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平面及其基本性质2


平面及其基本性质
知识梳理
平面的特征:无厚度、无边界,在空间中无限延伸,像桌面一样“平”. 平面的画法及其表示方法: ① 在立体几何中,常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 45 ,横 边画成邻边的两倍。画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画 成虚线或不画; ② 一般用一个小写希腊字母 ?

、? 、? ……来表示, 还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面 ? , 平面 AC 等. 点、线、面的集合表示: 点在直线上: A ? l ;点在直线外: A ? l 点在平面内: A ? ? ;点不在平面上: A ? ? 直线在平面上: l ? ? . 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 【推理模式】

A ?? ? ? ? AB ? ? . B ?? ?

注:判定直线是否在平面内的依据. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 【推理模式】

A ?? ? ? ? A?l ,? A? ? ?

? ?l .

注:公理二描述了平面相交的特征,即两个平面的公共点构成一条直线,这为我们提供了研究两个平面的 交线的方法. 公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 【推理模式】 A , B , C 不共线 ? A , B , C ,确定平面 ABC . 推论 1: 一条直线和直线外的一点确定一个平面. 【推理模式】 A ? l ? 存在唯一的平面 ? ,使得 A ? ? , l ? ? . 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 【推理模式】 a b ? P ? 存在唯一的平面 ? ,使得 a , b ? ? . 推论 3:两条平行直线确定一个平面. 【推理模式】 a / / b ? 存在唯一的平面 ? ,使得 a , b ? ? .. 注:这几个是确定平面的依据. 【考试要求】会用公理证明点线共面(确定平面) 、三点共线、三线共点.

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题型一:点与线,点与面,线与面的位置关系
例 1 将下列符号语言转化为图形语言: (1) A ? a , B ? b , A ? l , B ? l ; (2) a ? ? , b ? ? , a // c , b

c ? p ,?

? ?c

王新敞
奎屯

新疆

例 2 将下列文字语言转化为符号语言: (1)点 A 在平面 ? 内,但不在平面 ? 内; (2)直线 a 经过平面 ? 外一点 M ; (3)直线 l 在平面 ? 内,又在平面 ? 内(即平面 ? 和 ? 相交于直线 l ).

例 3 在平面 ? 内有 A , O , B 三点,在平面 ? 内有 B , O , C 三点,试画出它们的图形.

例 4(★ )用集合符号看图填空 (用 M , N 表示平面) (1)如图 1: A (2)如图 2

m, A
M ,A

M ,B

l,B l ,M

M, l

M, m

M=
.

.

A

N, A

N=

, AB ___ M =

巩固练习 1.用符号表示以下各概念: ① 点 A , B 在直线 a 上 ; ② 直线 a 在平面 ? 内 ;点 C 在平面 ? 内 ③ 点 O 不在平面 ? 内 ;直线 b 不在平面 ? 内
2.一条直线与一个平面会有几种位置关系 .

; .

2

题型二:面与面的位置关系
例 5(★ ★ )两平面 ? , ? 有公共点,则 ? 和 ? : (1)至多有一条公共直线; (2)有无穷多个公共点; (3)至少有一条公共直线; (4)重合. 上述判断中成立的是 .

巩固练习
给出命题: (1)若 A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? , 则 l ? a; (2)若 A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ,则 ? ? ? ? AB ; (3)若 l ? ? , A ? l , 则 A ? ? ; (4)若 A, B, C ? ? , A, B, C ? ? 且 A, B, C 不共线,则 ? 与 ? 重合. 上述命题中,真命题的个数是 例 6(★ ★ )三条直线最多可以把一个平面分成 . 部分.

巩固练习
空间中三个平面最多可以将空间分为 部分?

题型三:直线与平面交点,平面与平面交线的画法
M , 试作出点 M 的位置. 例 7(★ )在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 直线 AC 1 交平面 ABC1D 1 于点

巩固练习
如图,已知三角形 ABC,AB ? 平面 M=D,BC ? 平面 M =E, 画出直线 AC 与平面 M 的交点.

3

题型四:证明线共面和点共线
例8 (★ ★ ) 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 对角线 A1C与平面BDC1交于点E,AC与BD交于点F . (1)求证: AA 1与C1 F 共面; (2)求证:点 C1 , E , F 共线.

例 9(★ ★ )已知: 直线 a ∥b ∥c , 且直线 l 与 a , b , c 都相交. 求证: 直线 a , b , c , l 共面.

巩固练习
如图,已知三角形 ABC 在平面 M 外它的三边所在直线分别交平 面 M 于 P 、 Q 、 R .求证: P 、 Q 、 R 三点共线.

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