当前位置:首页 >> 数学 >>

(名师伴你行)2014高考数学一轮复习课件


§6.3

等比数列及其前n项和

[高考调研
考纲解读

明确考向]
考情分析

?等比数列的定义、性质、通项公式及前 ?理解等比数列的概念. 和公式. ?能在具体的问题情境中识别数列 相应的问题. n项和公式是高考的热点. 础知识的掌握程度,主观题考查较为全 面,在考查基本运

算、基本概念的基础 化、分类讨论等思想方法. 难度中等偏高. ?掌握等比数列的通项公式与前n项 ?客观题突出“小而巧”,考查学生对基

的等比关系,并能用有关知识解决 上,又注重考查函数与方程、等价转 ?了解等比数列与指数函数的关系. ?题型既有选择题、填空题又有解答题,

知识梳理 1.等比数列的定义 1 ____项起,每一项与它前一项的 如果一个数列从第 □ 2 ____________,那么这个数列叫做等比数列,这 比等于 □ 3 ______,通常用字母 □ 4 ______表 个常数叫做等比数列的 □ 示.

2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= 5 ______________. □ 3.等比中项 6 __________,则G叫做a与b的等比中项. 若□

4.等比数列的常用性质 7 (1)通项公式的推广:an=am· □ N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈ 8 ______________________. N*),则□ __________(n,m∈

(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), 1 an 2 { },{an},{an· bn}{ }仍是等比数列. an bn

5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn. ? 9 ?□ Sn=? ? 10 ?□ ,?q=1? 11 =□ .

6.等比数列前n项和的性质 若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn, 12 ______. S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为□

1 二 答案:□ 5 a1· □ qn 9 na1 □
-1

2 同一个常数(不为零) □ 3 公比 □ 4 q □
-m

6 G2=a· 7 qn □ b □

8 ak· □ al=am· an 12 qn □

a1?1-qn? 10 □ 1-q

a1-anq 11 □ (q≠1) 1-q

名师微博 ●两个防范 ①由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证a1≠0.②在运用等比数列的前n项和公式时,必须注 意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导 致解题失误.

●四种方法 (1)推导等比数列的前n项和公式的方法:错位相减法. an+1 (2)等比数列的判断方法有:①定义法:若 a =q(q为非 n an 零常数)或 =q(q为非零常数且n≥2且n∈N*),则{an}是等 an-1 比数列.②中项公式法:在数列{an}中,an≠0且a 2 an+ n+1 =an·
* ( n ∈ N ),则数列{an}是等比数列.③通项公式法:若数列 2

通项公式可写成an=c· qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则 {an}是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.

基础自测 1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7= ( ) A.64 C.128 B.81 D.243

a2+a3 a1q+a2q 6 解析:∵{an}是等比数列,∴ = =q= 3 = a1+a2 a1+a2 2. 又∵a1+a1q=3,∴a1=1.∴a7=a1q6=1· 26=64.

答案:A

2.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16 =0的两根,则a8a10a12=( A.32 B.± 64 C.64 D.256 )

解析:由已知可得a1a19=16,而{an}为正项等比数列, 所以a10=4.故a8a10a12=a3 10=64.

答案:C

3.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3· a9=2a =1,则a1等于( 1 A.2 C. 2 ) 2 B. 2 D.2

2 5

,a2

2 2 2 解析:a3· a9=a2 6=2a5,∴(a5q) =2a5.

2 ∴q= 2(∵q>0).a1q=a2?a1· 2=1?a1= . 2

答案:B

4.在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和 为Sn=3n+k,则实数k的值为( A.0 C.-1 B.1 D.2 )

a1 解析:{an}为等比数列的充要条件是Sn= (1-qn), 1-q 由Sn=3n+k知,k=-1,故选C.

答案:C

S6 5.若Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则 S = 3 __________.

解析:由8a2+a5=0,得a5=-8a2,即q3=-8.
6 S6 1-q 3 故 = = 1 + q =-7 S3 1-q3

答案:-7

考点一

等比数列基本量的计算

[例1]

(2011· 全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2

=6,6a1+a3=30,求an和Sn.

? ?a1q=6, 解析:设{an}的公比为q,由题设得? 2 ? ?6a1+a1q =30, ? ?a1=3, 解得? ? ?q=2, ? ?a1=2, 或? ? ?q=3.

当a1=3,q=2时,an=3· 2n-1,Sn=3· (2n-1); 当a1=2,q=3时,an=2· 3n 1,Sn=3n-1.


方法点睛

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类

基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn一般可以“知 三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.

变式训练1

等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3· a4=

32 ,且公比q∈(0,1). 9 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值.

32 解析:(1)a3· a4=a1· a6= . 9 32 又a1+a6=11,故a1,a6看作方程x -11x+ 9 =0的两
2

根, 32 1 a6 1 1 5 又q∈(0,1),∴a1= 3 ,a6=3,∴q =a =32,∴q=2, 1 32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ? ? ? ? ∴an= 3 · =3· . 2 2 ? ? ? ? 1? 64? (2)由(1)知Sn= ?1-2n?=21,解得n=6. 3? ?

考点二

等比数列的判定或证明

[例2]

(2012· 长沙模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,

an+an+1 an+2= 2 ,n∈N*. (1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

解析:(1)b1=a2-a1=1. an-1+an 1 当n≥2时,bn=an+1-an= -an=- (an-an-1)= 2 2 1 - b n -1 , 2 1 ∴{bn}是以1为首项,-2为公比的等比数列.

? 1? - (2)由(1)知bn=an+1-an=?-2?n 1, ? ?

当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)
? 1? - ?- ?n 1 1 - ? 1? ? 1? - ? 2? n 2 ? ? ? ? =1+1+ -2 +?+ -2 =1+ ? 1? ? ? ? ? 1-?-2? ? ?

? 1? - ? 5 2? 1? - 2? =1+3?1-?-2?n 1?=3-3?-2?n 1. ? ? ? ? ? ?

5 2? 1?1-1 当n=1时,3-3?-2? =1=a1. ? ? 5 2? 1?n-1 ∴an=3-3?-2? (n∈N*). ? ?

方法点睛

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比

中项法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某 数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列 即可.

变式训练2

2 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=3an

+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整 数. (1)证明:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列; (2)证明:当λ≠-18时,数列{bn}是等比数列.

证明:(1)假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则 2 4 4 2 4 2 2 2 有a 2 =a1a3,即 ? λ-3? =λ ? λ-4? ? λ -4λ+9= λ -4λ?9
?3 ? ?9 ? ? ? ? ?

9

9

=0,矛盾,所以{an}不是等比数列. (2)bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21] =(-1)
n +1

?2 ? ? an-2n+14? ?3 ?

2 =-3(-1)n· (an-3n+21)

2 =-3bn. 又λ≠-18,所以b1=-(λ+18)≠0. bn+1 2 由上式知bn≠0,所以 =- (n∈N*). bn 3 2 故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 3 为 公比的等比数列.

考点三

等比数列的性质及应用

[例3]

已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为

12,求再后面3n项的和.

解析:∵Sn=2,其后2n项为S3n-Sn=S3n-2=12,∴S3n =14. 由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列, 即(S2n-2)2=2· (14-S2n)解得S2n=-4,或S2n=6. 当S2n=-4时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?是首项为2,公 比为-3的等比数列,

则S6n=Sn+(S2n-Sn)+?+(S6n-S5n)=-364, ∴再后3n项的和为S6n-S3n=-364-14=-378. 当S2n=6时,同理可得再后3n项的和为S6n-S3n=126- 14=112. 故所求的和为-378或112.

方法点睛

本题利用了等比数列的性质中的第4条,其

和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,若把数列{an}平均分成 若干组,其积也为等比数列.

变式训练3

(1)在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,

a3a5=64,求{an}的通项公式. (2)在等比数列{an}中,若a9+a10=a,a19+a20=b(a, b≠0),求a99+a100的值.

解析:(1)∵{an}是等比数列,由已知条件,得 a2 a5=64. 4=a3· ∴a4=± 8,a6=24+a4=24± 8. a6 ∵q =a >0,故a4=-8(舍去),得a4=8,a6=32. 4
2

a5 从而a5=± a4a6=± 16.公比q= =± 2. a4 当q=2时,得a1=1,∴an=2n 1;


当q=-2时,得a1=-1. ∴an=-(-2)n 1.


(2)令bn=an+an+1,则{bn}仍是等比数列.由已知得b9= b a,b19=b,而b19=b9q =aq ,∴q = . a
10 10 10 9 9 ?b? b b ? ?9= 8,即a99+a100= 8. ∴a99+a100=b99=b9q90=a· a a ?a?

规范解答(一)

怎样求解等差与等比数列的综合性问 题?

问题研究:等差数列和等比数列既相互区别,又相互联 系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,将两类数列 综合起来考查是高考的重点,这类问题多属于两者基本运算 的综合题以及相互之间的转化.

解决方案:首先求解出两个数列的基本量:首项和公差 及公比,再灵活利用性质转化条件,以及利用等差、等比数 列的相关知识解决.

[示例]

(2011· 湖北,12分)成等差数列的三个正数的和

等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 {bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列 数列.
? 5? ? ? ?Sn+ ? 4? ? ? ?

是等比

思维突破:正确设等差数列的三个正数,利用等比数列 的性质解出公差d,从而求出数列{bn}的首项、公比;利用等 比数列的定义可解决第(2)问.

解答示范:(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d, a,a+d. 依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.(2分) 所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d. 依题意,由(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍 去).(4分)

故{bn}的第3项为5,公比为2,由b3=b1· 22,即5= 5 b1· 2 ,解得b1= . 4
2

5 所以{bn}是以 4 为首项,2为公比的等比数列,其通项公 5 n -1 式为bn=4· 2 =5· 2n-3.(6分)

5 ?1-2n? 4 5 5 n-2 (2)数列{bn}的前n项和Sn= =5· 2 - ,即Sn+ 4 4 1-2 =5· 2n 2.(8分)


5 Sn+1+4 5· 2n-1 5 5 所以S1+ = , = n-2=2.(10分) 4 2 5 5· 2 Sn+4
? 5? 5 ? ? ? ? S + 因此 n 4 是以 为首项,公比为2的等比数列. 2 ? ? ? ?

(12分)

解后反思:关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是 解方程或方程组,需要认真计算,灵活处理已知条件.容易 出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误,特别是利 用因式分解求解方程根时,不注意对根的符号进行判断;二 是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件,导 致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.


相关文章:
2014年高考数学第一轮复习:平面向量
2014高考数学一轮复习: 平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一...
2014年高考数学一轮复习经典内部资料一函数部分1--10(理科)
2014高考数学一轮复习经典内部资 料一函数部分 1--10(理科)考点一、 题目 高中数学复习专题讲座 对集合的理解及集合思想应用的问 题 高考要求 集合是高中...
2014高考数学一轮复习指数函数公开课课件及教案公开课教案——一轮复习——指数函数
2014高考数学一轮复习指数函数公开课课件及教案公开课教案——一轮复习——指数函数_调查/报告_表格/模板_应用文书。文数一轮复习——指数函数的图像与性质 一、教...
高考数学一轮复习 名师检测题
2014名师伴你行》系列高... 暂无评价 34页 免费 2012届高考数学一轮复习《... 10页 免费 2014年高考数学第一轮复习... 6页 免费 2012届高考数学第二轮综...
2014年高考数学一轮复习椭圆
2014高考数学一轮复习椭圆_高考_高中教育_教育专区。圆锥曲线第一讲——椭圆 一、基础练习: x 2 1、已知 F1、 F 2 为椭圆 25 F 2 A ? F 2 B ? 12...
2014高考数学阶段性检测(7)
2014名师伴你行》系列高... 暂无评价 33页 免费 2014届新课标高考数学复习... 12页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见...
2014高考数学第一轮复习 三视图
2014高考数学一轮复习 三视图_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点. 2.三视图和其他的知识点结合在一起命题是...
2014高考一轮复习之名句练习
2012年高考新课标理科数学... 2012年高考全国卷(新...2014高考一轮复习之简明、... 暂无评价 7页 2财富...归去来兮辞课件【齐全整理... 53页 1财富值如要...
2015届高考数学复习专题汇总(链接)
(文理通用) 2015 届高考数学名校名师高考考点课时...高考数学(理)一轮复习课件 江西省 2015 届高三数学...(人教新课标文科) 【2015 届备考】2014 全国名校...
更多相关标签: