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12.5.3因式分解公式法完全平方公式


?

12.5.3 因式分解
?公式法——完全平方

第一关:知识回顾
问题1:整式乘法中的平方差公式是怎样的?
答案: (a ? b)( a ? b)

? a ?b
2

2

问题2:因式分解中的平方差公式是怎样的? 答案: a

/>2

? b ? (a ? b)( a ? b)
2

你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗?

第一关:知识回顾

问题3:分解因式()

(1)4a ? 9a
2

4

(2)(x ? 1) ?(x ? 1)
2
2 2
2

2

4a ? 9a
2 2

4

? a (4 ? 9a ) ? a (2 ? 3a)(2 ? 3a) 因式分解时,先考虑提取公 因式,再考虑其它方法。 ? 2x ?(?2) ? ?4x
2

(x ? 1) ?(x ? 1) ?(x ? 1 ? x ? 1)(x ? 1 ? x ? 1)
1.因式分解要彻底,直到不能分解为止。 2.在分解过程中还要有整体和换元思想。

第二关:探究新知
问题1:整式乘法中的完全平方公式是怎样的?

( a ? b ) ? a ? 2ab ? b
2
2

2

( a ? b ) ? a ? 2ab ? b
2
2

2 右边是整式的积

因式分解中的完全平方公式:

a ? 2ab ? b ? (a ? b) ? (a ? b)(a ? b) 2 2 2 a ? 2ab ? b ? (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)
2 2 2

左边是多项式

第二关:探究新知
形如

a ? 2ab ? b
2

2



a ? 2ab ? b
2

2

的多项式,

叫做完全平方式。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法:适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法:适用于完全平方式 用完全平方公式分解因式的关键是: 判断一个多项式是不是一个完全平方式。

例题:把下列式子分解因式
? ?2 x ? ? 2 ? ?2 x ?? ?3 y ? ? ?3 y ?? ? 2 x ? 3 y ?
2 2

2+12xy+9y2 4x

2

2 ? 2?首?尾 ? 尾2 =(首±尾)2 首

第二关:探究新知 a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2
问题2:填写下表:(10分)

多项式
是否是完全平方式

4a ? 1 x ? 6x ? 9 4a ? 4ab ? b
2
2

2

2

x2 ? x ?1 4

2 4 2 2 ab ? a ? b 3 9

不是



不是

a表示什么
b表示什么
2ab表示什么
表示为(a ? b) 2 或 (a ? b) 2的形式

x
3
2? x ?3

不是三项多项式! 完全平方公式中的两平方项应该做和而不是差!

是 x 2

不是

2 4 2 2 ? a ? b ? ab ? x 3 3 3 2 ? ?1

1

( x ? 3)

2

x ( ? 1) 2 2

2

请运用完全平方公式把下 列各式分解因式: 2 2 ?1? x ? 4 x ? 4 原式 ? ? x ? 2 ? 2 2 ? 2 ? a ? 6a ? 9 原式 ? ? x ? 3? 2 2 ? 3 ? 4a ? 4a ? 1 原式 ? ? 2a ? 1? 2 2 2 ? 4 ? 9m ? 6mn ? n 原式 ? ? 3m ? n ?
1? 1 ? ? 5 ? x ? ? x 原式 ? ? x ? ? 4 2? ? 6 ? 4 a 2 ? 12 ab ? 9b 2 原式 ? ? 2a ? 3b ? 2 ?
2

2

第二关:探究新知

a ? 2ab ? b 2 2 a ? 2ab ? b
2

2

问题3:请每个小组交流讨论完全平方式的特点。(5分) 1.必须是三项式。

2.有两项是两个数或者两个式子的平方, 判断完全平方式要注意: 另一项是这两数或者这两个式子乘积的2倍或-2倍。

要先找出为两数平方和的项,然后再确 定剩余项是不是这两数的2倍或者-2倍。

2 ? 2?首?尾? 尾2 首
“首” 平方, “尾” 平方,
“首” “尾”两倍中间放.

第三关:知识应用 a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2

基 础 训 练

提 升 训 练

综 合 应 用

过 关 测 试

基础训练

1.用完全平方公式分解因式。
(1)4a 2 ? 12 ab ? 9b 2 ? (2a) 2 ? 2 ? 2a ? 3b ? ?3b ?2? ?2a ? 3b ?2
2 2 1 1 1 ?1? ? 2 1? 2 (2) y ? ? y ? y ? 2 ? y ? ? ? ? ? ? y ? ? 16 2 4 ?4? ? 4?

2 2 4 4 2 2 ?2 ? 2 2 (3) ab ? a ? b ? a ? 2 ? a ? ? ? b ? ? (a ? b) 3 3 ?3 ? 3 9

2

1 ?1? ? 1 1? 2 (4) x ? x ? ? x ?2 ? x ? ? ? ? ? ? x ? ? 4 2 ?2? ? 2?
2

2

2

提升训练

2.用完全平方公式分解因式。

(1)16 x ? 72 x ? 81 ? (4 x ) ? 2 ? 4 x ? 9 ? 9
4 2

2 2

2

2

? ?4 x ? 9 ?
2

2

( 2)( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? 1 ? [( x ? 1) ? 1]
2

2

?x

2

注意整体思想和换元思想的运用!

提升训练

2.用完全平方公式分解因式。

(3)( m ? n) ? 10 (m ? n) ? 25
4 2

? [( m ? n) ] ? 2 ? (m ? n) ? 5 ? 5 ]
2 2 2

? [( m ? n) ? 5] ? (m ? 2mn ? n ? 5) 2n?2 2 n ?1 2n ( 4) x ? 18 x ? 81x
2 2

2

2

2

? (x

n ?1 2

) ? 2? x

n ?1

? 9 ? ?9 x

n 2

?

? (x

n ?1

? 9x )

n 2

提升训练

3.因式分解: 2 2 2 2 (1) ? 3ax ? 6axy ? 3ay ? ?3a x ? 2 xy ? y

? ?3a( x ? y )
(2)a ? 8a b ? 16b ? (a ? 4b )
4 2 2 4
2 2 2

?

?

2

? [( a ? 2b)( a ? 2b)]
2

2

? (a ? 2b) (a ? 2b) 2 2 2 (3)( a ? 9) ? 36 a ? (a 2 ? 9 ? 6a)( a 2 ? 9 ? 6a)
2

? (a ? 3) (a ? 3)
2

2

综合应用
2

4.若x ? (m ? 3) x ? 4是完全平方式, 则实数m的值是 ______.
分析:两种情况: 2 2 ( )如果x ? (m ? 3) x ? 4 ? ( x ? 2) 1 则m ? 3 ? 4即m ? 7; 2 2 (2)如果x ? (m ? 3) x ? 4 ? ( x ? 2) 则m ? 3 ? ?4即m ? ?1; ?m ? 7或 ? 1 。

综合应用

5.已知a ? b ? 2, ab ? 2, 1 3 1 3 2 2 则 a b ? a b ? ab 的值为 _______. (5分) 2 2
1 3 1 3 2 2 分析: a b ? a b ? ab 2 2 1 ? ab(a 2 ? 2ab ? b 2 ) 2 1 1 2 ? ab(a ? b) ? ? 2 ? 2 2 ? 4 2 2

综合应用

6.用简便方计算: (10分) 2 (1 2008 ? 64 ? 16 ? 2008 ) 2 2 解:原始 ? 2008 ? 2 ? 2008 ? 8 ? 8 2 2 ? 2008 ? 8)? 2000 ? 4000000 ( 2 (2) 999 ? 1002 ? 998 2 解:原始 ? 998 ? 1 ? 1002 ? 998 ( ) 2 ? 998 ? 2 ? 998 ? 1 ? 1002 ? 998 ? 998 ? 998 ? 2 ?1002) 1 ( ? ? 998 ? ? 2) 1 ? ?1997 ( ?

过关测试

1.把下列式子分解因式: (20分) 3 2 2 3 2 (1) 2a b ? 8a b ? 8ab ; (2)( x ? y) ? 4( x ? y ? 1); ? (3)( x ? y ) ? 4 x y ;
2 2 2 2 2
2

(4)( x ? 2 x) ? 2( x ? 2 x) ? 1;
2 2 2

解:)原始 ? ?2ab(a 2 ? 4ab ? 4b 2 ) ? ?2ab(a ? 2b) 2 (1
2 (2)原始 ? ( x ? y) ? 4( x ? y) ? 4 ? x ? y ? 2) ( 2 2 2 2 (3)原始 ? x ? y ) ? (2 xy) (

? ( x 2 ? y 2 ? 2 xy)( x 2 ? y 2 ? 2 xy)

? ( x ? y) ?x ? y ?
2

2

过关测试
(5分) 3.如果100x2+kxy+y2可以分解为 (10x-y)2,那么k的值是( B ) A、20 B、-20 ? y) ? 100 x ? 20 xy ? y ? (10 x ?k ? C、10 D、-10?20. (5分) 4.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式, 那么m的值为( ) B A、6 B、±6 2 2 2 ? ( x ? 3 y) ? x ? 6 xy ? 9 y C、3 D、±3
2 2 2

? m ? ?6

过关测试
?2 x ? y ? 6,不解方程组, 5.已知x, y满足? ?x ? 3 y ? 1 求7 y ( x ? 3 y ) 2 ? 2(3 y ? x)3的值。
解:y ( x ? 3 y ) ? 2?3 y ? x ? 7 ? 7 y( x ? 3 y) 2 ? 2[?(?3 y ? x)]3
2 3

? 7 y( x ? 3 y) 2 ? 2 ? (?1)3 ( x ? 3 y)3

? 7 y( x ? 3 y) 2 ? 2( x ? 3 y)3 ? ( x ? 3 y) 2 [7 y ? 2( x ? 3 y )]

? ( x ? 3 y ) ( y ? 2 x) ? 1 ? 6 ? 6
2
2

第四关:总结概括
(1)形如________________形式的多项式可以用完全 a 2 ? 2ab ? b2

平方公式分解因式。 (2)因式分解通常考虑______________再考虑其它方法, 提取公因式法 并且因式分解要彻底。 整体 换元 (3)注意_____数学思想和_____数学思想。

思考题:
有一系列等式: 1? 2 ? 3 ? 4 ? 1 ? 52 ? 12 ? 3 ?1 ? 1 2 ( ) 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 112 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1 2 ( ) 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 1 ? 19 2 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1 2 ( ) 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 1 ? 29 2 ? 4 2 ? 3 ? 4 ? 1 2 ( ) ...... ( )根据你的观察,归纳,发现的规律, 1 写出8 ? 9 ?10 ?11 ? 1的结果 __________ ; (2)试猜想n?n ? 1?(n ? 2)( n ? 3) ? 1是哪个数的平方,并证明。


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