C 的轨迹方程; (Ⅱ ) 若点 P 是直线 y=2x﹣5 上任意一点, 过点 P 作点 C 的轨迹的两切线 PE、 PF, E、 F 为切点, M 为 EF 的中点. 求 证:PM⊥ x 轴; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,直线 EF 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;恒过定点的 直线;轨迹方程.
菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题;证明题;综合题. (Ⅰ )设点 C 的坐标为(x,y) ,再由共线 向量定理求解. (Ⅱ )对函数 得 求导

.设切点坐标,得切线方程.又

设点 P 的坐标为 (t, 2t﹣5) , 由切线过点 P, 得 E,F 所在的直线方程,由韦达定理求得 M 坐标得证. (Ⅲ )先求得直线 AB 的方程 为: ,

即 t(x﹣4)+10﹣2y=0. (*)当 x=4,y=5 时,方程(*)恒成立,

30

解答:

解: (Ⅰ ) 如图, 设点 C 的坐标为 (x, y) (x≠0, y≠0) , 则

, ∵ , .

∴ x?(﹣x)+y?4=0,即

∴ 所求的轨迹 T 是除去顶点的抛物线 (3 分) (Ⅱ )对函数 设切点坐标为 切点的切线的斜率是 该切线方程是 . 又设点 P 的坐标为(t,2t﹣5) , ∵ 切线过点 P, ∴ 有
2

求导得,

. ,则过该





化简,得 x0 ﹣2tx0+8t﹣20=0. (6 分) 设 A、B 两点的坐标分别为 、
2



则 x1、 x2 为方程 x ﹣2tx+8t﹣20=0 的两根, x1+x2=2t, x1x2=8t﹣20. ∴ 因此,当 t=0 时,直线 PM 与 y 轴重合,当 t≠0 时,直线 PM 与 y 轴平行(9 分) (Ⅲ ) ∵ =

. ∴ 点 M 的坐标为 又 ∵ .

. ∴ 直线 AB 的方程为:
31

,即 t(x﹣4)+10﹣2y=0. (*) ∵ 当 x=4,y=5 时,方程(*)恒成立, ∴ 对任意实数 t, 直线 AB 恒过定点, 定点坐 标为(4,5) . (14 分)

点评:

本题主要考查向量法求轨迹方程,导数法 求切线方程以及直线过定点问题.

参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;wodeqing;孙佑中;gongjy;zhwsd;394782;mrguo;zlzhan;wdnah (排名不分先后)
菁优网 2014 年 10 月 16 日

32


相关文章:
高考数学压轴大题训练:解析几何中的定值、定点问题 菁优网
高考数学压轴大题训练: 解析几何中的定值定点问题参考答案与试题解析一、解答...之积为定值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方 程.菁优网版权所有 ...
2013年高考数学压轴大题训练:解析几何中的最值问题
2013年高考数学压轴大题训练:解析几何中的值问题_高三数学_数学_高中教育_教育...2010-2014 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 靠! (2)已知圆 M 过定点 D(0...
2013年高考数学压轴大题训练:解析几何中的探究性问题
2013 年高考数学压轴大题训练:解析几何中的探 究性问题 菁优网 www.jyeoo....四川)已知定点 A(﹣1,0) ,F(2,0) ,定直线 l:x= ,不在 x 轴上的...
高考数学解析几何范围最值、定点定值难题好题
高考数学解析几何范围最值、定点定值问题难题好题一、范围最值问题: 1、已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)...
解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题_数学_高中教育_教育专区。解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答的考查重点。此类问题定中有动,动中有定,...
数学:解析几何范围最值、定点定值问题练习题
数学:解析几何范围最值、定点定值问题练习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...1 2 1 ,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴 2 (I)求动点 ...
解析几何中的定点、定值问题
解析几何中的定点、定值问题郭炜一、椭圆中的定点问题 由于椭圆只研究中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆问题,故 动态椭圆过定点问题一般不会出现,故椭圆中的定点...
浅谈解析几何中的定点与定值问题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈解析几何中的定点定值问题 作者:蔡丽菊 来源:《新课程学习· 下》2013 年第 12 期 摘要:解析几何是借助代数的...
解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题_数学_自然科学_专业资料。解析几何中的定点定值问题解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答的考查重点。此...
更多相关标签:
菁优网初中数学 | 菁优网首页 | 猿题库 | 题谷网 | 学科网 | 克莉丝汀娜 | 王后雄 | |