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2016届广东省潮州市高三第二次模拟考试文科数学试题(图片版)


2016 届广东省潮州市高三第二次模拟考 试文科数学试题(图片版)

2016 年二模数学勘误

文科数学:
第 18 题中附表 0.50 P(K2≥k0) k0 0.455 0.40 0.25 0.15 0.708 1.323 2.072 0.10 2.076 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.

635 0.005 7.879 0.001 10.828

其中第二行中第 5 个数据 2.076 改为 2.706,第 6 个数据 3.84 改为 3.841

潮州市 2016 年高考第二次模拟考试
数学(文科)参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
题号 答案

1 C

2 A

3 C

4 B

5 C

6 D

7 B

8 A

9 B

10 C

11 B

12 D

1.解析:? A ? ?0, ??? , B ? ? ??,1? ? ?2, ??? 选 C 2.解析:复数 z ?

3 ? ai ? a ? R ? 在复平面内对应的点在第三象限 ? a ? 0 ,选 A i

3.解析:因找不到 x0 ? N , ,使 x03 ? x0 2 ,知 p 假, q 明显为真,选 C 4.解析:等差性质有 a6 +a8 ? 2a7 及 2a6 +2a8 ? a7 2 又 a7 2 ? 4a7 ,又 an ? 0 得 a7 ? 4 ,选 B 5.解析:令 2017=2i-1 知 i=1009 知选 C 6.解析:几何体为圆柱体和长方体的组合体,∴ V ? ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 16 ? ? .故选 D. 1.1 3.1 7.解析:1<log37<2,b=2 >2,c=0.8 <1,则 c<a<b,故选:B. 8.解析: sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?

2 sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? ? , 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

选A

9.解析:由双曲线的渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行知

b 1 c2 a 2 ? b2 5 ,选 B ? ?e? ? ? 2 2 a 2 2 a a ??? ? 10.解析: AB ? 17 及 k ? Z , 知 k ???4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4? ,

??? ? ??? ? 2 由BC ? ? k ? 2, ?3? 与AB ? ? k ,1? 垂直有k ? ?1或3 ,所以 ? ABC 是直角的概率是 ,
9
选C 11.解析:由 ?

1 1 4 2 4 8 2 2 ,得 R 3 ? 2 2 , V ? ? R 3 ? ? ,选 B ? 2R ? R ? 3 2 3 3 3

12.解析:由 an ? an?1 ? 2an ? an?1 ? 0(n ? 2) 有

an ?

1 1 1 1 1 ? ? ,又 a10 ? 10 , a11 ? 11 , 2 ?1 2 ? 1 1023 2 ? 1 2047 选 D
n

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 4 ; 14. x ? 2 ;

?? 15.? f ? x ? ? 2 sin ? ? 2 x- ? ; 3? ?

1 ?. 16. ? ? ? ?, ln 2 ? ? ?

注:16 题答案另一种形式 ?? ?, log2 e? 13.解析:作出可行域,作出直线 l0 : 2 x ? y =0 ,平移直线 l0 ,当直线 l0 : 2 x ? y =0 过点
2x ? y ? 0 A 时 z ? 2 x ? y 取最大值,由 ? 解得 A(1,2) ,∴ z ? 2 x ? y 的最大值为 4. ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

14.解析:抛物线的焦点 F 为(- ,0) ,双曲线 抛物线的准线方程为 x ? 2 .

﹣y =1 的左焦点 F2(﹣2,0) ,∴p=4,

2

5? ? ? 3 9? 4 15.解析:由T ? ? ? (? ) ? ? ? ? ? ? 知? ? 2, ? 3 ? 4 12 3 ? 12

?? ? 5? ? ? 又f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 过点? ,2 ? ,? f ? x ? ? 2 sin ? 2 x- ? 3? ? 12 ? ?
16.解析:画图可知 g(x)= log2 g(x)= log2

x 与 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3在x ? 1 时有两个交点,故题只需
ln 2
? 1 ? ? ln 2 ?

x 与 f ( x) ? kx ? k 在0 ? x ? 1 时无交点,? k ? g ? ?1? ? 1 即 k ? ? ? ??,
2

三、解答题:(共6小题,满分共70分) 17.解: (1)由 cos 2 A ? cos A 得 2 cos A ? cos A ? 1 ? 0 , 所以 cos A ? ? ??2 分 ??4 分

1 或 cos A ? 1 . 2 1 , 2

因为 0 ? A ? ? 所以 cos A ? ? 所以角 A 为

??5 分 ??6 分

2 ? 3 另解:由 cos 2 A ? cos A 得 2 A ? A ? 2k? 或2 A ? - A ? 2k? ? k ? Z ?
因为 0 ? A ? ? 所以角 A 为

2 ? 3

??6 分

(2)由 4 3 ? S? ABC ? a2 ? b2 ? c2 及 S ? ABC ?

1 ab sin C 2 a 2 ? b2 ? c 2 2 2 2 有 2 3 ? ab sin C ? a ? b ? c 即 3 sin C ? 2ab 由余弦定理有 3 sin C ? cos C

??7 分

显然 cos C ? 0 有 tan C ? ∴C ?

?
6

3 , 3

??8 分 ?? 9 分

2 3 c ? 得c ? 2, ?? 10 分 2? ? sin sin 3 6 2? ? 1 ? )? 又 sin B ? sin(? ? ?? 11 分 3 6 2 1 所以 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? 3 。 ?? 12 分 2 a b ? (或由正弦定理 得 b ? 2 ,由 4 3 ? S? ABC ? a2 ? b2 ? c2 得 S? ABC ? 3 ) sin A sin B
又由正弦定理有 18.(1)设估计上网时间不少于 60 分钟的人数为 x, 依据题意有

x 30 ? ,解得 x=180, 600 100
??3 分

所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数是 180, (2)根据题目所给数据得到如下列联表: 上网时间少于 60 上网时间不少于 60 合计 分钟 分钟 60 40 100 男生 女生 合计 70 130
2

30 70

100 200 ??5 分

其中 K ?
2

200 ? ? 60 ? 30 ? 40 ? 70 ? 100 ?100 ?130 ? 70

?

200 ? 2.198 ? 2.706 91

??7 分

故不能有 90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关” 。 ??8 分 (3)因男生中上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3:2, 所以 5 人中上网时间少于 60 分钟的有 3 人,记为 A,B,C, 上网时间不少于 60 分钟的有 2 人,记为 D,E, ??10 分 从中取 2 人,总的基本事件为(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,D), (C,E), (D,E),共 10 个,其中“至少有一人上网时间不少于 60 分钟” 包含有 7 个事件, 所以所求概率为 0.7 ??12 分 19.证明: (1)因为 OA , OB , OC 两两垂直,
OC ? OA 所以, OC ? OB OA ? OB ? O ? ? ? ? OC ? 平面 OAB , ? ? OA , OB ? 平面OAB ? ? OAB 而 AB ? 平面 ,所以 AB ? OC . ???????????????????? 2

分 取 AB 中点 D ,连结 OD , PD .由 OA ? OB 有 AB ? OD . 由 PA? PB有 AB ? PD. 分 ???????3

AB ? OD AB ? PD 所以, OD ? PD ? D

? ? ? ? AB ? 平面 POD , ? ? OD , PD ? 平面POD ? ? 而 PO ? 平面 POD ,所以 AB ? PO . 分
AB ? OC 所以, AB ? PO OC ? PO ? O ? ? ? ? AB ? 平面 POC , ? ? OC , PO ? 平面POC ? ?

??????????????5

???????6

分 (2)由已知可得 VC ?OAB ? 分 且 AB ? AC ? BC ? 2

1 1 1 2 , S ?OAB ? OC ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3

???8

? S ?ABC ?
9分

1 ? 2 ? 2 ? sin 60 o ? 3 2

???????

设点 O、P 到平面 ABC 的距离分别为 h1 , h2 , 由 VO? ABC ? VC ?OAB 得, S ?ABC ? h1 ? 分

1 3

2 6 ,则 h1 ? 3 3

???????10

?

h1 OM 1 ? ? ,? h2 ? 6 h2 MP 3
1 1 S ?ABC ? h2 ? ? 3 ? 6 ? 2 3 3

???????11 分

?V A? PBC ? VP ? ABC ?


??????? 12

20.解: (1)由题知: a ? b ? 5 ? 3 即 a ? b ? 2 ,曲线 C2 的离心率为
2 2 2 2

2 5

??2 分



a 2 ? b2 2 a 2 ? b2 ?2 即 ? 5? a2 a 5

??3 分

? a 2 ? b2 ? 1 ,所以曲线 C1 的的方程为 x2 ? y 2 ? 1

??4 分

(2)证明:由直线 AB 的斜率不能为零知可设直线 AB 的方程为: x ? 2 ? ny ??5 分

由?

? x ? 2 ? ny ? ? ?x ? y ? 1
2 2

消x得 ? n 2 ? 1? y 2 ? 2 2ny ? 1 ? 0

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

?2 2n 1 , y1 y2 ? 2 2 n ?1 n ?1

??7 分

由题可设点 C ?

? 2 ? , y ? 2 ? 2 ?, ? ?

由点斜式得直线 AC 的方程: y ? y2 ?

y2 ? y1 ? 2? x ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? x1 2

??9 分

令y ? 0得x ?

?

2 2 y2 ? y2 x1 ? y2 ? y2 ny1 ? 2 2 2 2 ? ? 2 ? y2 ? y1 2 y2 ? y1 2

?

?

??11 分

?

ny1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ?

3 2 3 2 y1 ?3n ? y1 ?1 ? n 2 ? 3 2 2 2 ? ? 2 y ? y ? 2 y 4 ? 1 2? 1 ?2 2n ? 2 y1 ?1 ? n ?

?3 2 ? ? 直线AC 恒过定点 ? 0? ? 4 , ? ? ?
注:以直线 AB 的斜率是否存在分两类讨论也可 21.解: (Ⅰ)∵ f
'

??12 分

? x? ? 2x ?

3 a 2x2 ? x ? a ?1 ? , f ( x ) 在 x ? 处取得极值, 4 x x
??1

∴ f '( ) ? 0 . 分 即 分 经检验,当 a ? 分 ∴a ? 4分 (2)证明:? f ' ? x ? ? 2 x ?

3 4

1 4 3 ? a ? 0 ,解得 a ? . 2 3 8

??2

3 3 时,函数 f ( x) 在 x ? 处取得极小值. 8 4

??3

3 8

??

a ?1 x

? x +x ? f'? 1 2 ? 2

2a ? ? ? x1 +x2 ? x +x ? 1 ? 1 2

由题, k?

y1 ? y2 ? x1 ? x2

? x12 ? x22 ? ? a ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ?
x1 ? x2

x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ??7 x1 ? x2 a ln

x1 x2 2a ' ? x1 ? x2 ? ? k ,只须证明: 分因为 a ? 0 , 故欲证 f ? . ? ? x1 ? x2 x1 +x2 ? 2 ? a ln
8分 又 ln

??

x1 2 ? x1 ? x2 ? x2 x 2 ? ? ln 1 ? x1 ? x2 x1 +x2 x2 x1 +x2

?x ? 2 ? 1 ? 1? x x x ? x2 ? ? ln x1 , 即需证明 即需证明 (1 ? 1 ) ln 1 ? 2( 1 ? 1) ? 0 ? ?? x1 x2 x2 x2 x2 ?1 x2
分 令

??10

x1 ? t ? (0,1) x2





g (t ) ? (1 ? t ) ln t ? 2t ? 2



1 g ?(t ) ? ln t ? ? 1 t



1 1 t ?1 g ??(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 ? g ?(t ) 在 ?0,1? 上递减,? g ?(t ) ? g ?(1) ? 0 t t t

? g ?t ? 在? 0,1? 上递增,g ?t ? ? g ?1? ? 0
所以 ? ?? 成立, 即f ?
'

? x1 ? x2 ? 2

? ??k ?

??12 分

22.解:(1)∵PA 是切线,AB 是弦,∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ∴∠ADE=∠AED 分 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA, PC = AC ,

? ? 5

PA

AB

∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC, 由三角形的内角和定理知:∠C+∠APC+∠PAC=180? , ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90? ∴∠C+∠APC+∠BAP=90? ,∴∠C=∠APC=∠BAP=30? , 在 Rt?ABC 中, AC = 3 ,∴ PC = 3

AB

PA

? PC ? 3PA

??10

分 23.解:⑴由 C 1 : ? x ? 3? ? ? y ? 2? ? 1 可得
2 2

?

x ? 3 ? cos t y ? 2 ? sin t

(t 为参数)

??2

分 由 C2 : 分

?

x ? 4cos ? y ? 3sin ?

2 y2 ?1 ( ? 为参数)可得 x ?

16

9

??4

由 C3 : ? ? cos? ? 2sin ? ? ? 7 可化为: x ? 2 y ? 7 ? 0
分 ⑵设 Q ? 4cos ? ,3sin ? ? , Q 到曲线 C3 : x ? 2 y ? 7 ? 0 的距离为 d ,

??5

则 d ? 4cos? ? 6sin ? ? 7 5


??6

?


2 13 sin ?? ? ? ? ? 7 (其中 tan ? ? 2 ) 3 5

??8

?? ? ?0, 2? ? ?当sin ?? ? ? ? ? ?1时d取得最大值
分 ∴ d 的最大值为 2 65 ? 7 5

??9

5

? ? 10

分 24. 解: (1) 原不等式等价于 ? ∴不等式的解集为 {x | x ? ? 分

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 3 3 或? 或? , 解得:x ? ? 或 x ? , 2 2 ?2 x ? 3 ?? 2 x ? 3 ?2 ? 3
3 3 或 x ? }. 2 2
??4

? x2 ? 4x ( x ? ?1) ? 2 2 (2)令 g ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | ? x ? 2 x ,则 g (x)= ? x ? 2 x ? 2 (?1 ? x ? 1) 2 ? x ( x ? 1) ?
分 当 x∈(-∞,1]时,g (x)单调递减, 分 当 x∈[1,+∞)时,g (x)单调递增, 分 所以当 x=1 时,g (x)的最小值为 1. 分 因为不等式 f ? x ? ? x ? 2x ? a 在 R 上恒成立,即 a ? g ? x ?min
2

?5

??6 ??7 ??8

??9

分 ∴实数 a 的取值范围是 a ? 1 .

??10




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