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打印:理科概率统计试题


《例说统计概率》

考 1 大 1 小! 计算要万分细心!常常先计算平均数!

一、基本的统计学知识(代入数据的过程 1-2 分)
例 1.会求一组数据: 91,88 , 89 , 89 , 90 , 90 的特征量,并知道其实际意义的: (1)极大,极小值分别是___、___,极差是_____; (2)众数是__________

_____. 众是______的意思!众数可有____个? (3)中位数是 ______ ,中位数是?从 ________ 排列后, ?位于中间的数, 或中间 (4)平均数/期望是________, 小学时的计算方法 x ? 两个 2 个数的_______

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? __________ __________ ____ 6

中学用频率/概率/比例来计算:

x ? f1x1 ? f 2 x2 ? f3 x3 ? f 4 x4 ? f5 x5 ? f6 x6 ? __________ __________ ____

x ? p1x1 ? p2 x2 ? p3 x3 ? p4 x4 ? p5 x5 ? p6 x6 ? __________ __________ ___
(5)(均)方差为________. 要先算平均数 x ,得步骤分! 小学时的计算方法方法: 1 s 2 ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ( x3 ? x ) 2 ? ( x4 ? x ) 2 ? ( x5 ? x ) 2 ? ( x6 ? x ) 2 ] 6 ? __________ __________ __________ __________ _____ 中学用频率/概率/比例计算:

s 2 ? ( x1 ? x )2 f1 ? ( x2 ? x )2 f 2 ? ( x3 ? x )2 f3 ? ( x4 ? x )2 f 4 ? ( x5 ? x )2 f5 ? ( x6 ? x )2 f6

s 2 ? ( x1 ? x )2 p1 ? ( x2 ? x )2 p2 ? ( x3 ? x )2 p3 ? ( x4 ? x )2 p4 ? ( x5 ? x )2 p5 ? ( x6 ? x )2 p6 ? __________ __________ __________ __________ _____
练习 1.255,255,261,261,260 的极差为____, 众数为_________, 中位数为_____. 261 的频数和频率分别为_____、______,期望为_____,方差为__________, 练习 2

例 2.?能读懂,分得清谁为茎和叶!能利茎叶图进行计算.?会画茎叶图. 请画出 29,31,32,32,39,40,41,49 的茎叶图.中位数和平均数是多少?. 例 3.?能读懂频率直方图:首先看清横,纵坐标表示的是什么!

?能从图中算出频率和频数:频率=组距×频率 (底×高)=小矩形的面积(表示频率
组距

频数=总数×频率(比例) 所有频率之和=1=所有的面积之和=1. 例 4.从总体中抽取样本的方法: ?分层抽样:即__________抽取. ?系统(等距)抽样:每隔(每加)___个取 1 个.. 例 5(难点).无具体数据,只给出某某区间有多少个数据时,如何求中位数.

二、 求概率的基本方法: 最后务必验证所有概率之和是否为 1,自我检查!
(1)求概率基本方法:原始但并不笨的方法! ①列举法: 把所求事件包含的所有情形, 全部列举出来, 常用树形图,再求概率. ②分步独立用乘法: P( A) ? P( A 1 ?? ? An ) ? P( A 1 ) ??? P( An ) . 注意: 分步不独立则不能用乘法, 是条件概率!A1 ?? ? An 表都(同时)发生! ③分类讨论用加法: P( A) ? P( A 1 ?? ? An ) ? P( A 1 ) ? ? ? P( An ) 适合所求事件包括好几种情况的情况: A1 ??? An , 表A1发生或? An发生 (2)间接法:适合直接做太复杂,则用间接法. 特别是最后一个最难求的概率时. (3)难点 1:二项分布的识别和判定 方法:把一类当作成功,其余的当作失败.独立完成(或有放回地抽取)n 次. 则成功的次数(正/优的个数/天数),服从二项分布! 例 1.抛硬币 n 次,正面朝上(即成功)的次数 X 服从二项分布! 恰好有 k 次
k k n ?k pq 正面朝上(即成功 k 次)的概率为: P( X ? k ) ? Cn

注:成功 k 次,意味着余下的 n-k 次必须失败. . 原始解法:想想要成功 k 次,是哪 k 次成功?有几种情况?分类列举出来!
k n ?k k 共有 Cn 情况,每一种的概率为 p k q n?k ,全部相加即可! Cn?k ? Cn

例 2.射击 n 次,则击中(即成功)的次数 X 服从二项分布.
k k n ?k 概率为: P( X ? k ) ? Cn pq .

恰好击中 k 次的

注:击中 k 次,此时则余下的 n-k 次没击中

重难点:推广的二项分布(一类当做成功,其余情况当做失败)

例 3.超市门口在搞活动.口袋中有红球 1 个,黄球 4 个,蓝球 5 个. 摸出一 个红球则获赠一瓶王老吉,然后把球放回去.小明今天买了 150 元商品,获得 3 次摸球的机会.请问他有放回的抽取 3 次,获得 2 瓶王老吉的概率是多少?获得 王老吉的瓶数的期望是多少? 解 1: 把摸到红球当做成功, 则其概率为 0.1 ; 其余情况当做失败, 概率为 0.9. 则有 2 次是红球(成功 2 次)的概率为 P( X ? 2) ? C32 ( 1 ) 2 ( 1 )3?1
10 10

解 2:(原始方法解)想想,是哪 2 次中奖?有几种种情况?分类列举出来! 1 1 1 1 2 1 2 C1 ? C3 共有 C3 情况,每一种的概率为 ( ) 2 ( )1 . ? P ? C32 ? ( ) 2 ( )1 10 10 10 10 例 4.去年,云浮市气象局随机抽查了云城区 30 天的空气质量,10 天为优, 11 天为良,7 天为合格,2 天为劣. 假设近几年空气质量水平无显著变化.请问: 如果今年你随机抽取 4 天进行观察,空气质量为优的天数 X 的期望是多少? 解 1:随机观察 1 天,质量为优(当做成功)的频率(当做概率)为 1 ,其余情况
2

当作为失败!

则 X=0,1,2,3,4.

3 1 3 2 1 X=3 时, P( X ? 3) ? C4 ( ) ( ) 3 3

解 2: (原始方法解)想想, X=3 时, 是哪 3 天为优?有几种种情况?分类列举!
3 1 3 C1 ? C4 共有 C4 情况,每一种的概率为 ( ) 3 ( )1 . ? P ? C43 ( 1 ) 3 ( 2 )1

1 3

2 3

3

3

(4)难点 2:超几何分布的识别和判定方法 方法:一类当正品,一类当次品,(无放回地连续)各抽取几个!两类都抽! 例 1.有 60 件正品, 40 件次品, 无放回的抽取 3 件.求恰有 2 件是正品的概率.
3 解:?随机抽取 6 件共有 C100 种抽法. 2 1 C40 ?符合条件的有 C60 种抽法(正从
2 1 C60 C40 3 C100

正中取,次从次中取).

?所以所求概率为:

注:有 2 件正品,意味着另 1 件是次品(不重不漏)! 例 2.超市门口在搞活动.口袋中有红球 3 个,黄球 5 个,蓝球 2 个.无放回的 连续抽取 3 次,恰好有 2 个是红球,则获赠 4 瓶王老吉.小明今天买了 150 元商 品,获得了抽 3 次的机会.请问他抽完后获得王老吉的概率是多少?期望是?
2 解:?无放回的随机抽取 2 次,共有 C10 种方法.
1 ?符合条件的有 C32C7 种抽
2 1

法(红球从红球中取,非红球从非红球中取)

7 ?所以所求概率为 C3 C 3

C10

(5)难点 3:频率与概率的关系: P ? f ,当数目很大或者无法求出某事件

A 发生的概率时, 不得已而用频率代替概率. 当数目不多时, 它们不能相互替换.

三、正态分布,相关性,回归方程,独立性检验
(1)正态分布: ?与频率直方图一样, 所有面积之和等于 1; ?画出每个已知部分的对称部分, 答案就立现! (2)散点图、相关系数与随机变量的相关性强弱的关系.

?x ? a ? :?线性回归直线必过平均值点 ( x , y ) ; ?能用提供的公式计 (3)线性回归方程 y ? b ?, a 算系数 b ? (务必先求均值);?会用回归方程进行预测和预报!
(4)进行独立性检验:?会用提供的公式计算 k (常保留 3 位小数);?知道 4 种 作答方式:犯错率为,有__%把握,正确率为___. 达不到则结论不成立!
2

四、排列组合(及与概率的关系):
得先学会求做完一件事情有多少种方法,一个事件可以分成几类事件! (1)基本方法(并不笨的方法): (分步乘法不看独不独立/区分于求概率时的分步独立用乘法) ①分步乘法原理:做一件事情一步做不完就分 n 步完成. 按先填哪个(空)位置,或者先哪 个对象的先后顺序进行. 分步 ? 乘法 ? 有顺序 ? 分步; ②分类加法:做完一件事情有多个不同的方法,则分类讨论,用加法. (2)重要方法:要排序则为排列或乘法,不用排序则为组合 ①用排列和组合的定义:选出来要排序则是排列,不用则是组合 ②列举法:适合条件多而杂,但种数较少的题,特别是选择题。有时列举过程中有规律! ?特优法:特殊元素或位置优先排列 g 有相邻元素可用捆绑策略:要确定被捆起来的这几个元素要不要排序? h 间接法:直接做太复杂,可尝试用间接法. 先求不满足条件的种数! 例.8 班有 43 个同学,从中抽 5 人,要求正副班长,团支书至少抽到 1 个,有多少种抽法? i 先选后排: j.有不相邻的用插空法:先排可以相邻的,再插入不能相邻的,自动被隔开了! k 分步投信件问题:有 Ss S S S S S s

(2007 年高考广东卷第 9 小题) 甲、 乙两个袋中均有红、 白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲 袋装有 4 个红球、2 个白球, 乙袋装有 1 个红球、5 个白球.现分别从甲、乙两袋 中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 . (用分数表示)

(2007 年高考广东卷第 17 小题)(本小题满分 12 分)下表提供了某厂节能降耗技 术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

x

3

4
3

5

6

y

2.5

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

? ?a ?; y ? bx
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出 的线性 回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 (2008 年高考广东卷第 3 小题) 某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表 1.已知在全校 学生中随机抽 取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C ) 一年级 二年级 三年级 A.24 B.18 C.16 D.12 女生 男生 373 377

x
370

y
z


(2008 年高考广东卷第 10 小题) 已知 (1 ? kx 2 )6 ( k 是正整数)的展开式中, x 8 的系数小于 120, 则k ? .

(2008 年高考广东卷第 17 小题) (本小题满分 13 分)

随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、 三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位: 万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ;

(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提 高为 70 % . 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多 少? (2009 年高考广东卷第 7 小题) 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选 派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能 从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 D. 48 种 B. 12 种 C. 18 种

(2009 年高考广东卷第 12 小题) 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 , DX ? 1, 则a ? ,b ? .

(2009年高考广东卷第17小题)

根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气 质量分级如下表:对某城市一年(365 天)的空气质量进 行监测,获得的 API 数据按照区间 [0,50] , (50,100] ,

(100,150] , (150,200] , (200,250] , (250,300] 进行分组,得到频率分布直方图如

图 5. (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. 3 2 7 ? ? 5 2 7 ? 128 , ( 结 果 用 分 数 表 示 . 已 知 57 ? 7 8 1 2, 1825 365 1825 3 8 123 ? ? ? , 365 ? 73 ? 5 ) 1825 9125 9125 (2010 年高考广东卷第 7 小题) 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3.1),且 P(2 ? X ? 4) =0.6826,则 P(X>4)= ( ) A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

(2010 年高考广东卷第 8 小题) 为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定, 每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪 亮的颜色各不相同.记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中, 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮, 而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实 现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( A、 1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 ) D.1190 秒

(2010 年高考广东卷第 17 小题) 某食品厂为了检查一条自动包装流水 线的生产情况,随即抽取该流水线上 40 件 产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为( 490, 495? , (495, 500? ,……(510, 515? ,由此得到样本的频率分布 直方图,如图 4 所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产 品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重 量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合 格的重量超过 505 克的概率.

(2011 年高考广东卷第 6 小题) 6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军, 乙队需要再赢两局才能得冠军, 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概 率为 D

3 1 B. 5 2 (2011 年高考广东卷第 13 小题)
A. 和 182cm .

C.

2 3

D.

3 4

13. 某数学老师身高 176cm, 他爷爷、 父亲和儿子的身高分别是 173cm、 170cm

因儿子的身高与父亲的身高有关, 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身 高为__185___cm. (2011 年高考广东卷第 17 小题) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中 分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克). 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中 优等品数 ? 的分布列极其均值(即数学期望) 。

(2012 年高考广东卷第 7 小题) 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为 0 的概率 4 1 2 1 是 A. B. C. D. 9 3 9 9 (2012 年高考广东卷第 17 小题) (本小题满分 13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90),

[90,100], (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. (2013 年高考广东卷第 4 小题) 已知离散型随机变量 X 的分布列为

X P
则 X 的数学期望 EX ? ( A .

1 3 5
) B. 2

2 3 10
C.

3
1 10 5 2
D. 3

3 2

(2013 年第 17 题 12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工 零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大 于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; (3)从该车间 12 名工人中,任 取 2 人,求恰有 1名优秀工人的概率.

1 2 3

7 0 0

9 1

5

第 17 题图


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