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全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)


全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿) 全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)

在“普及的基础上不断提高”的方针指引下, 全国数学竞赛活动方兴未艾, 特别是连续几年我国选手 在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩,使广大中小学师生和数学工作者为之振奋,热忱不断 高涨,数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开 展,应广大中学师生和各

级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形 势的需要。

本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。 《教学大纲》在教 学日的一栏中指出:“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。 具体作法是:“对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数 学才能”,“要重视能力的培养......,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要 使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时,要重视 培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内 容的理解程度与灵活运用能力,特别是方法与技巧掌握的熟练程度,有更高的要求。而“课堂教学 为主,课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此,本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的 实际情况, 分阶段、 分层次让学生逐步地去掌握, 并且要贯彻“少而精”的原则, 这样才能加强基础, 不断提高。

一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求 和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不 考。

二试 1、平面几何 基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小 的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理: 在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。

2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。 n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。 圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。 一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除 法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。

3、立体几何

多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何

直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。

5、其它

抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。


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