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重庆市一中2009-2010学年高一下学期期中考试数学试题


秘密★启用前

2010 年重庆一中高 2012 级半期考试 数 学 试 题 卷 2010.5
数学试题共 3 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净 后,再选涂其他答

案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效 。
[来源:ZXXK]

一.选择题.(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知角 ? 满足 sin ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则角 ? 为( ) A.第 一象 限角 B.第二象限角 C.第三象限角 2.已知 sin ? ? A.

D.第四象限角

5 ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan ? =( 5 2
B.2 C. ?

)

1 2

3.已知 AC ? 2CB ,则 B 分 AC 所成的比为(

????

??? ?

??? ?

1 2
)

D. ?2

3 B.2 C. ? D. ?3 2 ???? ??? ? ??? ??? ? ? 4.已知点 A(2, ?1), B(?1,3), C (?2, ?5) ,且 OD ? OA ? 2OB ? OC ,则 D 点坐标为( A. (2, ?12) B. (?2,10) C. (1, ?9) D. (2,12)
5 .已知函数 f ( x) ? sin( x ?

1 A. ? 2

)

?
2

) ( x ? R) ,下面结论错误的是(

)

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x ) 为奇函数 6. log 2 sin A. ?3

B.函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上为增函数

D.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称

?
12

? log 2 sin

?

??? ? ?? ?? ???? ?? ? ? ?? ?? ?? ? 7.已知 向量 a , b 可作为平面向量的一组基底,若 AB ? ?1 a ? b , AC ? a ? ?2 b , (?1 , ?2 ? R) ,
C. ?1?2 ? 1 D. ?1?2 ? ?1 ?? ? 2 8.将函数 y ? f ( x) 的图象 F 沿 a ? (2, ?2) 平移至 F′,所得 F′的函数解析式为 y ? 2(x ? 2) ? 2 ,则 y ? f ( x) 的解析式为( ) 2 2 2 2 A. y ? 2( x ? 4) ? 4 B. y ? 2x ? 4 C. y ? 2( x ? 4) D. y ? 2 x 9.在△ABC 中,AB=6, AC=8, ∠BAC=90 °,AD,BE 分别为边 BC,AC 上的中线,则向量 则 A,B,C 三点共线的充要条件为( ) A. ?1 ? ?2 ? 1 B. ?1 ? ?2 ? ?1

6 B. ?1

? log 2 sin

5 ? =( 12
C.1

) D.3

???? ??? ? AD, BE 间夹角的余弦值为(
13 65
B.

) C. ?
2

A.

3 2
2

10.数列 {an } 的通项 an ? n (cos A.470
[来源:][来源:ZXXK]

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 =( 3 3
C.495 D.510

13 65

D. ?

1 2

)

B.490

二.填空题.(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 a ? (2,1 ? x), b ? ( ?3,2) ,且 a ? b ,则 x =
3

?? ?

??

?? ?

??

.

[来源:Zxxk.Com]

12.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c sin x ? 1, (a, b, c ? R) 若 f (2) ? 4 ,则 f (?2) = 13. arcsin

.

3 3 = ? arctan 2 3

.

14.设 D 为△ABC 的边 AB 上一点,P 为△ABC 内一点,且满足: AD ?

????

???? 2 ??? ? S AD ? BC ,则 ?APD = 5 S?ABC
15.已知函数 f ( x) ?

? ? 3 ??? ??? AB , AP ? 4

.

(log 1 sin ? ) ? x 2 ? (1 ? 2log 1 sin ? ) ? x ? log 1 sin ? ?
2 2 2

1 ,若对任意实数 x, f ( x ) 均有 2

意义,则 ? 的取值范围为 . 三.解答题.(本大题共 6 小题,共 75 分)

16.(13 分)已知 | a |? 4, | b |? 3, (2a ? 3b ) ? (2a ? b ) ? 61 . (1)求 a 与 b 的夹角 ? ; (2)求 | a ? b | .

?? ?

??

?? ?

??

?? ?? ?

?? ?

??

?? ?? ?

[来源:]

17.(13 分)求函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x ? cos x ?1( x ? R) 的值域,最小正周期及单调递增区间.

18.(13 分)在△ABC 中,A,B,C 所对的边的长分别为 a, b, c ,设 a, b, c 满足条件 b ? c ? bc ? a 和
2 2 2

c 7 ? , b 2

求 A 和 tan B .

? 19.(13 分)已知函数 y ? f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0,? ? 0,|? |

?
2

)的图象在 y 轴右侧的第

一个最值点(最高点或最低点)为 M (2, 2 2) ,与 x 轴在原点左侧的第一个交点为 N (?2, 0) . (1)求函数解析式; (2)若 f ( x ) 的图象在 M,N 之间与 x 轴有交点,解不等式 f ( x) ? 2 .

20.(12 分)已知向量 a ? (2sin x,1), b ? (sin (
2

?? ?

??

?

式 | f ( x) ? m |? 2 恒成立.求实数 m 的范围.

?? ?? ? x ? 2 ? ), cos 2 x) ,设 f ( x) ? a ? b ,当 x ? [ , ? ] 时,不等 4 2 6 3

[来源:Z#xx#k.Com]

21.(12 分)已知一列非零向量 an 满足: a1 ? ( x1 , y1 ), an ? ( xn , yn ) ?

?? ?

??

?? ?

(n ? 2) .

1 ( xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ) , 2

(1)求证: {| an |} 为等比数列;

?? ?

(2)求向量 an?1 与 an 的夹角 (n ? 2) ;

????

?? ?

?? ???? ?? ?? ? ? ?? ? rn2 (3)设 a1 ? (1,2) ,记 OBn ? a1 ? a2 ? ... ? an ,设点 B4n 为 (tn , rn ) ,则当 n 为何值时 有最小值,并求 tn ? 2
此最小值.

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学_科_网]

2010 年重庆一中高 2012 级半期考试(本部) 数 学试题答案 2010.5 一.选择题.(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 B C D A C
[来源:学|科|网]

6 A

7 C

8 B

9 C

10 A

二.填空题.(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)

11. 2

12. ?2

13.

15. (2k? , 2k? ?

?

? 2

14.

3 10

3 ] ? [2k? ? ? , 2k? ? ? ), k ? Z 4 4

三.解答题.(本大题共 6 小题,共 75 分)

16.解:由已知 (2a ? 3b ) ? (2a ? b ) ? 4a ? 4a ? b ? 3b

? 61 ?? ?? ? ∴ a ? b ? ?6 ?? ?? ? a ?b ?6 1 ? ?? ? (1) cos ? ? ?? ∴ ? ? 120? ?? 2 | a | ? | b | 4?3 ?? ?? ? ?? ?? 2 ? ?? 2 ?? 2 ? ?? ?? ? 2 2 (2) | a ? b |? (a ? b ) ? a ? b ? 2a ? b ? 4 ? 3 ? 2 ? 6 ? 13

?? ?

??

?? ?? ?

?? 2 ?

?? ?? ?

?? 2

17.解:已知: f ( x) ? 1 ? cos 2x ? 3sin 2x ?1 ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2

? 2sin(2 x ? ) ? 2 6
∴值域为[0,4] 最小正周期 T ? 令 2 k? ?

?

?
2

2? ?? 2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?
2

∴ x ? [ k? ?

?

∴函数的单调增区间为 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z . 6 3

?

, k? ? ], k ? Z 6 3

?

18.解:由已知 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ∴ A ? 60? 2bc 2 c sin C sin(180? ? A ? B) sin( A ? B) ? ? 由正弦定理: ? b sin B sin B sin B 3 1 cos B ? sin B sin(60? ? B) 3 1 7 2 ? ? 2 ? ? ? sin B sin B 2 tan B 2 2 3 ∴ tan B ? 6

19.解:(1)(注意两种情况)

? 3? ? x ? ) 或 y ? 2 2 sin( x ? ) 8 4 8 4 (2)当 f ( x ) 的图象在 M,N 之间与 x 轴有交点可知 3? ? f ( x) ? 2 2 sin( ? x ? ) ? 2 8 4 3? ? 2 ∴ sin( x? )? 8 4 2 5 3? ? ? x ? ? 2k? ? ∴ 2 k? ? ? ? 4 8 4 4
y ? 2 2 sin(

?

[来源:Z_xx_k.Com]

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

16k 8 16k 4 ? , ? ], k ? Z 3 3 3 3 ?? ?? ? x 2 ? 20.解 :由已知 f ( x) ? a ? b ? 2sin x ? sin ( ? ) ? 1 ? cos 2 x 4 2
∴ x ?[

? sin x ? [1 ? cos( ? x)] ? cos 2 x 2 ? sin x ? (1 ? sin x) ? 1 ? 2sin 2 x

?

? ? sin 2 x ? sin x ? 1 ? 2 1 设 t ? sin x ∵ x ?[ , ? ] ∴ sin x ? t ? [ ,1] 6 3 2 5 2 ∴ f ( x) ? ?t ? t ? 1 ? [1, ] 4 ∵ | f ( x) ? m |? 2 恒成立 ∴ m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m 恒成立 ?m ? 2 ? 1 3 ? ∴ ?5 ∴? ? m ? 3 4 ?4 ? 2 ? m ?
2 2 21. 解:(1)由已知: | an |? xn ? yn ?

?? ?

?? ? ∴ {| an |} 为等比数列 ???? ?? ? (2) an?1 ? an ? ( xn?1, yn?1 ) ? ( xn , yn ) ? xn?1 ? xn ? yn?1 ? yn 1 1 ? xn ?1 ( xn ?1 ? yn ?1 ) ? yn ?1 ? ( xn ?1 ? yn ?1 ) 2 2 ???? 2 ? 1 2 1 2 ?? ???? 2 ? ( xn?1 ? yn?1 ) ? | an?1 | ? | an | ? | an?1 | 2 2 2 ? 2 ∴ cos ? ? ∴? ? 4 2 ???? 1 ?? ? x ? yn xn ? yn , ) (3)由已知: an ? ( xn , yn ) , 则 an ?1 ? ( xn ? yn , xn ? yn ) ? ( n 2 2 2 ???? 1 x ? y ? x ? yn xn ? yn xn ? yn y x n an ? 2 ? ( n ? n , ? ) ? (? n , n ) 2 2 2 2 2 2 2 ???? ???? ? x ? yn xn ? yn 1 an ?3 ? (? n , ) , an ? 4 ? ? ( xn , yn ) 4 4 4 ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ??? ? ? ∴ a1, a5 , a9 ,......; a2 , a6 , a10 ,......; a3 , a7 , a11......; a4 , a8 , a12 ,...... . 1 构成公比为 ? 的等比数列 4 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ∴ a1 ? a2 ? a3 ? a4 , a5 ? a6 ? a7 ? a8 ,…… ?? ? ? ?? 1 1 3 ?? 1 亦构成公比为 ? 的等比数列由条件可知 a1 ? (1,2) , a2 ? (? , ), a3 ? (?1, ) , 4 2 2 2 ?? ? 3 1 a4 ? (? , ? ) 4 4 ?? ?? ?? ?? ? ? ? 5 15 ∴ a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (? , ) 4 4
[来源:Z§xx§k.Com][来源:Zxxk.Com] [来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 2 2 ???? 2 2 ( xn?1 ? yn?1 )2 ? ( xn?1 ? yn?1 )2 ? ? xn?1 ? yn?1 ? | an?1 | 2 2 2

[来源:学_科_网 Z_X_X_ K]

5 1 15 1 ? ? [1 ? (? ) n ] ? [1 ? (? ) n ] 4 ? ?1 ? (? 1 ) n , r ? 4 4 ? 3[1 ? (? 1 ) n ] ∴ tn ? 4 n 1 1 4 4 1 ? (? ) 1 ? (? ) 4 4 1 n 2 9[1 ? (? ) ] rn2 4 ∴ ? 1 n tn ? 2 1 ? (? ) 4 1 n 4 rn2 9(?u ? 2)2 ? 9(u ? ? 4) 设 u ? 1 ? (? ) ∴ ? 4 u tn ? 2 u 4 1 n 显然 g (u ) ? 9(u ? ? 4) 在(0,2)上 ? , 在 (2, ??) ? 且 u ? 1 ? (? ) ? 2 u 4 2 1 2 17 r 20 25 ∴当 n ? 2 时, umax ? 1 ? ( ? ) ? 时 ( n )min ? 4 16 tn ? 2 272


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