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8:平面解析几何(教师版)


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 8:平面解析几何
一、选择题 1 . (2013 年高考重庆卷 (文) ) 设 P 是圆 ( x ? 3)
2

? ( y ? 1)2 ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上
( )

的动点,则 PQ 的最小值为 zhangwlx A.6

答案】B 2 . (2013 年高考江西卷(文) )如图.已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与

B. 4

C.3

D.2

l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx,则 y 与时间 t(0≤x≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为

【答案】B 3 . (2013 年高考天津卷(文) )已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切, 且与直线

ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 a ?

( C.2 D.
1 2



A. ?

1 2

B.1

【答案】C 4 . (2013 年高考陕西卷(文) )已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与

圆 O 的位置关系是 A.相切 【答案】B

( B.相交 C.相离
2



D.不确定

5 . (2013 年高考广东卷(文) )垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x

? y 2 ? 1相切于第一象限的直
( )

线方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
【答案】A 二、填空题

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

1

6 . (2013 年高考湖北卷(文) )已知圆 O : x2 ? y 2 ? 5 ,直线 l : x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ? ? ?

π ). 2

设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ,则 k ? ________. 【答案】4
7 . (2013 年高考四川卷 (文) ) 在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) , B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1)

的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 . (2013 年高考江西卷(文) )若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是_________.
【答案】 ( x ? 2) ? ( y ?
2

3 2 25 ) ? 2 4

9 . (2013 年高考湖北卷(文) )在平面直角坐标系中,若点 P( x, y ) 的坐标 x , y 均为整数,则称

点 P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形 的面积记为 S ,其内部的格点数记为 N ,边界上的格点数记为 L . 例如图中△ ABC 是格 点三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 . (Ⅰ)图中格点四边形 DEFG 对应的 S , N , L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为 S ? aN ? bL ? c ,其中 a,b,c 为常数. 若某格点多边形 对应的 N ? 71 , L ? 18 , 则 S ? __________(用数值作答).

(Ⅱ)79 2 2 10( .2013 年高考浙江卷 (文) ) 直线 y=2x+3 被圆 x +y -6x-8y=0 所截得的弦长等于__________.
【答案】 4

【答案】(Ⅰ)3, 1, 6

5
2

11. (2013 年高考山东卷(文) )过点(3,1)作圆 ( x ? 2)

? ( y ? 2) 2 ? 4 的弦,其中最短的弦长

为__________
【答案】 2

2

三、解答题 12. (2013 年高考四川卷(文) )
2 2 已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 , 点 O 是坐标原点 . 直线 l : y ? kx与圆 C 交于

M , N 两点.
(Ⅰ)求 k 的取值范围;

2

(Ⅱ) 设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点 , 且 函数.
2

2 1 1 . 请将 n 表示为 m 的 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

【答案】解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x

? ( y ? 4)2 ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*)

由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则
2 2 OM ? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 ,又 OQ ? m2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m2 , 2 2 2



2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? ? ? 2 2 m 2 x1 2 x 2 2 x1 x 2
8k 1? k
2

由(*)知 x1 ? x 2 ? 所以 m 2 ?

, x1 x 2 ?

12 , 1? k2

36 , 5k 2 ? 3 36 n ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , 5k ? 3 m

因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? 由 m2 ?

36 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 5k 2 ? 3

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 , ? 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3, 0) ? (0, 3) ) 5

3


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