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空间向量法解决立体几何问题


空间向量坐标法---解决立体几何
一.建立恰当的空间直角坐标系,能求点的坐标; 1、三条直线交于一点且两两垂直; 方便求出各点的坐标。 2、如何求出点的坐标: 先求线段的长度(特别是轴上线段):由已知条件可全部求出来;若不能,则可先设出来。 (1)轴上的点--------X 轴--(a,0,0), y 轴--(0,b,0), z 轴--(0,0,c) (2)三个坐标面上

的点------已知或求出过点作垂直轴的线段长度, X0y----(a, b, 0), y0z------(0 ,b , c), x0z-----(a, 0, c) (3)其它的点:已知或求出过点作垂直面的线段长度; (4)中点坐标:A(x1, y1, z1 ), B(x2, y2, z2 )----则线段 AB 的中点: (
x2 ? x1 y2 ? y1 z2 ? z1 , , ) 2 2 2

3、动点问题的处理-------待定系数法 法一:直接设出来,然后根据已知条件求出来 (1)轴上:( x,0,0) ,(0, y,0) 、(0,0, z ) ; (2)面上:( x, y,0) 、( x,0, z ) 、(0, y, z ) ; (3)其它:(a, b, c) 。
法二:A(x1, y1, z1 )、B(x2, y2, z2 ),M 是 AB 上的动点:设 M (a, b, c) ,由
?

AB ? ? AM ,用 ? 表示点的坐标。

?

?

4、有向线段的坐标:A(x1, y1, z1 ), B(x2, y2, z2 )-----则 AB ?( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

二、重要公式或结论:
设 AB ?( x1 , y1 , z1 ) , CD ?( x2 , y2 , z2 ) 向量的数量积: AB? CD ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 , 向量的模: AB ? x12 ? y12 ? z12 ,
??? ?
? ?
?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b cos a, b ? ? ? ? a ?b 向量的夹角: cos a ,b ? ? ? a?b

两向量共线: AB / / CD ? AB ? ? CD ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 两向量垂直: AB ? CD ? AB ? CD ? 0

?

三、两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 如图,在空间直角坐标系中, 由 A? x1, y1.z1 ? 与 B ? x2 , y2 .z2 ? 确定的 直线 AB 的方向向量是 AB ? (x ? x , y ? y , z ? z ) 2 1 2 1 2 1 2.平面的法向量

????

? 如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面α ,称这个向量 ? ? 垂直于平面α ,记作 n ⊥α ,这时向量 n 叫做平面α 的法向量. ? ? 2.1 若法向量 n 的模为 1,则法向量 n 叫做平面α 的单位法向量.
2.2 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? ? ? 如图,设 a ? ? x1 , y1.z1 ? 、 b ? ? x2 , y2 .z2 ? 是平面α 内的两个不共线的 非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,

? ? ? ? ? 若 n ⊥ a 且 n ⊥ b ,则 n ⊥α . 换句话说, ? ? ? ? ? 若 n · a = 0 且 n · b = 0,则 n ⊥α . 2.3 求平面的法向量:
(一)直接法:已知线段中存在

(二)待定系数法------步骤如下:

1

? ? 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n =(x,y,z).
在平面中找两条相交直线,求其方向向量 AB ?( x1 , y1 , z1 ) , BC ?( x2 , y2 , z2 ) ? ???? ? ???? ? x x ? y1 y ? z1 z ? 0 ? 第二步(列):根据 n · AB = 0 且 n · BC = 0 可列出方程组 ? 1 ? x2 x ? y2 y ? z2 z ? 0 ? 第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y. ? 第四步(取):取 z 为任意正数(如 1, 当然取得越特殊越好),从而得到
?

?

? 平面法向量 n 的坐标(x,y,z)。

四、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系; (1)直线与直线的位置关系; 线 AB // CD : 存在实数 ? 使 A B? ? C D
? ?

?

?

AB ? CD ?0 线 A B? C D : (2)直线与平面的位置关系
线 AB //面 ? : AB ? n ? AB? n ? 0
? ?

?

?

?

?

( n 是面 ? 的法向量)
? ?

?

线 AB ? 面 ? : (1) AB? b 1 ? 0 、 AB? b 2 ? 0 ( b1 , b2 是面 ? 内的相交直线) (2) AB / / n ? AB ? ? n ( n 是面 ? 的法向量) (3)平面与平面的位置关系
? // ? : n1// n2 ? n1 ? ? n2 ( n1 , n2 是平面 ? 、 ? 的法向量) ? ? ? : n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0 ( n1 , n2 是平面 ? 、 ? 的法向量)
? ?
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2、求解空间中的角度;
? ? ? ? ? ? 由 a ? b ? a ? b cos a, b

? ? ? ? a ?b 可得: cos a, b ? ? ? a?b
? ? ?? , ? ? ? 0, ? ? 2? AB ? CD
? ?

1. 异面直线 AB 与 CD 所成的角 ? : cos ?

AB? CD

?

?

??? ? ? 2. 斜线 AB 与平面 ? 所成的角 ? :记 ? ? AB, n
sin ? ? cos ? ? AB? n
? ? ?

,则

? ? 90? ? ?

AB ? n

?

, ? ? (0,

? (? n 是面 ? 的法向量, ) )
2

2

3. ? ? l ? ? 的平面角 ? ??0, ? ? : cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2
? ?

?

?

( n1 , n2 是 ? 、 ? 的法向量)
? ?

?

?

(也可能是钝角 ? ? ? ,因为二面角 α -L-β 的大小与法向量 n1 , n2 夹角相等或互补,要结合 具体的题目判断)

3、求解空间中的距离:
(1)点到平面的距离:1、直接求点到平面的垂线长; 2、等体积法(通常放在三棱锥中,求平面的高) 3、向量法-----代点到面的距离公式,如下;

? 设 A 为平面 α 外一点, n 为平面 α 的法向量,过 A 作平面 α 的斜线 AB 及垂线 AH. ??? ? ? ??? ? ? AB ? n ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? AB ? n AH ? AB ? cos? ? AB ? cos AB, n ? AB ? ??? ? ? ? ? AB ? n n
AB ? n
? ? ?

? 点 A 到面 ? 的距离 d : d ?
?

n

( n 是面 ? 的法向量、线段 AB 是经过点 A 的任意斜线段) (2)线到面的距离、面面距离转化为点到面的距离求解; (3) 异面直线的距离: 1、直接找公垂线求解; 2、向量正投影法-----代异面直线 的距离公式,如下;

? ? ? 如图,设两条异面直线 AC、 BD 的公垂线的方向向量为 n , 即 n ⊥AC,n ⊥BD, ??? ? ? 这时分别在直线 AC、BD 上各取一点,如 A、B 两点, 则向量 AB 在 n 上的正射影长就是
两条异面直线 AC、BD 的距离.
? AB ? n ??? ? n d ? AB ? ? ? ? n n
? ?

? ???? ? ? ? ?n ? AC ? 0 (因为 n ⊥AC, n ⊥BD,所以 ? ? ???? , ? ? n ? BD ? 0

? 由此可得异面直线 AC、BD 的公垂线的方向向量 n )

例 1 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是面 AC 的中心, (1)求面 OA1D1 的法向量. (2)求面 ABB1 A1 的法向量。

3

例 2 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a,高为 2a ,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所 成的角。 例 3 如图, 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ABC = 90° , SA⊥面 ABCD, SA = AB
= BC = 1,AD ? .求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值. 2
1

例 4 四棱锥 P-ABCD 的底面 ACBD 是菱形,AB= 4, ∠ABC=60° , 侧棱 PA⊥底面 AC 且 PA= 4,E 是 PA 的中点,求 PC 与平面 PED 间的距离。 例 5 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1=

3 , ?ABC ? 60? ,

证明:(1)AB⊥ AC (2)求二面角 A- AC 1 ; 1 -B 的大小。 例 6、如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1, AB ? 2, AA1 ? 1, AD=1, AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1B1 的 中点. ??? ? ??? ? (1)建立适当的坐标系求各点的坐标 及 AE 与 BF 的坐标。 (2)M 是 FD 上的点:若 FM ? 2 MD ,求 M 点的坐标 若 FD ? ? MD ,求 M 点的坐标(用 ? 表示)
F
? ?

A 1

D1

B1

A

C1
E

D

B

C

4


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