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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:两角和与差的三角函数及二倍角公式(教师版)


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编:两角和与差的三角函数及二倍角公式
一、选择题 1 . (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 已知 sin( x ?

?
4

)??

5 , 则 sin 2 x 的值等于 13

( A.
1

20 169



B.

119 169

C. ?

120 169

D. ?

119 169

【答案】D

? 5 【解析】因为 sin( x ? ) ? ? , 所以
4 13

2 5 1 25 ,解得 (sin x ? cos x) ? ? ,两边平方得 (1 ? sin 2 x) ? 2 13 2 169

sin 2 x ? ?
2

119 ,选 D. 169
2013 届 级 高 三 12 月 第 三 次 模 拟 检 测 理 科 数 学 ) 若

.( 山 东 师 大 附 中

?? 1 ?? ? ? ? ? ? , ? ? , tan ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? (
?2 ? ? 4? 7
A.

)

( D. ?



3 5

B.

4 5

C. ?

3 5

4 5

1 ? ? ?1 tan(? ? ) ? tan ? ? 3 ?? 1 ? 4 4 ?7 【答案】 解析】 tan ? ? ? ? ? , tan ? ? tan(? ? ? ) ? 【 A 由 ?? 4? 7 得 4 4 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 1 4, ? 4 4 7
sin ? ?
所以解得

3 5 ,选 A
3 ?? ? , 0 ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 5 4? ?
( )

3 . 山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题) ( 已知 cos ? ?

A.

3 ? 4 ? 0, 0 ? ? ? ? , 所 以 0 ? ? ? ,sin ? ? 0 , 所 以 sin ? ? , 故 5 2 5 4 ? ?1 tan ? ? tan ? 4 4 ?3 ? ?7 ,选 D tan ? ? , 所以 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 4 3 4 3 4 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 一已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线
【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 cos ? ?

1 5

B.

1 7

C. ?1

D. ?7

x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为
A.

( C.



4 5

B.

4 3

3 4

D.

2 3

【答案】B

【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为

1 1 , 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? tan ? ? , 所 以 2 2
B.

1 2? 2 tan ? 2 ? 1 ? 4 ,选 tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 3 3 2 4
5 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. 已知 ? ? (? , )





A.7
【答案】B

3 4 ? ? ), cos ? ? ? , 则 tan( ? ? ) 等于 2 5 4 1 1 B. C. ? 7 7 3 2

( D. ? 7



【 解 析 】 因 为 ? ? (? , ? ), cos ? ? ?

4 3 3 , 所 以 sin ? ? 0 , 即 sin ? ? ? , ? ? . 所 以 tan 5 5 4

3 ? 1 ? tan ? 4 ? 1 ,选 B. tan( ? ? ) ? ? 3 7 4 1 ? tan ? 1+ 4 1?
6 .( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

a=(sin ? ,1),b=(2,2cos ? ? 2 ),(

?
2

? ? ? ? ),若 a⊥b,则 sin( ? ?
1 2
3 2

?
4

)=





A.-

3 2

B.-

1 2

C.

D.

【答案】D 7 . (山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理科数学)若 tan(

?
4

? ? ) ? 3 ,则 cot? 等于





A.2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.-2

tan ? ? tan[ ? ( ? ? )] ? 4 4 【答案】【解析】 tan( ? ? ) ? 3 得, D 由 4 1 cot ? ? ? ?2 所以 选 D. tan ?

?

?

?

tan

? tan( ? ? ) 1? 3 1 4 4 ? ?? ? 1? 3 2, 1 ? tan( ? ? ) 4

?

?

8 (山东省兖州市 2013 高三 9 月入学诊断检测数学(理)试题) . 已知 sin 2?

?? ? ? ? sin ? , ? ? ? , ? ? ,则 tan? ? ?2 ?
( )

A.

? 3 2

B.

?3 5

C.

? 3 3

D. ? 3

【答案】 D(教材必修 4 P148 练习 3)

9 . (山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学) 已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

3 ,则 sin 2? ? 5
( )

A. ?

24 25

B. ?

12 25

C.

12 25

D.

24 25

【 答 案 】 A 【 解 析 】 因 为

? 为 第 二 象 限 角 , 所 以 c o? s? ?
)

4 , 所 以 5
( )

s i ?? n 2
A.

2 s i ? ? n?

3 4 2 4 c? o s ? 2 ,选 ?( ? ? 5 5 2 5

10. (2012 年山东理)(7)若 ? ? ?

3 7 ?? ? ? ,则 sin ? = , ? , sin 2? = 8 ?4 2?
C.





A.

3 5

B.

4 5

7 4

D.

3 4

【答案】解析:由 ? ? ?

? ?? ? ? , ? 可得 2? ? [ , ? ] , 2 ?4 2?

1 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? , 8
sin ? ? 1 ? cos 2? 3 ? ,答案应选 2 4
D.

另解:由 ? ? ? , ? 及 sin 2? = 8 ?4 2?

?? ? ?

3 7

可得

sin ? ? cos? ? 1 ? sin 2? ? 1 ?

3 7 16 ? 6 7 ? ? 8 16

9?6 7 ?7 7 3 ? ? , 16 4 4

而当 ? ? ? , ? 时 sin? ? cos? ,结合选项即可得 sin ? ? , cos? ? .答案应选 4 4 ?4 2?
11. (山东省凤城高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 )已知 tan(? ? ? ) ? ?2 ,则
2

?? ? ?

3

7

D.

1 ? sin ? ? 2cos 2 ? ( )

A.2
【答案】D

B.

2 5

C.3

D.

5 2

12. (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理) 已知 ? ? ? ? , )

? ?

? 3 ? 4 ? ?, cos ? ? ? , 则 tan( ? ? ) 4 2 ? 5
( )

等于

A.7
【答案】B

B.

1 7

C. ?

1 7

D. ? 7



解 析 】 因 为 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

4 , 5

所 以 sin ? ? ?

3 3 , tan ? ? . 所 以 5 4

3 ? 4 4 ? 1 ,选 tan( ? ? ) ? ? ? 3 7 4 1 ? tan tan ? 1 ? 4 4 tan ? tan? 1?

?

B.

13.山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学 ( (理) 试题) 已知 cos ?

4 π π ? ? ,且 ? ? ( , π) ,则 tan( ? ? ) 5 2 4
( ) . -7 B

等于 A.-

1 7
C.

1 7
?

D. 7

【答案】D 14. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a

?

?

? ? b ,则


?? ? tan ? ? ? ? 等于 4? ?
A. ?



1 3

B.

1 3

C. ?3

D.3

【答案】B

b 【 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 a ? ? 2 cos? ? sin? ? 0 , 即 tan ? ? 2
tan(? ?

?

?

? ?

. 所 以

?
4

)?

tan ? ? 1 2 ? 1 1 ? ? ,选 B. 1 ? tan? 1? 2 3

15. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5
( )

A. ?

24 25

B.

24 25

C. ?

7 25

D.

7 25

【答案】C

? ? ? ? 7 sin 2 x ? sin[2( x ? ) ? ] ? ? cos 2( x ? ) ? ?[1 ? 2sin 2 ( x ? )] ? ? 【 解析】 4 2 4 4 25 ,选
16. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科)) 已知 sin 2? ? ?

C.

24 ? ? ? , ? ? ? ? ,? ,则 0 25 ? 4 ?
( )

sin ? ? cos ? 等于 1 1 A. ? B. 5 5

C. ?

7 5

D.

7 5

【答案】B【解析】由 ? ? ? ?

? ? ? | ,? 知 sin ? ? 0, cos ? ? 0,sin ? |?| cos ? |, ? sin ? ? cos ? 0 ? 4 ?

1 ? 1 ? sin 2 x ? . 故选 B 5
二、填空题 17. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科))在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C ,则

tan B ? tan C ? __________.
【答案】2

【解析】在 ?ABC 中, sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 2 cos B cos C , 两

边.同除以 cos B cos C 得 tan B ? tan C ? 2 .
18. 山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学(理)试题) α 是锐角,且 sin(? ? ( 若

?

1 ) ? , 则 cos ? 的 6 3

值是__________.
【 答 案 】

2

6? 1 6

【解析】∵

? 是 锐 角 , ? 0 ?? ?

?
2

, ?

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

,所以

? ? 2 2 cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? , 6 6 3
3 1 1 2 6 ?1 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? cos ? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? )sin ? 3 2 3 2 6 6 6 6 6 6 6
19. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)若 tan( ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? π 【 答 案 】

? ___________.
, 所 以

?

4 5



tan( ? ? ) ? 2 π



tan ? = ? 2

sin 2 ? ?
三、解答题

2 sin? cos? 2 tan ? 2 ? 2) ? ( 4 ? ? ?? . 2 2 2 2 sin ? ? cos ? 1? tan ? 1 ? 2) ? ( 5

20. (山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)已知函数 f(x)=2 sin ?

??x ? ? ? ? (0≤x≤5),点 ? 6 3?

A、B 分别是函数 y=f(x)图像上的最高点和最低点. (1)求点 A、B 的坐标以及 OA · OB 的值; (2)设点 A、B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan( ? ? 2? )的值.
【答案】解:(1)? 0 ?

??? ?

??? ?

x ? 5, ?

?
3

?

πx π 7π , ? ? 6 3 6

1 πx π ? ? ? sin( ? ) ? 1 2 6 3

πx π π πx π ? ? ,即 x ? 1时, sin( ? ) ? 1 , f (x) 取得最大值 2 ; 6 3 2 6 3 πx π 7π πx π 1 当 ,即 x ? 5 时, sin( ? ) ? ? , f (x) 取得最小值 ?1 . ? ? 6 3 6 6 3 2
当 因此,点 A 、 B 的坐标分别是 A(1, 2) 、 B(5, ? 1)

??? ??? ? ? ? OA ? OB ? 1? 5 ? 2 ? (?1) ? 3
(2)?点 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) 分别在角 ? 、 ? 的终边上,

1 ? tan ? ? 2 , tan ? ? ? , 5 1 2 ? (? ) 5 ?? 5 , ? tan 2? ? 1 12 1 ? (? ) 2 5 5 2 ? (? ) 12 ? 29 ? tan(? ? 2? ) ? 5 1 ? 2 ? (? ) 2 12
21. 山东省泰安市 2013 届高三第二次模拟考试数学 ( (理) 试题) 已知函数 f ? x ? ? sin ?

?5 ? ?? ? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ?4 ? ?4 ?

(I)求 f ? x ? 的单调递增区间; (II)已知 cos ?? ? ? ? ?
【答案】

3 3 ? , cos ?? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 求f ? ? ? . 5 5 2

22. (山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学(理)试题)已知 cos (

?
4

? x) ?

3 17? 7? , ?x? . 5 12 4

(1) 求 sin 2 x 的值.

(2)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值 1 ? tan x

【答案】解: (1) ∵ cos 2 (

?
4

? x) ? cos( ? x) ? 1

?
2

? 2 x) ? ? sin 2 x

又 cos 2 (

?
4

? x) ? 2 cos2 (

?
4

9 7 ?1 ? ? 25 25 7 ∴ sin 2 x ? 25 ? 2?
sin x sin 2 x(1 ? ) sin 2 x ? 2 sin 2 x cos x (2) ? 1 ? tan x 1 ? tan x sin 2 x(1 ? tan x) ? ? ? sin 2 x tan( ? x) 1 ? tan x 4
∵ 17? ? x ? 7? .
12 4



5? ? ? x ? ? 2? 3 4

∴ sin( ∴ tan(

?
4

? x) ? ? 1 ? cos2 (
4 3

?
4

? x) ? ?

4 5

?
4

? x) ? ?



sin 2 x ? 2 sin 2 x 7 4 28 ? ? (? ) ? ? 1 ? tan x 25 3 75

(此题也可先求出 sin x, cos x 再进行计算)


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