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高三数学二轮复习练习题


高三数学(理)二轮复习练习题 第 I 卷(选择题
共 60 分)

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑. 如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 答在试卷上的答案无效. 1.设集合 M = {

x | x 2-x < 0},N = {x | | x | < 2},则 ( ) A.M∩N = ? B.M∩N = M C.M∪N = M D.M∪N = R 2.函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ,则 a 的值是 A.—1 B.1 C.2 D.±1 3.下列函数中满足 ?x ? R,f (? x) ? ? f ( x) 的是 A. y ? x
1 2





( D. y ? x3 (



B. y ? x ?1

C. y ? x2 B. AB ? BC ? 0

4.下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是



1 A. sin A ? cos A ? 5
C. b ? 3, c ? 3 3, B ? 300
x 5.函数 f ( x ) ? ( ) ?

D. tan A ? tan B ? tan C ? 0 ( C. ( ,1) )

1 3

x 的零点所在区间为
B. ( , )

A. ( 0 , ) 6.设曲线 y ? A. ? 2

1 3

1 1 3 2

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 3 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 B. ? C. D.2 2 2

2 2

1 2

D. (1,2) )

7.下列命题错误的是



A .命题 “ 若 x ? y ? 0, 则x ? y ? 0 ” 的逆否命题为 “ 若 x、 y 中至少有一个不为 0 ,则

x2 ? y 2 ? 0 ”; 2 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0, 则?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ;
C.若 p ? q 为假命题,则 p ? ?q 为真命题; D.“ x ? y ”是“ x ? y ”的充要条件。
2 2

8.已知

1 1 ? ? 0 ,则下列结论错误的是 a b b a A.a2<b2 B. ? ? 2 C a b

( ab>b2.
2



D. lg a ? lg ab

| 9 . 函 数 f ( x) ? A s i n ? ( x ?? ( ) 其 中 A ? 0 , |? ?
g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像
A.向右平移

?
2

)的图象如图所示,为了得到 ( )

? 个单位长度 6

9 题图

? 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 12 1? x 2 10.若函数 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ? (a ? 1) 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值
B.向右平移 范围是 A.(-1,0) B.(0,1] C.(0,1) ( )

D.(-1,0)∪(0,1] )

11.若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值是( A. ? 1 B. 2 C. ?

1 ? 2 2

D.

1 ? 2 2

12.已知:两个非零向量 a =(m-1,n-1), b =(m-3,n-3),且 a 与 b 的夹角是钝角或 直角,则 m+n 的取值范围是 A.( 2 ,3 2 ) B.(2,6) ( C.

?

)

2, 3 2

?

D. ?2,6?

第 II 卷(必考部分)
注意事项: 1.考生不能将答案直接答在试卷上,必须答在答题卡上. 2.答题前,请认真阅读答题卡上的“注意事项” 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡上. 13.函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 的单调递增区间是
2



14. 奇函数 f ? x ?? x ? 0? 在(0, + ? )上为增函数, 且 f ?1? ? 0 . 那么不等式 f ? x ?1? ? 0 的 解集是 ;

15.已知正项等比数列 ?an ? 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am、an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值是 m n



16.对于不等式 y ? ax2 ? bx ? c 来说,它的几何意义是抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 内部(即

? y ? x 2 ? 3x ? 3 ? y?x ? 包含焦点的部分) ,那么由不等式组 ? 所确定的图形的面积 y?0 ? ? x?3 ?
是 。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 已知向量 OP ? ? 2cos x ?1, cos 2 x ? sin x ?1 ? , OQ ? ? cos x, ? 1? , f ? x ? ? OP ? OQ

(1)求函数 f ? x ? 最小正周期; (2)当 x ? 0, ?

? ?? ,求函数 f ? x ? 的最大值及取得最大值时的 x ; ? 2? ?
2

18. (本题满分 12 分)

数列{an}是等差数列, 其中 f ? x ? ? x ? 4x ? 2 , a2 ? 0 , a1 ? f ? x ?1? , a3 ? f ? x ?1? , 数列{an}前 n 项和存在最小值。 (1)求通项公式 an (2)若 bn ?

? 2?

an

,求数列 ?a n ? bn ? 的前 n 项和 s n

19. (本小题满分 12 分) 某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以 增加,且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元,0≤x≤30)的平方成 正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件。 (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数 f ? x ? ; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 20. (本题满分 12 分) 已知集合 A={a,b,c},其中 a,b,c 是三个连续的自然数。如果 a,b,c 能够作为一 个三角形的三边长,且该三角形的最大角是最小角的 2 倍,求所有满足条件的集合 A。 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? ln x ( a ? R ) . (1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (2)当函数 f ( x ) 在 ?

?1 ?

? ?

?1 ? , 2 ? 单调时,求 a 的取值范围; ?2 ?

(3)求函数 f ( x ) 既有极大值又有极小值的充要条件。 四、选做题.(本小题满分10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑) 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM·MB=DF·DA. 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 3x ? 6 ? x ? 4 . y

1 O 1

(1)作出函数 y ? f ( x) 的图像;

(2)解不等式 3x ? 6 ? x ? 4 ? 2x . x

豫南九校第二次联考理科数学答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分
题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 D 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 B 11 D 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 4 4? ?

?

?

??

14

?x | x ? 0或1 ? x ? 2?
19 6

15

3 2

16

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 解:∵ OP ? ? 2cos x ? 1 , cos 2 x ? sin x ? 1? , OQ ? ? cos x, ? 1? ∴ f ? x ? ? OP ? OQ ? (2cos x ? 1) cos x ? (cos 2 x ? sin x ? 1)

? 2cos2 x ? cos x ? cos 2 x ? sin x ? 1

? cos x ? sin x ? 2 sin( x ?

?
4

)

????????????6 分 ????????????8 分

(1) 函数 f ? x ? 最小正周期 T ? 2? (2) 又 x ? 0, ?

? ? ? ? 3? ? ? ?? (x ? ) 在 ,所以 x ? ?? , , 函 数 f ( x) ? 2 sin ? ? 4 4 ?4 4 ? ? 2?
?????10 分

?? ? ? ? ? 3? ? 上单调递增,在 上单调递减 , , ? ? ?4 2? ? ?2 4 ? ?
故当 x ? 18. (本题满分 12 分)

?
4

时 f ( x ) 取得最大值 2

?????12 分

解:⑴∵ f ? x ? ? x ? 4x ? 2
2

∴ a1 ? f ? x ?1? ? ( x ?1) ? 4( x ?1) ? 2 ? x ? 2x ?1
2 2

a3 ? f ? x ?1? ? ( x ?1)2 ? 4( x ?1) ? 2 ? x2 ? 6x ? 7 ????????????2 分
又数列{an}是等差数列, a 2 ? 0 ∴ a1 ? a3 ? 2a2 ? 0 ∴( x 2 ? 2 x ? 1 )+( x 2 ? 6 x ? 7 )= 2 x 2 ? 4 x ? 6 ? 0 解之得: x ? 1或x ? 3 ??????????????????4 分

当 x ? 1 时 a1 ? ?2 ,此时公差 d ? 2 , 当 x ? 3 时 a1 ? 2 ,公差 d ? ?2 ,此时数列{an}前 n 项和不存在最小值,故舍去。 ∴ an ? ?2 ? 2(n ?1) ? 2n ? 4 ⑵由⑴知 bn ? ??????????????????6 分 ???????????? ????8 分

? 2?

an

? 2n ? 2

∴ sn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ?

? an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? an?1 ? bn ? an ? bn?1
??????????10 分

2sn ? a1 ? b2 ? a2 ? b3 ?

∴ ?sn ? a1 ? b1 ? (a2 ? a1 ) ? b2 ?

? (an ? an?1 ) ? bn ? an ? bn?1 ? bn ) ? an ? bn?1

? a1 ? b1 ? 2(b2 ? b3 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ?2 ? ? 2 ? ? (2n ? 4) ? 2n ?1 2 1? 2

? 3 ? ? n ? 3? ? 2n
19. (本题满分 12 分)

??????????12 分

解:(1)设商品降价 x 元,则多卖出的商品数为 kx2,在一个星期内商品的销售利润为 f ? x ? 由题意得:24=k·22, ∴k=6, ??????????2 分

2 3 2 所以 f ? x ? ? ? 30 ? x ? 9 ? 432 ? 6 x ? ? x ? 126 x ? 432 x ? 9072

?

?

? 0 ? x ? 30 ?

??????????6 分 ⑵ f ? ? x ? ? ?18 ? x ? 2?? x ?12? 令 f ? ? x ? ? 0 得 x=2 或 x=12, ??????????8 分

x
f ? ? x?
f ? x?

? 0, 2 ?
— 单调递减

2 0 极小值

? 2,12?
+ 单调递增

12 0 极大值

?12,30?
— 单调递减

由上表可知当 x=12 时, f ? x ? 取得极大值,而 f ?12? ? 11664 > f ? 0? ? 9072 ∴定价为 18 元时利润最大 20. (本题满分 12 分) ??????????12 分

解法一:依题意,不妨设 a ? n ? 1, b ? n, c ? n ? 1,对应的三个内角是 ? , ? ? 3? , 2? 由正弦定理, 所以 cos ? ?

n ?1 n ?1 ? sin ? sin 2?

??????????4 分

n ?1 2 ? n ? 1?
2 2

??????????6 分

2 由余弦定理, ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? n ? 1? n cos ?

?????8 分

即 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? n ? 1? n ?
2 2 2

n ?1 化简,得: n2 ? 5n ? 0 2 ? n ? 1?

所以, n ? 0,或n ? 5,n ? 0 不合题意,舍去。 n ? 5 ,三角形的三边长为 4,5,6. ??????????10 分 可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍。 ??????????11 分 故:A={4,5,6} ??????????12 分 解法二:先考虑三角形应满足的第一个性质:三边是连续的自然数 ⑴三边长不可能是 1,2,3,因为 1+2=3 而三角形的任何两边之和都大于第三边; ??????????1 分 ⑵如果三角形 ABC 的三边长分别是 a=2,b=3,c=4 因为 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 7 17 ?7? ? , cos 2 A ? 2cos2 A ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 2bc 8 32 ?8? a 2 ? b2 ? c 2 1 ?? 2ab 4

2

cos C ?

此三角形中,A 是最小角,C 是最大角,但是 cos 2 A ? cos C 所以 2A≠C 从而三边 长分别是 a=2,b=3,c=4 不符合条件。 ??????????3 分 ⑶如果三角形 ABC 的三边长分别是 a=3,b=4,c=5,此三角形是直角三角形,最大角 是 900,最小角不等于 450,此三角形不满足条件。 ??????????5 分 ⑷如果三角形 ABC 的三边长分别是 a=4,b=5,c=6,此时

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 3 1 ?3? ? , cos 2 A ? 2cos2 A ?1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? , 2bc 4 8 ?4?

2

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? 2ab 8

因为 cos 2 A ? cos C,而0 ? 2 A,C ? ? ,所以 2A=C 故三边长分别是 a=4,b=5,c=6 满足条件。 ??????????8 分 ⑸当 n>4 时,三角形 ABC 的三边长分别是 a=n,b=n+1,c=n+2 时,三角形的最小角是 A,最大角是 C,

cos A ?

2 b 2 ? c 2 ? a 2 ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? n 1 3 ? ? ? 2bc 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 2 ? n ? 2? 2 2 2 2

2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? n ? 1? ? n ? ? n ? 2 ? 1 3 cos C ? ? ? ? 2ab 2 ? n ? 1? n 2 2n

cos A 随 n 的增大而减小,A 随之增大, cos C 随 n 的增大而增大,C 随之减小。由于 n=4
时有 2A=C,所以 n>4 时不可能有 2A=C。 ??????????11 分 总上可知,只有边长分别为 4,5,6 的三角形满足条件,即 A={4,5,6} ????12 分 21. (本题满分 12 分)

1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ?? (1) a ? 3 时, f '( x) ? ?2 x ? 3 ? ? ? , x x x
函数 f ( x ) 在区间 ?

?1 ? , 2 ? 仅有极大值点 x ? 1 ,故这个极大值点也是最大值点, ?2 ?

故函数在 ? , 2 ? 最大值是 f (1) ? 2 , 2 又 f (2) ? f ?

?1 ?

? ?

1 5 3 ?1? ? ? (2 ? ln 2) ? ( ? ln 2) ? ? 2ln 2 ? 0 ,故 f (2) ? f ( 2 ) , 4 4 ?2?

故函数在 ? , 2 ? 上的最小值为 f (2) ? 2 ? ln 2 。 2 (2) f '( x ) ? ?2 x ? a ? 则函数在 ?

?1 ?

? ?

?????4 分

1 1 1 ,令 g ( x ) ? 2 x ? ,则 g '( x ) ? 2 ? 2 , x x x

?1 2? ? 2 ? 9 ?1? , 递减,在 ? ? ? ? 3 , g (2) ? 2 , ? 2 ,2? ? 递增,由 g ? ?2 2 ? ?2? ? ? ? ?

g(

2 9? ?1 ? ? ) ? 2 2 ,故函数 g ( x) 在 ? , 2 ? 的值域为 ? 2 2, ? 。 2 2? ?2 ? ?
1 ?1 ? ?1 ? , 2 ? 恒成立,即 a ? 2 x ? 在 ? , 2 ? 恒成立, x ?2 ? ?2 ?

若 f '( x) ? 0 在 ?

只要 a ? 2 2 ,若要 f '( x) ? 0 在在 ?

1 ?1 ? ?1 ? , 2 ? 恒成立,即 a ? 2 x ? 在 ? , 2 ? 恒成立, x ?2 ? ?2 ?

只要 a ?

9 。即 a 的取值范围是 ??, 2 2 ? ? 2

?

?9 ? , ?? ? 。 ?????8 分 ? ?4 ?

(3)若 f ( x) 既有极大值又有极小值,则首先必须 f ?( x) ? 0 有两个不同正根 x1 , x 2 , 即 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有两个不同正根。

?? ? 0 ?a 2 ? 8 ? 0 ? ?? ?a?2 2, 故 a 应满足 ? a ? 0 ?a ? 0 ? ?2
∴ 当 a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 有两个不等的正根,不妨设 x1 ? x 2 , 由 f ?( x) ? ?

1 2 2 x 2 ? ax ? 1? ? ? ( x ? x1 )(x ? x2 ) 知 : 0 ? x ? x1 时 f ?( x) ? 0 , ? x x

x1 ? x ? x2 时 f ?( x) ? 0 , x ? x2 时 f ?( x) ? 0 ,
∴ 当 a ? 2 2 时 f ( x) 既有极大值 f ( x2 ) 又有极小值 f ( x1 ) .
2 反之,当 a ? 2 2 时, 2 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不相等的正根,

故函数 f ( x ) 既有极大值又有极小值的充要条件 a ? 2 2 。

?????12 分

22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)连结 OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC, ∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD.??????3 分 ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.????5 分 (Ⅱ)连结 BC,在 Rt△ACB 中, CM⊥AB,∴CM2=AM·MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF·DA. 易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM·MB=DF·DA????10 分 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 y ⑴ f ( x) ? 3x ? 6 ? x ? 4

6

? 2 ? 2x x ? 2 ? ? ?4 x ? 10 2 ? x ? 4 ??2 分 ? 2x ? 2 x ? 4 ?
正确画出图像??5 分 ⑵在图中画出 y ? 2 x 的图像 如图,注意到直线 y ? 2 x 与 射线 y ? 2 ? 2 x 交于 ? 线段 y ? 4 x ? 10

?1 ? ,1? ?2 ?

(2 ? x ? 4) 在直线 y ? 2 x 下方, 射线 y ? 2 x ? 2 ( x ? 4) 在直线 y ? 2 x

下方且与直线 y ? 2 x 平行,??????????????8 分 故由图像可知不等式 3x ? 6 ? x ? 4 ? 2x 的解集是不等式 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

??10 分


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