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【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题08 立体几何 理


【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编(第 3 期)专题 08 立体 几何 理
一.基础题 1.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 m 、 n 是不同的直线,? 、 ? 、? 是 不同的平面,有以下四命题: ① 若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? ; ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; 其中真命题的序号是 A.①③ B.①④ ②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ④若 m // n, n ? ? ,则 m // ? . ( C.②③ D.②④ )

2. 【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】 对于平面 ? 和共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是真命题的为 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n D.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m // n 【答案】C 【解析】考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断. 3.【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】如图,若一个空间几何体的三视 图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥 底面是一个边长为 1 的正方形,故底面积 S 底=1 侧面有两个直角边长为 1 的等腰直角三角形,和两个边长分为 1, 形组成,故 S 侧=2× ×1×1+2× ×1× =1+



的直角三角

∴该几何体的表面积 S=S 底+S 侧=2+ 故选 D 4.【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试(零诊) 】已知 m、n 是两条不同直 线,α 、β 是两个不同平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 α ⊥β ,n⊥β ,m∥n,则 m∥α B.若 α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,则 m⊥α 或 m⊥β

C.若 α ∩β =n,m∥n,m?α ,m?β ,则 m∥α 且 m∥β D.若 m 不垂直于平面 α ,则 m 不可能垂直于平面 α 内的无数条直线

? ? 5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平

面,下列命题 中正确的有



n 则 ? 则 ① 若m‖ ? ,‖ ? , m‖ n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; m 则 n 则 ③ 若m‖ ? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .

6.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】下列命题中,m,n 两条不同的直线,?,?,? 表 示三个不同的平面. ①若 m ? ? , n ? ? , 则 m ? n ;②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? ;③若 m ? ? , n ? ? , 则 m ? n ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 则 m ? ? ,正确的命题是( C ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

【解析】 :②中平面 ?、? 即可平行,也可相交;③中直线 m、n 平行、相交和异面皆可 7.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】在空间,下列命题正确的是 ( ) A.平行直线在同一平面内的射影平行或重合 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 【答案】B 【解析】A 中的射影也有可能是两个点,错误。C 中两个平面也可能相交,错误。D 中的两 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行

个平面也有可能相交,错误。所以只有 B 正确。 8.【四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测】已知直线 l 丄平面 a,直线 平面 ,则“ (A)充要条件 ”是“ ”的 (C)充分条件 (D)既不充分又不必要条件

(B)必要条件

9.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试](5 分)一个几何 体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

10.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考](5 分)已知某个几何体的三视 图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由三视图可知,几何体为底面为正三角形的三棱锥,且一面垂直于底面, V= 故选 B. ,

11.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二 次联考】已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何体的体积是______.

【答案】2 【解析】由三视图可知,这个几何体是个四棱锥,底面是一个长和宽分别为 3,2 的矩形,四 棱锥的高为 1,其体积为 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2
3 1

12.【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】若一个正三棱柱的三视图如下 图所示,则这个正三棱柱的体积为__________.

13.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】一个几何体的三视图如右图所示,主 视图与俯视图都是一边长为 3cm 的矩形,左视图是一个边长为 2cm 的等边三角形,则这个几 何体的体积为________. 【答案】 3 3cm
3

【解析】由三视图可知,该几何体是放到的正三棱柱,

底面是边长为 2 的正三角形,高为 3,故几何体的体积为 二.能力题 1.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 如图,右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是 ..

1 2

? 2 ? 2 ? sin 60 ? 3 ? 3 3cm .
3

?

正视图

侧视图

正视图

侧视图

A.

B.

正视图

侧视图

正视图

侧视图

C. 【答案】A

D.

【解析】根据三视图的定义,可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形;侧视图和正 视图一样,故答案为 A. 2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 已知某个几何体的三视图如图 2 所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,则这个几何体的体

积是( A. 8cm3

). B. 12cm3 C. 24cm3 D. 72cm3

3.【2012-2013 学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】已知以下三视图中有三个同时表 示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是( )

A.

B.

C.

D.

4.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是 A. 3 B. 2 5 C. 6 D. 8

3

3

4 正视图 2 2

2 侧视图

P
2

俯视图 图1

3

5

3

【答案】 C 【解析】 三棱锥如图所示,PM ? 3 ,S ?PDC ?
S ?PBC ? S ?PAD ? 1 2 1 2 1 2 ? 4?3 ? 6 ? 4? 5?2 5 ,

D A

2 2

N

2 2

C

M

B

? 2 ? 3 ? 3 , S ?PAB ?

5. 【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试(零诊) 】设某几何体的三视图如 图(尺寸的长度单位为:m) ,若该几何体的各个顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于 2 m (答案用含有 π 的式子表示)

6.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据 图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为

A. 10 ? 4 3 ? 4 2 【答案】B

B. 10 ? 2 3 ? 4 2

C. 14 ? 2 3 ? 4 2

D. 14 ? 4 3 ? 4 2

7.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形, 其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 A.
3 4 3 2

B.
3 4

C.

D.

【答案】C 【解析】由正视图与俯视图可知,该几何体为正三棱锥,侧视图为,侧视 图的高为 选 C. 8.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的
3 2

,高为 3 ,所以侧视图的面积为

1 2

?

3 2

?

3?

3 4



表面积为



9.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的

等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 (A)
3

(B) 2 3

(C) 1

(D) 2

【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,

,所以四个面中面积最大的为 ?BCD , ?BCD 是边长为为 2 的正 且
1 2 3 2

三角形,所以 S ?BCD ?

? 2? 2?

?

3 ,选 A.

10.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左 视图如图所示,则棱 BD 的长为_________.

11.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 m, n 是不同的直线,? , ? 是不同的平面, 设 下列命题中正确的是( )

A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥ ?

D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ? 【答案】C 【解析】C 中,当 m / /? , m / / n ,所以, n / /? , 或 n ? ? , 当 n ? ? ,所以 ? ⊥ ? ,所以正确。 12.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示,该几何 体的 表面积是

(A) 16 ? 4 2 (B) 12 ? 4 2 (C) 8 ? 4 2 (D) 4 ? 4 2

13.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示.该四面体的六 条棱的长度中,最大的是( )

(A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2

【答案】C

14.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P , P2 分别是线段 AB , BD1(不包括端点)上的动点,且线段 P 1 P2 平行于平面 A1 ADD1 , 1 则四面体 P P2 AB1 的体积的最大值是 1 A. 【答案】A 【解析】过 P2 做 P2O ? 底面于 O,连结 OP , 则 OP ? AB ,即 OP 为三棱锥 P2 ? P AB1 的高, 1 1 1 1
0 设 AP ? x, ? x ? 1 ,则由题意知 OP / / AD ,所以有 1 1
OP 1 AD ? BP 1 AB 1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

,即 OP ? 1 ? x 。三角 1 的 体 积 为


1 3

S ?AP B ?
1 1

1 2

x ? 1 2




1 6









P P AB 1 2 1

S ?AP B ? OP ? 1
1 1

1 3

x (1 ? x ) ?

x (1 ? x ) ?

1 x ?1? x 2 1 ( ) ? ,当且仅当 x ? 1 ? x ,即 6 2 24 1 24

x?

1 2

时,取等号,所以四面体 P P2 AB1 的体积的最大值为 1

,选 A.

15、 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的 体积是( A.
8 3

) B. 4 C. 2 D.
4 3

2 2 2 3 1 3

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥,三棱锥的高为 2,底面三角形的高为 3,底面边长 为 3,所以底面积为
1 2 ? 4 ? 3 ? 6 ,所以该几何体的体积为 1 3 ? 6 ? 2 ? 4 ,选 B.

16.【安徽省 2013 届高三开年第一考】一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的,其正 视图、侧视图、俯视图均是边长为 2 的正方形,如图所示,该多面体的表面积是( ) A. 12 ? 4 3 B. 8 ? 2 3 C. 12 ? 2 3 D. 8 ? 4 3

【答案】A 【解析】由三视图可得,多面体如图所示,其面积为
S ? 12 ? 4 3 ,选 A

17.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】如图,L,M,N 分别为正方体对应棱的中点, 则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是 A.垂直 B.相交不垂直 C. 平行 D.重合

18. 【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 是 AB 的三等分点, H 是 CD 的三等分点, N 分别是 BC、 的中点, F G、 M、 EH 则四棱锥 A1 -FMGN 的 侧视图为

【答案】C. 【解析】 (略). 19.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】已知命题:“如果 x ? y , y / / z ,则 x ? z ” 是假命题,那么字母 x, y, z 在空间所表示的几何图形只可能是( A.全是直线 【答案】D
?x ? y ? ? y / /z



B.全是平面

C. x,z 是直线 y 是平面

D. x,y 是平面,z 是直线

【解析】∵当 x,y 是平面,z 是直线时,

推不出 x ? z ,∴选 D

20.【四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测】一空间几何 体的三视图如图所示,图中各线段旁的数字表示 该线段的长度,则该 几何体的体积为 (A) 30 【答案】A (B) 27 (C) 35 (D) 36

【解析】本题考查立体几何的三视图,需要空间想象力。原几何体是:下面棱长为 3 的正方 体,上面是高为 2(高线也是一侧棱,且垂足是棱的中点)的三棱锥。

22.【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】已知 A,B,C,D 四点在半径为 的球面上,且 ,AD=BC=5,AB=CD,则三棱锥 D﹣ABC 的体积是 .

【解析】由题意,构造长方体,其面上的对角线构成三棱锥 D﹣ABC,如图所示

设长方体的长宽高分别为 a,b,c,则

∴a=3,b=2,c=4 ∴三棱锥 D﹣ABC 的体积是 2×3×4﹣4× × ×2×3×4=20 故答案为:20. 23.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据, 可得该几何体的体积是___________. [【解析】 :还原该几何体的立体图形如下图,再将其切割 为两个相同四棱锥和一个三棱柱,便可求得体积为 2

24.[安徽省宣城市 6 校 2013 届高三联合测评考]一几何体的 三视图如图所示,则其体积为 【答案】 2? 1 【解析】该几何体是一个高为 6,底面半径为 2 的圆锥的 , 4 故其体积 V=
1 1 2 ? ? ? ? 2 ? 6=2? 4 3

【答案】① 【解析】 ①经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线, 与两条异面直线都垂直, 而且这样的直线有且只有一条,故正确; ②若该点在这两条异面直线其中一条上,经过该点无法作一平面与两异面直线都平行, 故错误; ③若直线 b 不在平面 β 内或两个平面 α ,β 不是垂直的,此时都无法判断 b⊥α ,故 错误; ④平行六面体的四个侧面两两全等, 但侧棱与底面不垂直时, 棱柱为斜四棱柱, 故错误; ⑤当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况, 侧面都是等腰三角形的三棱锥但不 是正三棱锥,故错误; 故答案为:① 三.拔高题 1.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】一个几何体的三视图如图

所示,则该几何体的表面积为



2.【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测】 (本小题共 14 分) 如图,在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , E 是 AB 的中点, MA ⊥平面 ABCD ,且 在矩形 ADNM 中, AD ? 2 , AM ? (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)求证: AN // 平面 MEC ; (Ⅲ)求二面角 M ? EC ? D 的大小. D C B
3 7 7

. M

N

A 解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB .????????2 分 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .????????4 分 (Ⅱ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. M

E

z N

F D C A x E B y

因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .??????????7 分 又 EF ? 平面 MEC ,
AN ? 平面 MEC



所以 AN // 平面 MEC . ???????????????????????9 分

又平面 ADE 的法向量 m ? (0, 0,1) ,
m?n m n 1 2

所以 cos ? m , n ??

?

.

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60°. ???????????????14 分 3. [2012-2013 学年河南省中原名校高三 (上) 第三次联考] (12 分) 如图一, 平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称,∠A=60°,∠C=90°,CD=2.把△ABD 沿 BD 折起(如图二) ,使二面角 A ﹣BD﹣C 的余弦值等于 .对于图二,完成以下各小题:

(Ⅰ)求 A,C 两点间的距离; (Ⅱ)证明:AC⊥平面 BCD; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 BD⊥平面 ACEBD? 平面 ABD ∴平面 ACE⊥平面 ABD(10 分) 平面 ACE∩平面 ABD=AE, 作 CF⊥AE 交 AE 于 F,则 CF⊥平面 ABD,∠CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角, (12 分) ∴ . (14 分)

4. 【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】 (本小题满分 12 分) 如图,边长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 CC1 的中点。

(1)求直线 A1 E 与平面 BDD1 B1 所成角的正弦值; (2)求点 E 到平面 A1 DB 的距离。 A1 B1 C1

A

O B

C

【解析】 :以 DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图, 则 D(0,0,0),A(a,0,0).B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,a, (1)设直线 A1E 与平面 BDD1B1 所成的角为 ? . 因为 AC ? 平面 BDD1B1,所以平面 BDD1B1 的法向量为
AC ? ( ? a, a,0) ,又 A1 E ? ( ? a, a,?
??? ???? ? ??? ???? ? AC ? A1 E cos ? AC , A1 E ?? ??? ???? ? ? AC ? A1 E

a 2

),A1(a,0,a). ????3 分

a 2

).
2

2a 2a ?
2

? 9a 4
2

2 2 3

所以

sin ? ?

2 2 3

.??????????????????????????6 分

(2)设 n = ( x, y,1) 为平面 A1DB 的法向量, DA1 ? (a,0, a ), DB ? (a, a,0)
? n ? DA1 ? 0 , n ? DB ? 0
? n ? (?1,1,1)
? x ? ?1, y ? 1 ???????????????8 分

??? ? a 又 DE ? (0, a, ), 2

??? ? ? DE ? n 3 d ? ? a ?????????11 分 ? 2 n

即点 E 到平面 A1 DB 的距离为

3 2

a .???????????????????12 分

5. 惠州市2013届高三第三次调研考试】 【 如图, 在长方体
AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动.

ABCD ? A1 B1C1 D1

中,

AD ? AA1 ? 1



(1)证明:

D1 E ? A1 D


ACD1

(2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面

的距离;

?

(3) AE 等于何值时,二面角

D1 ? EC ? D

的大小为 4 ?

【解析】 (1)证明:如图,连接
四边形A1 ADD1 ?

D1 B

,依题意有:在长方形

A1 ADD1

中,

AD ? AA1 ? 1



A1 D ? AD1 ? ? ? A1 D ? 平面AD1 B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1 D ? ? ? A1 D ? D1 E D1 E ? 平面AD1 B ? ? AD ? AB ? A? .??? 4分

(2) AC ? 解:
EC ?
2

AB ? BC
2 2

2

?

5, AE ? AB / 2 ? 1 ,

BE ? BC

?

2,
?? 2 2

cos ?AEC ?

1? 2 ? 5 2 ? 1?
2 2 .

2



? sin ?AEC ?



S ?AEC ?

1 2
1 3

? 1?

2?

2 2

?

1 2 ,????? 6分

VD ? AEC ?
1

? 1?

1 2

?

1 6.

AD1 ?

AA1 ? DA ?
2 2

2



D1C ?

D1C1 ? CC1 ?
2 2

5



5? ? sin ?D1 AC ? 5

1 2 ? 3 10 10
S ?A DC ?
1

1 2

?

2?

5?

3 10 10

?

3 2.

.∴

设点 E 到平面

ACD1

的距离为 d ,∴

VD ? AEC ? VE ? AD C ?
1 1

1 3

d?

3 2

?

1 6

?d ?

1 3.

1

∴点 E 到平面

ACD1

的距离为 3 . ??????????????????? 8分

6. 【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】.

(本小题满分 12 分)

在正四棱锥 V - ABCD 中,P,Q 分别为棱 VB,VD 的中点, 点 M 在边 BC 上,且 BM: BC = 1 : 3,AB = (I )求证 CQ 丄 AP; (II)求二面角 B-AP-M 的余弦值. ,VA = 6.

设正方形 ABCD 的中心为 O , N 为 AB 的中点, R 为 BC 的中点,分别以 ON , OR , OV 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标系,

??? ? ?n ? AP ? 0 ? a ? 3b ? 10c ? 0 ? 1 ? (Ⅱ)设平面 BAP 的法向量为 n1 ? ? a, b, c ? ,由 ? 得? ??? ? ?b ? 0 ?n1 ? AB ? 0 ? ?

故 n1 ? ? 10, 0,1? ,同理可得平面 APM 的法向量为 n 2 ? ? 3,1, 0 ? , 设二面角 B ? AP ? M 的平面角为 ? ,则 cos ? ?
n1 ? n 2 n1 n 2 ? 3 11 11



?12分

7.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】 (本小题满分 13 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥平面 ABC, △ABC 为正三角形, 且侧面 AA1C1C 是边长为 2 的正方形,E 是 A,B 的中点,F 在棱 CC1 上。 (I)当 C1 F ?
1 2

CF 时,求多面体 ABCFA1 的体积;

(II)当点 F 使得 A1F+BF 最小时,求二面角 A-A1F-B 的余弦值。
1 2 4 3 10 3

解析: (Ⅰ)? C1 F ?

CF , AC ? CC1 ? 2,? CF ?

, S直角梯形AA FC ?
1

.

由已知可得 ?ABC 的高为 3 且等于四棱锥 B ? A1 ACF 的高.
? V B ? A ACF ?
1

1 3

?

10 3

?

3 ?

10 9

3 ,即多面体 ABCFA1 的体积为

10 9

3. ???? 5 分

(Ⅱ)将侧面 BCC1 B1 展开到侧面 A1 ACC1 得到矩形 ABB1 A1 ,连结 A1 B ,交 C1C 于点 F ,此时点
F 使得 A1 F ? BF 最小.此时 FC 平行且等于 A1 A 的一半,? F 为 C1C 的中点. ??7 分

以 AC , AA1 分别为 y 轴, z 轴,过点 A 且与 AC 垂直的直线为 x 轴建立空间直角坐标系,则
A(0, 0, 0), B ( 3,1, 0), A1 (0, 0, 2), F (0, 2,1),

显然平面 AA1 F 的法向量为 n1 ? (1, 0, 0); 设平面 A1 FB 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ), ∵ A1 B ? ( 3,1, ?2), A1 F ? (0, 2, ?1), ∴ ?
? ?

??

?? ?

????

???? ?

? 3 x ? y ? 2 z ? 0, ? 2 y ? z ? 0,

令 y ? 1, 得 n2 ? ( 3,1, 2),

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 6 ?? ? ? . ?????? 13 分 P 设二面角 A ? A1 F ? B 为 ? , 则 cos ? ? ?? 4 | n1 | ? | n2 |

8.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】 (本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值.
D A

N

B

M 图4

C

(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象 概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) (1)证法 1:取 PA 的中点 E ,连接 DE , EN ,
P

E

N

∵点 N 是 PB 的中点, ∴ EN // AB, EN ?
1 2 AB .

????? 1 分

∵点 M 是 CD 的中点,底面 ABCD 是正方形, ∴ DM // AB, DM ?
1 2 AB .

????? 2 分

∴ EN // DM , EN ? DM . ∴四边形 EDMN 是平行四边形. ∴ MN // DE . ????? 3 分
P

∵ DE ? 平面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . ????? 4 分
N

证法 2:连接 BM 并延长交 AD 的延长线于点 E ,连接 PE ,
A

∵点 M 是 CD 的中点,
1 2
E D M C

B

∴ DM // AB, DM ? ∴点 M 是 BE 的中点. ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ MN // PE .

AB ,

????? 1 分 ????? 2 分

????? 3 分

∵ PE ? 面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . 证法 3: 取 AB 的中点 E ,连接 NE , ME , ∵点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点, ∴ ME // AD , NE // PA . ∵ AD ? 面 PAD , ME ? 平面 PAD , ∴ ME // 面 PAD . ∵ PA ? 面 PAD , NE ? 平面 PAD , ????? 1 分 ????? 4 分

∴ NE // 面 PAD .

????? 2 分

∵ NF ? 面 NEF , ∴ AM ? NF . ∴ ?NFE 是二面角 N - AM - B 的平面角. 在 Rt△ NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ?
MN

????? 8 分 ????? 9 分
2

? ME

2

? 4,

????? 10 分
3 2
AE gME AM 3 5 5

在 Rt△ MEA 中, AE =

,得 AM ?

ME

2

? AE

2

?

3 5 2



EF =

=

.

????? 11 分

在 Rt△ NEF 中, NF ?

NE

2

? EF

2

?

445 5



????? 12 分

cos ? NFE

EF NF

=

3 89 89

.

????? 13 分

∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

3 89 89

.

????? 14 分

设平面 AMN 的法向量为 n ?
???? ?

? x, y, z ? ,
z P

????

由 n ? AM ? 0 , n ? AN ? 0 ,
? 3 y ? 0, ?3 x ? ? 2 得? ? 3 y ? 4 z ? 0. ? ?2

N

令 x ? 1 ,得 y ? ?2 , z ?

3 4

.
D x

A E

B y

M

C

∴ n ? ? 1,?2, ? 是平面 AMN 的一个法向量.
? 4?

?

3?

????? 11 分

又 EN ? ? 0,0,4 ? 是平面 AMB 的一个法向量,
???? ? n, EN cos
? ???? ? n?EN ???? ? n EN ?

??? ?

????? 12 分 ????? 13 分

3 89 89

.

∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

3 89 89

.

????? 14 分

9. 【2012-2013 学年四川省成都市高新区高三 (上) 统一检测】 如图, 在梯形 ABCD 中, AB∥CD, AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1. (I)求证:BC⊥平面 ACFE; (II)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 θ (θ ≤90°) , 试求 cosθ 的取值范围.

[ ∵ 是平面 FCB 的一个法向量



∵ 当 ∴

∴当 λ =0 时,cosθ 有最小值 时,cosθ 有最大值 . .



10【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 (本题满分 14 分) 如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90 , PA 垂 直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点。 (1)求证: PB ? DM ; (2)求平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值; (3)求 点 B 到平面 PAC 的距离.
?

(2)方法一:

方法二:如图建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 0), N (1, 0,1) , D (0, 2, 0)
???? ??? ? AN ? (1, 0,1) , AD ? (0, 2, 0)

(6 分)

? ???? ? ? ? n ?AN ? 0 设平面 ADMN 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ???? ? n ?AD ? 0 ?

即?

?x ? z ? 0 ?2 y ? 0

,令 z ? ?1 ,则 x ? 1 ,
?

所以平面 ADMN 的一个法向量为 n ? (1, 0, ?1) 显然 a ? (0, 0, 2) 是平面 ABCD 的一个法向量 设平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角为 ? ,则
? ? n? a cos ? ? ? ? ? | n |?| a | ?2 2 ?2 ? 2 2
?

(7 分)

(9 分)

即平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值为

2 2

.

(10 分)

11.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 (本小题满分 12 分) 如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小.

解: (Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵AC=AD,F 为 CD 中点,∴AF⊥CD, 因 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ?????? 4 分

(Ⅱ)取 CE 的中点 Q,连接 FQ,因为 F 为 CD 的中点,则 FQ∥DE,故 DE⊥平面 ACD,∴FQ⊥ 平面 ACD,又由(Ⅰ)可知 FD,FQ,FA 两两垂直,以 O 为坐标原点,建立如图坐标系, 则F (0, 0) C ?1 , 0) A 0, ,( 0, ,(0, 0,
??? ? ??? ? ,(0, 1, 3 ) E ,(1, 0) CB ? (1,1, 3), CE ?(2, 2,0) 2, . 3)B

??????6 分 设面 BCE
? ??? ? ? ? n ? CB ? 0, ? 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ??? ? ? n ? CE ? 0, ?

即?

?x ? y ? ?

3 z ? 0,

? 2 x ? 2 y ? 0, ?

取 n ? (1, ?1, 0) .
??? ?

?

又平面 ACD 的一个法向量为 FQ ? (0,1, 0) ,



??? ? ? ??? ? ? FQ ? n 0 ?1? 0 2 ? cos ? FQ, n ? ? ??? ? ? ? 2 | FQ || n | 2



∴面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45°. 12.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是正方 形, AC与BD交于点O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点. (Ⅰ)求证: DE ∥平面
ACF ;

(Ⅱ)求证: BD ^ AE ; (Ⅲ) AB = 若 使 求出 2CE , 在线段 EO 上是否存在点 G , CG ^ 平面BDE ?若存在,
EG EO

的值,若不存在,请说明理由.
E F

C O D A

B

【答案】解: (I)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点.
E F G C O A B

D

又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ???????.2 分 又 OF 趟平面ACF , DE
平面ACF ,

所以 DE ∥平面 ACF ????.4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD 所以 EC ^ BD, 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD, 又 AC 翘EC =C , AC ,EC
平面ACE,
底面ABCD,

所以 BD ^ 平面ACE , ????????????..8 分

又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ^ AE ????????????????..9 分

解法二: 由 EC ^ 底面ABCD, 且底面 ABCD 是正方形,如图, 建立空间直角坐标系 C - DBE ,

z E F

由已知 AB = 则

2CE , 设 CE = a (a > 0) ,

G C B O D x A y

C (0, 0, 0), D ( 2a, 0, 0), B (0,

2a, 0), E (0, 0, a ),

O(

2 2

a,

2 2

uuu r a, 0), BD = ( 2a, -

uur 2a, 0), BE = (0, -

uuu r 2 a, a), EO = (

2 2

a,

2 2

a, - a).

设 G 为线段 EO 上一点,且

EG EO

uuu r uuu r = ? (0 < ? < 1) ,则 EG = ? EO = (

2 2

? a,

2 2

? a, - ? a ),

uuu r uur uuu r CG = CE + ? EO = (

2 2

? a,

2 2

? a, (1- ? )a ), ??????????..12 分

uuu r

uuu r

uuu r

uur

由题意,若线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,则 CG ^ BD , CG ^ BE . 所以, - ? a 2 + (1- ? ) a 2 = 0, 解得,? =
1 2 (0,1 , )

故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,且

EG EO

=

1 2

. ???????? 14 分

13.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】在长方体 ABCD-A1 B1C1 D1 中, AA1=AD=2 , 点 E 在棱 CD 上,且 CE= CD .
3 1

(Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 D ; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在点 P ,使 DP ∥平面 B1 AE ?若存在,求出线段 AP 的长;若不存 在,请说明理由; (Ⅲ)若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为
30 6

,求棱 AB 的长.

【答案】证明: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A1 B1C1 D1 中,

因为 A1 B1 ? 面 A1 D1 DA , 所以 A1 B1 ? AD1 . ????????2 分

在矩形 A1 D1 DA 中,因为 AA1=AD=2 , 所以 AD1 ? A1 D . 所以 AD1 ? 面 A1 B1 D . ????????????????????????4 分

设 AB 的长为 x ,则 C1 (0, x, 0), B1 (2, x, 0) ,
C (0, x, 2), E (0, 2 3 x, 2) .

假设在棱 AA1 上存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE .

因为 DP ∥平面 B1 AE ,等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE . 得 2 x + ( y - 2) ?
??? ? 3 2 x ? 0 ,所以 y ? ??? ? 4 3 2 3

??? ?


4 3

所以 AP ? (0, 0, - ) , AP ?
3

4

,所以 AP 的长为

.????????????9 分

(Ⅲ)因为 CD ∥ A1 B1 ,且点 E ? CD , 所以平面 A1 B1 E 、平面 A1 B1 D 与面 A1 B1CD 是同一个平面. 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1 B1 D , 所以 D1 A ? (2, 0, 2) 是平面 A1 B1 E 的一个法向量. 由(Ⅱ)可知,平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x, 3,
30 6

???? ?

????????????11 分
3 2 x) .

因为二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为
???? ? D1 A ? n ? ???? ? ? AD1 ? n



所以 cos ? ?

30 6

2 x + 3x 2 2? x ?9?(
2

,解得 x ? 3 2 .
3 2 x)
2

故 AB 的长为 3 2 .

??????????????????????14 分

14.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】如图,在菱形 ABCD 中,?DAB ? 60? ,

E 是 AB 的中点, MA ⊥平面 ABCD ,且在矩形 ADNM 中, AD ? 2 , AM ?

3 7 7



(Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)求证: AN // 平面 MEC ; (Ⅲ)求二面角 M ? EC ? D 的大小. M

N

D 【答案】解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB .????????2 分 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .????????4 分 (Ⅱ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .??????????7 分 又
EF ?

C B

A z N M

E

F D C A x E B y

平面
MEC

, ,

平面
AN ? MEC

所以 AN // 平面 MEC . ???????????????????????9 分 (Ⅲ)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 D (0, 0, 0) , E ( 3, 0, 0) , C (0, 2, 0) ,
3 7 7 ???? ? ??? ? 3 7 ) .????????????????10 分 CE ? ( 3, ?2.0) , EM ? (0, ?1, 7

M ( 3, ?1,

).

设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .
??? ? ?CE ? n ? 0, ? 则 ? ???? ? ? EM ? n ? 0. ?

15.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? BC ? 1 ,AA1 ? 2 ,E 为 BB1 中点. (Ⅰ)证明: AC ? D1 E ;
E A1 D1 C1

B1

(Ⅱ)求 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值;
D C

(Ⅲ)在棱 AD 上是否存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ? 若存在,求 DP 的长;若不存在,说明理由.
A B

(Ⅰ)证明:连接 BD
D1

z

C1

∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,
A1 B1

∴ D1 D ? 平面 ABCD , 又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC ??????1 分
A x B D E

C y

在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC 又 BD ? D1 D ? D ∴ AC ? 平面 BB1 D1 D , ??????3 分 ??????2 分

而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D

∴ AC ? D1 E

??????4 分

BC 16. 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 【 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, PA=PB=AB=2, ? 3 , ?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点.

(Ⅰ)求证:DE‖平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE;
P

A D E C

(Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小.

B

【答案】解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ?DE//BC .

? DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC,

P _

?DE//平面 PBC .??????????4 分 (Ⅱ)连结 PD,
? PA=PB, ?

A _ D _ B _ E _ C _
?

PD

?

AB. ???????????.5 分 AB, DE

? DE / / BC ,BC ?
?

AB. .... .............................................................6 分
又? PD ? DE ? D ,
? AB ? 平面

PDE.................................................8 分 PDE, ......................................................9 分

? PE? 平面
? AB ? PE



设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? 由图知, 2, n1 ? n2

所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60? . .................14 分

17.【北京市海 淀区 2013 届高三 上学期期末理】 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
?BAC ? 90? ,
A1 C1

B1

A E B

C

AB ? AC ? AA1 ? 2, E

是 BC 中点.

(I)求证: A1 B / / 平面 AEC1 ; (II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1 M ? C1E ,求 AM 的长; (Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.

(Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 A(0, 0, 0), A1 (0, 0, 2), B(2, 0, 0), B1 (2, 0, 2), C (0, 2, 0), C1 (0, 2, 2), E (1,1, 0),

设 M (0, 0, m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1 M ? ( ?2, 0, m ? 2), C1 E ? (1, ?1, ?2) , 因为 B1 M ? C1E ,所以 B1 M ? C1E ? 0 ,解得 m ? 1 ,所以 AM
????? ???? ?
?1

?????

???? ?

??8 分

18.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? ,
BC ? 3,AC ? 6 .D、E

分别是 AC、AB 上的点,且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起

到 ?A1 DE 的位置,使 A1 D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A1 BC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值.

A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

(Ⅲ)设 D ( x, 0, 0) ,则 A1 ( x, 0, 6 ? x ),
A1 B ?
?

( x -0) ? (0-3) ? (6-x -0)
2 2

2

2 x -12 x ? 45
2

???????12 分

当 x =3 时, A1B 的最小值是 3 3 . 即 D 为 AC 中点时, A1B 的长度最小,最小值为 3 3 . ???????14 分

19.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,

C1 A1 M

B1

C N

B A

AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点.
(Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 N 是 AB 上一点,且
AN AB ? CM CC1

,求证:

CN //平面 AB1M;
(Ⅲ)若 CM ?
5 2

,求二面角 A-MB1-C 的大小.

(Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则

NP∥CC1,且 ?ANP ∽ ?ABB1 . ?????5 分
于是有
NP BB1 ? AN AB

C1 A1 P

B1

M



由已知

AN AB

?

CM CC1

,有

NP BB1

?

CM CC1



C N A

B

因为 BB1=CC1. 所以 NP=CM. 所以 四边形 MCNP 是平行四边形. ?????6 分

所以 CN//MP.

??????7 分

因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, ?????8 分 所以 CN //平面 AB1 M. ?????9 分

20.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.

(Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值. 【答案】 (Ⅰ)证明:连接 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 EO . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点. 所以 PB // EO . ??????3 分 x A
P E D O B y C z

因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以直线 PB //平面 EAC . ??????4 分 (Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD . (Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD . 因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD . 由 Dz , DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .??9 分 设 AB ? 4 ,则 D (0, 0, 0), A(4, 0, 0), B (4, 4, 0), C (0, 4, 0), P(2, 0, 2), E (1, 0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .
??? ? ? n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则有 ? ??? ? ? n ? AC ? 0. ?

??????5 分

??????7 分 ??????8 分

所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1, 3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) .

? 3 x ? z ? 0,

????11 分

?????12 分

所以 | cos n, v | ? 〈 〉

| n?v | | n || v |

?

3 11 11



??????13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?
3 11 11



?????14 分

易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) .
| n?v | | n || v | 3 11 11

????12 分

所以 | cos n, v | ? 〈 〉

?



?????13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?
3 11 11



????14 分

21. 【河北省唐山市 2012—201 3 学年度高三年级期末考试】 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1=60°,AB ⊥B1C。 (I)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (II)求二面角 B-AC-A1 的余弦值.

解: (Ⅰ)由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥BB1C1C.
z C C1

?4 分

B

O A

B1 A1

y

x

22.【湖北武汉武昌 2013 届高三期末调研考试】 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S - ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD,AB 垂直于 AD 和 BC,SA =AB=BC =2,AD =1.M 是棱 SB 的中点. (Ⅰ)求证:AM∥面 SCD; (Ⅱ)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值; (Ⅲ)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与面 SAB 所成的角为 ? ,求 sin ? 的最大值,

(Ⅱ)易知平面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1, 0, 0 ? .设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ? ,
?? ? ?1, 0, 0 ? ? ? 2, ?1,1? n1 ? n 2 6 6 则 cos? ? ?? ? ? ,即 cos? ? . ? ? 3 3 1? 6 1? 6 n1 ? n

??

? 平面 SCD 与平面

SAB 所成二面角的余弦值为
???? ?

6 3

.????????????(8 分)

(Ⅲ)设 N ? ? x, 2 x ? 2, 0 ? , ,则 MN ? ? x, 2 x ? 3, ?1? . 又,面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1, 0, 0 ? ,
??

所以, sin ? =

? x, 2 x ? 3, ?1? ? ?1, 0, 0 ?
x ? ? 2 x ? 3? ? ? ?1? ?1
2 2 2

?
2

x 5 x ? 12 x ? 10

? 5 ? 12

1 1 x ? 10 1 x
2

.

? 1
2

1 10( ) ? 12( ) ? 5 x x
1 x 3 5 5 3

? 1 10( 1 x

1 ? 3 5
35 7

.
) ?
2

7 5



?

,即 x ?

时, sin ? max ?

.??????????????????(12

分) 23. 【浙江省丽水市 2012 年高考第一次模拟测试】 已知四边形 ABEF 是矩形, ?ABC 是等腰三角形,平面 ABEF ? 平面 ABC ,
?BAC ? 120 , AB ?
°

1 2

P BC AF ? 4 , CN ? 3 NA , M, ,Q 分别是 AF ,EF , 的中点.

(Ⅰ)求证:直线 PQ // 平面 BMN ; (Ⅱ)在线段 AB 上是否存在点 R , 使得平面 PQR ? 平面 BMN ?若 存在,求出 AR 的长;若不存在, 请说明理由.

解:(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系

所以 n ? PQ

又 PQ ? 平面 BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 7 分

所以 PQ // 平面 BMN


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