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定积分练习题


第九章



积 分

练 习 题

§1 定积分概念

b



1.按定积分定义证明: ∫a kdx = k (b ? a). 2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集 {ξi } ,把定积分看作是对 应的积分和的极限,来计算下

列定积分:
n 1 x 3 dx; 提示 : ∑ i 3 = n 2 (n + 1) 2 (1) ∫0 4 i =1 1 x (2) ∫0 e dx;

1

(3) ∫a

b

e x dx;

dx (4) ∫a x 2 (0 < a < b).(提示 : 取ξi = xi ?1 xi )
b

§2
1.计算下列定积分: (1) ∫0 (2 x + 3)dx ;
1

牛顿一菜布尼茨公式

1? x2 (2) ∫0 1 + x 2 dx ;
1 2 (5)∫ tan xdx 3 0

(3) ∫
9

e2

e

dx x ln x ; 1 x )dx;

e x ? e?x dx ; (4)∫0 2
1 4 dx (7) ∫0 1 + x ;

π

(6)∫4 ( x +

e1 2 (8) ∫1 x (ln x) dx e

2.利用定积分求极限:
1 3 3 (1) lim n 4 (1 + 2 + L + n ); n→∞

? 1 1 1 ? (2) lim n ? (n + 1) 2 + (n + 2) 2 + L + (n + n) 2 ?; n →∞ ? ?
1 1 1 (3) lim n( n 2 + 1 + (n 2 + 2) + L + 2n 2 ); n →∞ n ?1 1 π 2π (4) lim n (sin n + sin n + L + sin n ) n →∞

3.证明:若 f 在[a,b]上可积,F 在[a,b]上连续,且除有限个点外有 F' (x)=f(x),则有



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a).
§3 可积条件

若 则 1.证明: Tˊ是 T 增加若干个分点后所得的分割, ∑ ω ' i ?χ ' i ≤ ∑ ω i ?χ i .
T' T

2.证明:若 f 在[a,b]上可积, [a, β ] ? [a, b], 则f在[a, β ]上也可积 . 3.设 f﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明:若仅在[a,b]中有限个点处

f (χ ) ≠ g (χ ), 则 当 f 在 [a,b] 上 可 积 时 , g 在 [a,b] 上 也 可 积 , 且
b f (χ )dχ = ∫ g (χ )dχ . ∫a a b

3.设 f 在 [a,b] 上 有 界 , {a n } ? [a, b],

lim a
n→∞

n

= c. 证 明 : 在 [a,b] 上 只 有

a n (n = 1,2, L) 为其间断点,则 f 在[a,b]上可积。

4.证明:若 f 在区间 ? 上有界,则

sup f ( χ ) ? inf f ( χ ) = sup f ( χ ') ? f ( χ ") χ
χ ∈?
∈?

.。

χ ', χ "∈?

§4 定积分的性质 4 1.证明:若 f 与 g 都在[a,b]上可积,则

lim ∑ f (ξ ) g (η )?x = ∫
T →0 i =1 i i i

n

b

a

f ( x) g ( x)dx,

其中 ξ i ,η i 是 T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n. 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1) ∫ xdx与∫ x 2 dx;
0 0 1 1

(2) ∫ 2 xdx与∫ 2 sin xdx.
0 0

π

π

3.证明下列不等式: (1)

π
2

< ∫2
0

π

dx π < ; 2 1 1 ? sin 2 x 2

(2) 1 < ∫ e x 2 dx < e ;
0

1

(3) 1 < ∫ 2
0

π

sin xdx π dx < x 2;

(4) 3 e < ∫

4e

e

ln x dx < 6. x
b a

4.设 f 在[a,b]上连续,且 f(x)不恒等于零,证明 ∫ 5.设 f 与 g 都在[a,b]上可积,证明

( f ( x))

2

dx > 0.

M ( x) = max { f ( x), g ( x)}, m( x) = min { f ( x), g ( x)}
x∈[a ,b ] x∈[a ,b ]

在[a,b]上也都可积. 6.试求心形线 r = a (1 + cos θ ),0 ≤ θ ≤ 2π 上各点极径的平均值.

7.设 f 在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足 f ( x) ≥ m f 0. 证明

1 在[a,b]上也 f

可积. 8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理 9.7 和定理 9.8)中的中值点ξ∈ (a,b). 9.证明:若 f 与 g 都在[a,b]上可积,且 g(x)在[a,b]上不变号,M、 分别为 f(x) m 在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m≤μ≤M),使得



b

a

f ( x) g ( x)dx = ? ∫ g ( x)dx.
a b b a a

b

10.证明:若 f 在[a,b]上连续,且 ∫ f ( x)dx = ∫ xf ( x)dx = 0, 则在(a,b)内至少 存在两点 x1,x2,使 f(x1)= f(x2)=0.又若 ∫ x 2 f ( x)dx = 0, 这时 f 在(a,b)内是否至
a b

少有三个零点? 11.设 f 在[a,b]上二阶可导,且 f " (x)>0 .证明:
1 b ?a+b? (1) f ? ?≤ ∫ f ( x)dx; ? 2 ? b?a a
2 b f ( x)dx, x ∈ [a, b ]. b ? a ∫a 12.证明:

(2)又若 f ( x) ≤ 0, x ∈ [a, b], 则又有

f ( x) ≥

1 1 (1) ln(1 + n) < 1 + + L + < 1 + ln n; 2 n

1+
(2) lim
n→∞

1 1 +L+ 2 n = 1. ln n

微积分学基本定理·定积分计算( §5 微积分学基本定理·定积分计算(续)





1. 设 f 为连续函数,u、v 均为可导函数,且可实行复合 f°u 与 f°v 证明: d v( x) f (t )dt = f (v( x))v' ( x) ? f (u ( x))u ' ( x). dx ∫u ( x ) 2.设f 在[a,b]上连续, F ( x) = ∫ f (t )( x ? t )dt. 证明 F” ( x) = f ( x), x ∈ [a, b].
a x

3.求下列极限:
1 x (1)lim ∫ cos t 2 dt ; 0 x →0 x

(2)lim
x →∞

( ∫ e t dt ) 2
2

x



0 x 0

e dt

2t 2

.

4.计算下列定积分: (1)∫ 2 cos 5 x sin 2 xdx;
0

π

(2)∫

1

0

4 ? x 2 dx;

(3)



a

0

x 2 a 2 ? x 2 dx(a f 0);
dx ; 0 ( x ? x + 1) 3 / 2
1 2

(4)∫
π

(5)∫

dx ; 0 e + e ?x
1
x

(6)



2 0

cos x dx; 1 + sin 2 x
1 0

(7)∫ arcsin xdx;

(8)∫ 2 e x sin xdx;
0

π

(9)



e

1 e

ln x dx;

(10)∫ e x dx;
0

1

(11)∫ x 2
0

a

a?x dx(a f 0); a+x

(12)



π

2 0

cos θ dθ . sin ν + cos θ
a

5.设 f 在[-a,a]上可积。证明: (1)若 f 为奇函数,则 ∫ f ( x)dx = 0;
?a
a

(2)若 f 为偶函数,则 ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx.
?a
0

a

6.设 f 为(-∞,+∞)上以 p 为周期的连续周期函数。证明对任何实数 a, 恒有
a∫
a+ p

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx.
a

p

7.设 f 为连续函数。证明:

(1) ∫ f (sin x)dx = ∫ 2 f (cos x)dx;
2 0 0

π

π

(2) ∫ xf (sin x)dx =
0

π

π

2∫

π

0

f (sin x)dx.

8.设 J(m,n) = ∫ 2 sin m x cos n xdx(m, n 为正整数) 。证明:
0

π

J (m, n) =

n ?1 m ?1 J (m, n ? 2) = J (m ? 2, n), m+n m+n

并求 J(2m,2n). 9.证明:若在(0,∞)上 f 为连续函数,且对任何 a>0 有

g ( x) = ∫ f (t )dt = 常数 , x ∈ (0,+∞),
x

ax

则 f ( x) =

c , x ∈ (0,+∞), c 为常数。 x 10.设 f 为连续可微函数,试求 d x ( x ? t ) f ' (t )dt , dx ∫a d x 并用此结果求 ∫ ( x ? t ) sin tdt. dx 0

11.设 y = f (x) 为[a,b]上严格增的连续曲线 (图 9-12) 。试证存在ξ∈(a,b) ,使图中两阴影部分 面积 相等。 12.设 f 为[0,2π]上的单调递减函数。证明: 对 任何正整数 n 恒有





0

f ( x) sin nxdx ≥ 0.
x +c

13.证明:当 x>时有不等式


14 . 证 明

x

sin t 2 dt p





1 (c f 0). x f 在 [a,b]









?在[α , β ]上单调且连续可微, ? (α ) = a, ? ( β ) = b, 则有




b

a

f ( x)dx = ∫ f (? (t ))? ′(t )dt.
α

β

15.证明:若在[a,b]上 f 为连续可微的单调函数,则存在 ξ ∈ [a,b], 使得



b

a

f ( x) g ( x)dx = g (a ) ∫ f ( x)dx + g (b) ∫ f ( x)dx.
a

ξ

b

ξ

(提示:与定理 9.11 及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有

一个比较简单的,不同于 9.11 的证明.)

※ §6

可积性理论补叙

1. 证明性质 2 中关于下和的不等式(3). 2. 证明性质 6 中关于下和的极限式 lim s (T ) = S .
t →0

3. 设

? x, x为有理数. f ( x) = ? ?0, x为无理数.

试求 f 在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断 f 在[0,1]上是否可积. 4. 设 f 在[a,b]上可积,且 f ( x) = 0, x[a, b].试问 f 在[a, b] 上是否可积?为什么? 5. 证 明 : 定 理 9.14 中 的 可 积 第 二 充 要 条 件 等 价 于 “ 任 给

ε > 0, 存在δ > 0, 对于一切满足 T < δ的T 都有 ∑ ω i ?xi = s (t ) ? s (T ) < ε ′′ .
T

6.据理回答: (1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2) 何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质? (3) 对于可积函数,若“所有下和(或上和)都相等” ,是否仍有(2)的结论? 7.本题的最终目的是要证明:若 f 在[a,b]上可积,则 f 在[a,b]内必定有无限 多个处处稠密的连续点,这可用区间套方法按以下顺序逐一证明: (1)若 T 是[a,b]的一个分割,使得 S(T)s(T)<b—a,则在 T 中存存在某个 小区间 ? i , 使ω if < 1.
(2)存在区间 I 1 = [a1 , b1 ] ? (a, b), 使得

ω f ( I 1 ) = sup f ( x) ? inf f ( x) < 1.
x∈I1 x∈I1

(3)存在区间 I 2 = [a 2 , b2 ] ? (a1 , b1 ), 使得

ω f ( I 2 ) = sup f ( x) ? inf f ( x) < .
x∈I 2 x∈I 2

1 2

(4)继续以上方法,求出一区间序列 I n = [a n , bn ] ? (a n?1 , bn ?1 ),

ω f ( I n ) = sup f ( x) ? inf f ( x) < .
x∈I n x∈I n

1 n

说明 {I n }为一区间套,从而存在 x0 ∈ I n , n = 1,2,L; 而且 f 在点 x0 连续。 (5)上面求得的 f 的连续点在[a,b]内处处稠密。

总 练 习 题
1.证明:若 ? 在[0,a]上连续, f 二阶可导,且 f ′′( x) ≥ 0 ,则有
1 x 1 a ∫0 f (? (t ))dt ≥ f ( a ∫0 ? (t )dt ). a 2.证明下列命题:

(1) 若 f 在[a,b]上连续增,
? 1 x f (t )dt , ? F ( x) = ? x ? a ∫a ? f (a ), ? x ∈ [ a , b] x = a,

则 F 为[a,b]上的增函数。 (2) 若 f 在 [0,+∞] 上连续,且 f (x)>0,则

? ( x) = ∫ tf (t )dt / ∫ f (t )dt
0 0

x

x

为 (0,+∞) 上的严格增函数,如果要使 ? 在 [0,+∞] 上为严格增,试问应补充定义 ? (0)=?
3、设 f 在 [0,+∞] 上连续,且 lim f ( x) = A 证明
x →+∞

1 x f (t )dt = A 0 x → +∞ x ∫ lim 4.设 f 是定义的 (?∞,+∞) 上的一个连续周期函数,周期为 p 证明 1 x 1 p f (t )dt = ∫ f (t )dt 0 x →+∞ x ∫ p 0 lim 5.证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数;连续的偶函数的原函数中 只有一个是奇函数。 6.证明施瓦茨(Schwarz)不等式:若 f 和 g 在[a,b]上可积,则
? b f ( x) g ( x)dx ? ≤ b f 2 ( x)dx ? b g 2 ( x)dx. ? ∫a ? ∫a ∫a ? ?
2

7.利用施瓦茨不等式证明:

(1)若 f 在[a,b]上可积,则
? b f ( x)dx ? ≤ (b ? a ) b f 2 ( x)dx ? ∫a ? ∫a ? ?
2

(2)若 f 在[a,b]上可积,且 f (x)>m>0,则



b

a

f ( x)dx ? ∫

b

a

1 dx ≥ (b ? a ) 2 f ( x)

(3)若 f 、g 都在[a,b]上可积,则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式:
? b( f ( x) + g ( x)) 2 dx ? 2 ≤ ? b f 2 ( x)dx ? 2 + ? b g 2 ( x)dx ? 2 ? ∫a ? ? ∫a ? ? ∫a ? ? ? ? ? ? ? 8.证明:若 f 在[a,b]上连续,且 f (x)>0,则
1 b ? 1 b ? ln? ∫a f ( x)dx ? ≥ b ? a ∫a ln f ( x)dx ?b?a ? 9.设 f 为 (0,+∞) 上的连续减函数, f (x)>0;又设 a n = ∑ f (k ) ? ∫ f ( x)dx.
k =1 l n n

1

1

1

证明 {a n } 为收敛数列。 (提 10.证明:若 f 在[a,b]上可积,且个个有 f (x)>0,则 ∫ f ( x)dx > 0 ,
a b

示:由可积的第一充要条件进行反证:也可利用§习题 7 题的结论。 )


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